線性彈簧組合式振動時效裝置的3次超諧共振特性分析

李俊明， 蔡敢為， 黃院星， 李巖舟

(1. 廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，南寧 530004；2.廣西大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南寧 530004；3.廣西科技大學(xué)人事處，廣西 柳州 545006；4.廣西大學(xué) 電氣工程學(xué)院，南寧 530004)

振動時效(Vibratory Stress Relief， VSR)是一種消除殘余應(yīng)力的方法，實際上是通過振動的形式給工件施加一個動應(yīng)力，當(dāng)動應(yīng)力與殘余應(yīng)力疊加達(dá)到或超過材料的屈服極限時[1-2]，工件產(chǎn)生塑性變形而釋放應(yīng)力，有利于提高工件的使用強(qiáng)度、減少變形和穩(wěn)定精度。特別是在節(jié)省時間、能源和費(fèi)用上具有明顯的效果[2-4]。因此在國家倡導(dǎo)節(jié)能減排、綠色發(fā)展，鼓勵工藝技術(shù)裝備更新改造形勢下，進(jìn)一步研究振動時效技術(shù)具有十分重要的意義。

振動時效裝置[5]是將一個具有偏心質(zhì)量的激振器安放在待處理的工件上，通過控制器起動電機(jī)并調(diào)節(jié)其轉(zhuǎn)速使工件處于共振狀態(tài)[6]，約經(jīng)20～30 min的振動處理即可達(dá)到調(diào)整殘余應(yīng)力的目的。振動時效技術(shù)適應(yīng)范圍廣，從幾公斤的小型構(gòu)件到一、二千噸的海洋平臺等大型構(gòu)件[7-11]。盡管適用范圍廣，但仍有其局限性。偏心質(zhì)量激振器雖具有結(jié)構(gòu)簡單、造價低、便攜、激振力大且可調(diào)節(jié)等優(yōu)點，但受其性能限制激勵頻率范圍均在200 Hz以下[12-13]。

大型剛性零件的制備往往會產(chǎn)生很大的殘余應(yīng)力，同時為了保證設(shè)備的工作精度，要求這些工件具有較高的剛度，如冶金軋輥、銑床的橫梁和立柱等。文中高頻率工件是指固有頻率大于200 Hz的冶金軋輥、銑床的橫梁和立柱等這樣高剛度的金屬工件?，F(xiàn)行的振動時效技術(shù)很難消除其殘余應(yīng)力。

為解決高頻率工件振動時效問題，研究者提出了工件串(并)聯(lián)接降頻法、懸臂法、振動臺法等，這些方法得到的整體系統(tǒng)具有較低固有頻率，可以實現(xiàn)在低頻率激勵下產(chǎn)生共振。在整體系統(tǒng)的振動中，雖然高剛度工件振幅很大，但只是隨著整體結(jié)構(gòu)振動作剛體運(yùn)動，并未發(fā)生共振，不會產(chǎn)生振動時效所需要的彈性變形和動應(yīng)力。因此，這些方法難以取得預(yù)期效果。

蔣剛等[14-15]提出并研究了一種高頻振動時效。從微觀角度分析[15]，高頻振動時效是指通過外界輸入能量使金屬原子回到原先的平衡位置上，從而實現(xiàn)晶格畸變減少，殘余應(yīng)力消除?，F(xiàn)行的振動時效技術(shù)是通過外界輸入能量增加材料內(nèi)部的位錯，位錯的增殖導(dǎo)致局部塑性變形，釋放殘余應(yīng)力。顯然兩者微觀機(jī)理不同。

蔡敢為等[16]提出了高固有頻率工件的超諧共振式振動時效裝置并取得了發(fā)明專利。超諧共振式振動時效裝置是指由現(xiàn)行的低頻率偏心輪機(jī)構(gòu)激振器作用于非線性振動系統(tǒng)，利用非線性系統(tǒng)的超諧共振特性，以接近工件固有頻率的響應(yīng)頻率進(jìn)行激勵，從而實現(xiàn)高頻率工件主共振。但專利中并未具體提出采用什么類型的非線性系統(tǒng)來有效實現(xiàn)超諧共振式振動時效裝置，仍需深入研究。

圓柱不等截距螺旋彈簧、圓錐螺旋彈簧、空氣彈簧等非線性彈簧都可以產(chǎn)生非線性振動，但目前利用這類彈簧的超諧式振動時效裝置仍很少。即使非線性彈簧可以實現(xiàn)超諧共振，但非線性彈簧制造工藝復(fù)雜，非線性參數(shù)難控制、不可調(diào)節(jié)等這些問題限制了超諧共振式振動時效技術(shù)滿足不同固有頻率工件的需要。

線性彈簧按特定方式組合也可以產(chǎn)生非線性特性，比如分段線性彈簧。本文提出利用線性彈簧來實現(xiàn)超諧共振，設(shè)計并研究一種線性彈簧組合振動裝置，在此基礎(chǔ)上就其非線性彈力特性進(jìn)行分析，應(yīng)用多尺度理論對其3次超諧共振的振動機(jī)理進(jìn)行探討。

1 線性彈簧組合式振動時效裝置及原理

圖1(a)所示線性彈簧組合式振動時效裝置，包括1、高頻率工件，2、基座，3、激振塊，4、偏心質(zhì)量激振器，5、剛性槽體結(jié)構(gòu)和三個同剛度等長度的彈簧。高頻率工件兩端剛性固定于基座，三個彈簧一端連接激振塊，另外一端固定在基座上。剛性槽體結(jié)構(gòu)與激振塊結(jié)構(gòu)如圖1(b)，主要約束激振塊僅在垂直方向振動。激振器剛性裝卡于激振塊內(nèi)，是整個系統(tǒng)的激勵來源。含激振器的激振塊與三個彈簧組合構(gòu)成一個線性彈簧組合質(zhì)量系統(tǒng)。

圖1 線性彈簧組合式振動時效裝置：Fig.1 VSR equipment combined linear springs

受到激振器的激勵，激振塊在三個彈簧的作用下產(chǎn)生垂直方向的非線性振動，在低頻激勵下可以響應(yīng)出3倍于激勵頻率的高頻頻率，產(chǎn)生3次超諧共振，激振塊以接近工件固有頻率的響應(yīng)頻率去激勵工件，從而實現(xiàn)高頻率工件的主共振。

2 線性彈簧組合質(zhì)量系統(tǒng)的非線性特性

2.1 非線性彈力

質(zhì)量為M激振塊由三個剛度系數(shù)均為K、長度均為L彈簧支承，這里激振塊質(zhì)量M是包含激振器質(zhì)量在內(nèi)的總質(zhì)量。初始狀態(tài)時，彈簧均保持自然長度，水平方向的兩個彈簧與激振塊同在一條直線，垂直方向的彈簧垂直此直線。以x為位移，以激振塊在靜平衡位置為原點，豎直向下為正方向，建立坐標(biāo)軸，如圖2。

圖2 線性彈簧組合質(zhì)量系統(tǒng)垂直方向振動模型Fig.2 Model of the linear springs combination mass systemvibration in the vertical direction

激振塊在重力作用下，會發(fā)生微小的位移Δx，在點a處達(dá)到靜平衡狀態(tài)，此時水平彈簧與水平方向夾角α。根據(jù)靜平衡狀態(tài)，可得

(1)

式中Δ2x=Δx·Δx。

激振塊在外力作用下產(chǎn)生一個大位移，在點b處達(dá)到平衡狀態(tài)，此時外力突然消失。結(jié)合式(1)，則有

(2)

這里，F(xiàn)k為指向平衡位置的恢復(fù)力。

略去高階無窮小量后，

(3)

靜平衡狀態(tài)時，激振塊只發(fā)生了微小位移Δx?L，Δx→0，所以式(3)等價于

(4)

綜上可知，水平方向兩個彈簧對質(zhì)量塊的作用力始終保持大小相等，方向相反；垂直方向的恢復(fù)力是非線性的。這是非線性彈力的理論基礎(chǔ)。

2.2 固有頻率

質(zhì)量為M激振塊由三個彈簧支承，并處于靜平衡位置，如圖3所示。這里的激振塊的質(zhì)量M含激振器質(zhì)量的總質(zhì)量，彈簧為僅具有剛度的無質(zhì)量彈簧，且K1=K2=K3=K。三個彈簧一端連接激振塊，另外一端固定，構(gòu)成一個線性彈簧組合質(zhì)量系統(tǒng)，激振塊只在平面內(nèi)作微振動，不存在耗散能力和加進(jìn)能力的廣義力，這是一個保守系統(tǒng)。

圖3 線性彈簧組合質(zhì)量系統(tǒng)Fig.3 The linear springs combination mass system

設(shè)l1是激振塊M的位移在彈簧K1軸線方向上的投影，對于微振動，可以認(rèn)為恢復(fù)力總沿著原來彈簧軸線方向。令彈簧K1軸線方向的余弦為(cosα,sinα)，則彈簧K1的勢能為

(5)

則系統(tǒng)的總勢能為

(6)

系統(tǒng)的動能：

(7)

利用朗格朗日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。自由度的拉格朗日方程為：

(8)

式中：a11=cos2α+cos2β+cos2γ，

a12=a21=sinαcosα+sinβcosβ+sinγcosγ，

a22=sin2α+sin2β+sin2γ。

根據(jù)2.1的討論可知，靜平衡時可取α=0，β=180，γ=270，可得

(9)

設(shè)主振動為

(10)

式中：ω0為系統(tǒng)振動的固有頻率。φ1,φ2為振幅，φ為相位角。代入方程(9)，得

特征方程為

(11)

由此解出

(12)

式中ω01,ω02為系統(tǒng)振動的固有頻率。

相應(yīng)的主振型可取為

(13)

說明系統(tǒng)以第一階固有頻率振動時只作沿著x2方向即垂直方向振動，且不產(chǎn)生x1方向即水平方向振動。證明圖1所示的線性彈簧組合式振動時效裝置的合理性和有效性。

2.3 3次超諧共振

圖4所示是一個包含偏心質(zhì)量激振器的線性彈簧組合質(zhì)量系統(tǒng)的力學(xué)模型，設(shè)含激振器的激振塊總質(zhì)量為M，激振器的偏心質(zhì)量為m，偏心距是e，轉(zhuǎn)子的角速度為ω，彈簧剛度系數(shù)均為K、長度均為L。

圖4 線性彈簧組合質(zhì)量系統(tǒng)的力學(xué)模型Fig.4 The linear springs combination mass system mechanical model

用坐標(biāo)x表示質(zhì)量塊離開平衡位置的垂直位移，根據(jù)達(dá)朗伯原理得到系統(tǒng)在垂直方向的運(yùn)動微分方程為：

(14)

(15)

則方程(15)可寫為

(16)

采用多尺度法討論非線性振動的近似解，設(shè)方程式(16)一次近似解為

x(t,ε)=x0(T0,T1)+εx1(T0,T1)

(17)

式中：T0=t，T1=εt表示不同尺度的時間變量。

設(shè)Di=?/?Ti,(i=0,1)，將方程式(17)代入方程式(16)，令等式兩端ε0和ε1的系數(shù)相等，可得

(18)

(19)

設(shè)方程式(18)的通解的復(fù)數(shù)形式為

(20)

(21)

式中：cc表示其左邊各項的共軛復(fù)數(shù)。

根據(jù)非線性振動理論[17-18]，方程式(21)的右邊各項中，不僅含eiω0T0，還含有ei(2ω0-ω)T0，e3iωT0,eiωT0項，當(dāng)3ω≈ω0時產(chǎn)生的共振稱為超諧共振。

為了說明線性彈簧組合質(zhì)量系統(tǒng)3次超諧共振響應(yīng)特性，選取一組基本參數(shù)：含偏心質(zhì)量激振器質(zhì)量塊總質(zhì)量M=0.046 2 t，其中激振器的偏心質(zhì)量m=0.015 6 t，偏心距e=150 mm，彈簧剛度系數(shù)均K=96 035 N/mm,材料密度ρ=7.8×10-9t/mm3，彈性模量E=210 000 MPa，泊松υ=0.3。

根據(jù)方程式(12)可得線性彈簧組合質(zhì)量系統(tǒng)的固有頻率ω0=229.58 Hz，系統(tǒng)在簡諧激勵下的響應(yīng)如圖5～6。可見，當(dāng)激勵頻率ω=ω0=229.58 Hz時，系統(tǒng)的振幅隨時間無限增大即共振時的振動響應(yīng)，如圖5。當(dāng)激勵頻率ω=76.53 Hz≈ω0/3時，系統(tǒng)的響應(yīng)中包含3ω頻率的振動，產(chǎn)生了3次超諧共振響應(yīng)，最大位移約8.4 mm，如圖6。

圖5 ω=229.58 Hz響應(yīng)圖Fig.5 Time-displacement response for ω=229.58 Hz

圖6 ω=76.53 Hz響應(yīng)圖Fig.6 Time-displacement response for ω=76.53 Hz

3 案例與討論

以?920 mm×3 000 mm冶金軋輥(圖7)作為振動時效處理的工件，選取一組軋輥基本參數(shù)：材料密度ρ=7.8×10-9t/mm3，彈性模量E=210 000 MPa，泊松比v=0.3。振動時效裝置如圖1，借助ABAQUS軟件仿真獲得軋輥的固有頻率為ω0=229.58 Hz。激振塊(含激振器)總質(zhì)量選取M=0.462 t，通過控制器起動激振器并調(diào)節(jié)其轉(zhuǎn)速ω=76.53 Hz≈ω0/3，軋輥在激振塊激勵下，振幅、動應(yīng)力響應(yīng)，如圖8～11。

圖7 軋輥結(jié)構(gòu)尺寸(mm)Fig.7 Structure sizeof the roll(mm)

根據(jù)圖6，激振塊3次超諧共振產(chǎn)生位移較小，初始狀態(tài)時可保持激振塊與軋輥接觸但不存在相互作用，兩者的初始位移和初始速度都為零。振動過程中，激振塊與軋輥分為接觸階段和非接觸階段。接觸階段，在激振塊激勵下軋輥發(fā)生強(qiáng)迫振動，其響應(yīng)是自由伴隨振動和穩(wěn)態(tài)振動的疊加；非接觸階段，軋輥進(jìn)行自由振動。接觸振動主要發(fā)生在正向位移，非接觸主要發(fā)生在負(fù)向位移，正向位移值大于負(fù)向位移值主要是正向振動中存在激振塊與軋輥碰撞激勵造成，如圖8所示。

振動初期，軋輥在激振塊的激勵下開始振動，所以振動初期主要表現(xiàn)為過渡階段的強(qiáng)迫振動響應(yīng)。軋輥與激振塊分離后，進(jìn)行自由振動且振幅隨時間逐漸增大，振動周期更加明顯，從圖8可以看出，T≈0.004 36=1/229.58。

圖9中229.58 Hz的幅值很微弱，76.53 Hz出現(xiàn)明顯峰值。因為振動初期，激振塊在激振器激勵下，3次超諧響應(yīng)還不明顯，但隨著時間增加，圖10可以看到，229.58 Hz出現(xiàn)明顯峰值，幅值顯著增大，76.53 Hz振幅減弱。

選擇軋輥輥面一條母線為對象，其上各點產(chǎn)生的位移和動應(yīng)力如圖11。沿軋輥長度方向動應(yīng)力值分布呈中間大、兩端小狀，與兩端固定等截面梁的第一階振型[19]基本一致。

綜合上述分析，軋輥實現(xiàn)了第一階固有頻率的主共振。高剛度軋輥的屈服極限約450～600 MPa，殘余應(yīng)力一般約50～200 MPa，結(jié)合圖11可知，動應(yīng)力足夠滿足振動時效條件達(dá)到消除殘余應(yīng)力的目的。

圖8 軋輥振幅響應(yīng)圖Fig.8 Time-displacement response of the roll

圖9 第0.1 s～0.2 s幅頻響應(yīng)圖Fig.9 Amplitude versus frequency response from 0.1 s to 0.2 s

圖10 第0.65 s～0.75 s幅頻響應(yīng)圖Fig.10 Amplitude versus frequency response from 0.65 s to 0.75 s

圖11 輥面位移、動應(yīng)力響應(yīng)圖Fig.11 Stress-displacement response along the roll

4 結(jié) 論

本文提出的線性彈簧組合式振動時效裝置，通過研究發(fā)現(xiàn)：

(1)線性彈簧組合質(zhì)量系統(tǒng)在垂直方向的恢復(fù)力是立方形式的非線性力，非線性項系數(shù)與彈簧剛度和長度有關(guān)。系統(tǒng)在垂直方向振動的固有頻率只取決于激振塊的質(zhì)量和彈簧剛度，與彈簧長度無關(guān)。

(2)激振塊在較低頻率激勵下，經(jīng)過三個彈簧組合聯(lián)合作用，產(chǎn)生3次超諧共振，激振塊以其響應(yīng)的頻率激勵高頻率工件，高頻率工件俘獲其主共振頻率，從而實現(xiàn)共振。

(3)偏心質(zhì)量激振器是整個振動時效裝置的激勵來源，為了保證水平方向不受外力擾動，可以采用雙軸式慣性激振器，只產(chǎn)生垂直方向的離心力。