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    基于非對稱復(fù)合材料層合板的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)

    2018-11-01 01:21:54郭懷攀陳衛(wèi)東周徐斌
    振動與沖擊 2018年20期
    關(guān)鍵詞:層板合板角點

    郭懷攀, 李 昊, 陳衛(wèi)東, 周徐斌

    (1. 南京航空航天大學(xué) 機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室, 南京 210016;2. 上海衛(wèi)星工程研究所, 上海 200240)

    雙穩(wěn)定層板是一種具有兩種穩(wěn)定構(gòu)型的非對稱鋪設(shè)復(fù)合材料層板結(jié)構(gòu)[9-11],因其在構(gòu)型轉(zhuǎn)變過程中顯示出非線性及負(fù)剛度特性,有學(xué)者開始研究用其作為負(fù)剛度機構(gòu),構(gòu)建準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng),Shaw等[12]發(fā)現(xiàn)使用雙穩(wěn)定層板可以減小隔振結(jié)構(gòu)的固有頻率而不降低結(jié)構(gòu)的承載能力。陸澤琦[13]系統(tǒng)的研究了雙穩(wěn)定層板的負(fù)剛度特性,并將其引入雙層隔振系統(tǒng)進(jìn)行試驗研究,發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中加入雙穩(wěn)定層板后能改善系統(tǒng)的隔振性能。

    本文利用理論和有限元方法研究了正交鋪設(shè)復(fù)合材料層板的非線性特性。通過分析及設(shè)計,使得正交非對稱層板具有準(zhǔn)零剛度特性。采用準(zhǔn)零剛度正交非對稱層板作為隔振器進(jìn)行隔振研究,預(yù)測其隔振效率,并與線性隔振系統(tǒng)進(jìn)行比較。探究將其運用于衛(wèi)星微振動控制的可行性。

    1 理論模型

    雙穩(wěn)定層板為非對稱鋪層,層板在制造溫度時板為平板構(gòu)型,由于預(yù)浸料在垂直纖維方向的熱膨脹系數(shù)與沿纖維方向熱膨脹系數(shù)的不同,在層板冷卻至室溫過程中,垂直纖維方向與沿纖維方向均產(chǎn)生殘余熱應(yīng)力,層板在殘余熱應(yīng)力作用下產(chǎn)生固化變形。圖1所示為正交鋪設(shè)層板中殘余熱應(yīng)力在垂直纖維方向與沿纖維方向的單位長度的截面內(nèi)的合力與合彎矩。

    圖1 正交層板中殘余熱應(yīng)力的合力與合彎矩示意圖Fig.1 Sketch map of resultant force and resultant moment of residual thermal stress in cross-ply laminates

    假設(shè)層板中心固定限制其平動及轉(zhuǎn)動。利用Hamilton法則Lagrangian方程的一階變分在時間上的積分為零建立層合板動力學(xué)模型。

    (1)

    式中:T為板的動能;∏為板的總勢能;WF為外力對板做的功。

    1.1 層合板總勢能

    正交鋪設(shè)雙穩(wěn)定層板的坐標(biāo)系如圖2所示,坐標(biāo)系的原點為層板中心點,坐標(biāo)主軸與層板邊緣平行。層板鋪設(shè)以中心面(即坐標(biāo)軸xoy面)為分界中心面以下為0°鋪層,以上為90°鋪層,0°鋪層與90°鋪層厚度相等,文中所描述層合板厚度均為層合板總厚度。

    (a)非穩(wěn)定構(gòu)型 (b)穩(wěn)定構(gòu)型1 (c)穩(wěn)定構(gòu)型2圖2 正交鋪設(shè)雙穩(wěn)定層板坐標(biāo)示意圖Fig.2 Cartesian coordinate system for cross-ply bistable laminate

    根據(jù)Kirchhoff假設(shè),可得到雙穩(wěn)定層板面內(nèi)應(yīng)變表達(dá)式為

    (2)

    (3)

    因為雙穩(wěn)定層板的大變形,在計算其中心面應(yīng)變時需引入von Karman幾何非線性假設(shè),得到雙穩(wěn)定層板的中心面應(yīng)變表達(dá)式為

    (4)

    考慮殘余熱應(yīng)力影響,層板每一各向異性層(如第k層)的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系在層合板坐標(biāo)系下的表達(dá)式為

    (5)

    聯(lián)立式(2)、(4)并在層合板厚度方向上積分,可以得到層合板單位長度上的合力與合力矩。

    (6)

    (7)

    式(6)、(7)可以改寫為:

    (8)

    式中:A、B、D矩陣分別為層板的拉伸剛度矩陣、拉彎耦合剛度矩陣以及彎曲剛度矩陣:

    (9)

    Nt和Mt分別為層合板的殘余熱應(yīng)力在層合板厚度方向上積分得到的合力和合彎矩:

    (10)

    最后,層合板的總勢能可寫為:

    (11)

    式中:Lx和Ly分別為層合板的平面尺寸。

    因為層合板為非對稱鋪層,層合板內(nèi)部存在拉彎耦合,因此,層合板中心面上的應(yīng)變包含薄膜應(yīng)變和彎曲應(yīng)變。由式(9)可知,層合板的拉伸剛度矩陣與層合板厚度方向上坐標(biāo)零點的位置無關(guān),可得層合板在截面上的合力與薄膜應(yīng)變的關(guān)系為:

    N=Aεm

    (12)

    式中:εm為層合板的薄膜應(yīng)變,聯(lián)立式(12)與式(8),可以得到層合板的薄膜應(yīng)變與中心面應(yīng)變之間的關(guān)系式為

    ε0=εm-A-1BK+A-1Nt

    (13)

    對于正交鋪設(shè)層合板,其彎曲方向與坐標(biāo)軸平行,結(jié)合邊界條件以及層合板變形的對稱性特點,可假設(shè)正交鋪設(shè)層合板的面外位移函數(shù)為:

    w=ax2+by2+a1x4+b1y4+
    a2x6+b2y6+ex2y2

    (14)

    式中:ai,bi,e為未知參數(shù),則可求得層合板彎曲曲率為:

    (15)

    假設(shè)層合板的薄膜應(yīng)變形式為:

    (16)

    式中:ci,di為未知參數(shù)。將式(16)代入式(13)可得到層合板的中心面應(yīng)變,對層合板中心面應(yīng)變積分可得到層合板中心面面內(nèi)位移函數(shù),聯(lián)立式(14)可求得層合板的中心面剪切應(yīng)變。

    1.2 外力做功

    為了驅(qū)動雙穩(wěn)定層合板從一種穩(wěn)態(tài)跳變到另一種穩(wěn)態(tài),需要雙穩(wěn)定對層合板施加驅(qū)動力,學(xué)者們研究了利用形態(tài)記憶合金[14],壓電智能材料[15]以及施加集中載荷[16]等方法驅(qū)動雙穩(wěn)定層合板跳變。本文中在雙穩(wěn)定層合板四個角點施加集中載荷驅(qū)動雙穩(wěn)定層合板跳變。在這種驅(qū)動方式下外力做功為:

    (17)

    式中:f為每個角點作用的集中力。

    1.3 層合板總動能

    層合板中心固定,忽略面外轉(zhuǎn)動,可得到正交鋪設(shè)層合板總動能表達(dá)式為:

    (18)

    層合板的總動能的一階變分在時間上的積分為:

    (19)

    化簡式(19)可得,

    (20)

    1.4 構(gòu)型預(yù)測

    根據(jù)最小能量原理,可以預(yù)測雙穩(wěn)定層合板在殘余熱應(yīng)力以及驅(qū)動載荷作用下的靜態(tài)構(gòu)型,雙穩(wěn)定層合板靜態(tài)構(gòu)型預(yù)測表達(dá)式為:

    δWF-δ=0

    (21)

    聯(lián)立式(2)、式(17)代入式(21)可得到,

    (22)

    當(dāng)式(22)中每一項都等于0時,將得到一組關(guān)于未知參數(shù)ai,bi,ci,di,e的非線性方程組(23):

    (23)

    因為fci,fdi為關(guān)于未知參數(shù)ci,di的線性方程,則ci,di可以用關(guān)于未知參數(shù)ai,bi,e的方程表示,則方程組(23)可簡化為7個非線性方程,得到方程組(24):

    K(X)-F(X)=0

    (24)

    式中:

    (25)

    方程組(24)的解對應(yīng)雙穩(wěn)定層板的平衡構(gòu)型,通常方程組(24)存在多組解,對于雙穩(wěn)定層板的穩(wěn)定構(gòu)型,Jacobian矩陣(26)必須為正定矩陣:

    (26)

    1.5 動力學(xué)方程

    將雙穩(wěn)定層合板的總勢能、總動能以及外力做功代入方程(1)化簡,可得到雙穩(wěn)定層合板運動的動力學(xué)方程。

    (27)

    式中:M為雙穩(wěn)定層合板的質(zhì)量矩陣,可通過式(20)求得。F(X,t)表示式(17)中的角點集中力隨時間變化。在理論模型中為了考慮阻尼影響,假設(shè)了Rayleigh阻尼,由于本文主要研究層板在較低頻率下的振動響應(yīng),可假設(shè)層合板的剛度阻尼系數(shù)為0,則層合板的阻尼形式為:

    (28)

    式中:α為層合板的質(zhì)量阻尼系數(shù)。

    2 靜力分析

    層板所用材料體系為CCF300/5428,0°和90°鋪層厚度相同,材料參數(shù)見表格1。層板的固化溫度為140℃,假設(shè)室溫為20℃,則層板從固化溫度到室溫的溫度差為ΔT=-120℃。

    表1 CCF300/5428材料參數(shù)Tab.1 Material properities of the CCF300/5428

    2.1 構(gòu)型預(yù)測

    利用ABAQUS中殼單元建立100 mm×100 mm正方形正交鋪設(shè)的雙穩(wěn)定層板的有限元模型,約束層板中心的位移和轉(zhuǎn)動。在第一個靜態(tài)分析步內(nèi)將溫度場從層板固化溫度冷卻到室溫,結(jié)果顯示層合板構(gòu)型為非穩(wěn)定的馬鞍面構(gòu)型。為了得到層合板的穩(wěn)定構(gòu)型,重啟靜態(tài)分析步在層合板四個角點施加沿z軸方向的微小集中載荷,第二靜態(tài)分析步結(jié)束后,再次進(jìn)行靜力學(xué)分析去除在層合板角點施加的載荷,即可得到無外載荷作用下雙穩(wěn)定層合板的穩(wěn)定構(gòu)型,改變載荷沿z軸的正負(fù)方向,可得到兩種不同的穩(wěn)定構(gòu)型。改變層合板的厚度,有限元分析及理論計算得到的無外載荷作用下層合板穩(wěn)定狀態(tài)的角點面外位移與層合板厚度關(guān)系曲線如圖3所示。

    圖3 正交鋪設(shè)層板厚度參數(shù)分析Fig.3 Parametric analysis of laminate thickness for cross-ply laminate

    圖3所示理論計算結(jié)果與有限元分析結(jié)果吻合的很好,當(dāng)層合板厚度達(dá)到一定尺寸時會失去雙穩(wěn)定特性,此時層合板的穩(wěn)定構(gòu)型為馬鞍面構(gòu)型。有限元分析得到的層合板失去雙穩(wěn)定性的臨界厚度約為1.028~1.032 mm,理論計算得到的臨界厚度約為1.022~1.026 mm。原因是理論模型中共有17個未知參數(shù),即模型具有17個自由度,而在有限自由度的限制下理論模型無法精確表征層合板的局部變形;相比之下,有限元模型中由于節(jié)點數(shù)較多,其自由度遠(yuǎn)大于理論模型。因此,理論模型與有限元模型所預(yù)測的雙穩(wěn)態(tài)臨界厚度存在一定誤差。

    為研究層正方形正交鋪設(shè)合板層合板幾何尺寸以及材料屬性對其失去雙穩(wěn)定特性臨界厚度的影響,利用理論計算方法得到了不同材料層合板邊長與臨界厚度的關(guān)系,如圖4所示。預(yù)測結(jié)果顯示,當(dāng)材料確定時,層合板失去雙穩(wěn)定特性的臨界厚度與其邊長呈線性關(guān)系。

    2.2 剛度分析

    利用有限元分析,在層合板四個角點施加位移驅(qū)動,得到不同厚度情況下層合板角點力位移關(guān)系曲線如圖5所示,由圖5中(a)、(b)、(c)可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)層合板具有雙穩(wěn)定性時,層合板在角點面外位移為0附近的一定位移區(qū)間內(nèi)具有負(fù)剛度特性,并且隨著層合板厚度增加具有負(fù)剛度特性的位移區(qū)間逐漸變窄,當(dāng)層合板厚度增加到1.032 mm時,層合板失去雙穩(wěn)定構(gòu)型。此時層合板無外載荷作用下的穩(wěn)定構(gòu)型為馬鞍面構(gòu)型,角點力位移關(guān)系曲線如圖5(d)所示,在其平衡位置附近的位移區(qū)間內(nèi),層合板剛度趨近于零,隨著角點偏離平衡位置的位移增大,層合板剛度非線性增大,此種狀態(tài)層合板具有準(zhǔn)零剛度特性。

    圖4 不同材料層合板長度與臨界厚度關(guān)系Fig.4 Length-critical thickness curve of different materials

    (a)層合板厚0.7 mm (b)層合板厚1 mm (c)層合板厚1.028 mm

    (d)層合板厚1.032 mm (e)層合板厚1.032 mm局部圖圖5 層合板角點力位移關(guān)系Fig.5 Corner node force-displacement curve

    對比圖5(c)、圖5(d)有限元分析結(jié)果顯示在層合板臨界厚度附近,層合板厚度發(fā)生微小變化會引起其剛度發(fā)生顯著變化。理論模型計算顯示層合板的臨界厚度約為1.026 mm,表格2中對比了層合板在微小載荷作用下的角點面外位移,圖6中對比了層合板力位移關(guān)系曲線有限元分析結(jié)果與理論計算結(jié)果。結(jié)果顯示層合板厚為1.032 mm時,理論模型與有限元模型結(jié)果存在較大誤差。理論模型層合板厚度為1.026 mm時與有限元模型層合板厚度為1.032 mm時層合板剛度特性基本吻合。即理論模型中當(dāng)層合板厚度為1.026 mm時具有準(zhǔn)零剛度特性。

    表2 不同載荷作用下角點面外位移對比Tab.2 Out-of-plane displacement of corner node with different load

    圖6 層合板角點力位移關(guān)系對比Fig.6 Contrast of corner node force-displacement curve

    3 隔振研究

    已有的利用雙穩(wěn)定層合板進(jìn)行振動控制的研究中,雙穩(wěn)定層合板作為負(fù)剛度機構(gòu)與其他正剛度機構(gòu)組合構(gòu)造準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)進(jìn)行隔振[12-13],其中正剛度機構(gòu)用于承載被隔振設(shè)備自重。有限元分析結(jié)果圖5顯示當(dāng)層合板厚度為1.032 mm時,層合板具有準(zhǔn)零剛度特性,此狀態(tài)下層合板在靜平衡位置附近剛度接近于零。在外太空環(huán)境中可以忽略被隔振設(shè)備自重,所以可以考慮單獨利用此狀態(tài)的層合板作為準(zhǔn)零剛度機構(gòu)進(jìn)行衛(wèi)星微振動低頻隔振,此時層合板穩(wěn)定構(gòu)型為馬鞍面構(gòu)型,靜平衡狀態(tài)角點面外位移為零。從力位移關(guān)系曲線圖還可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)系統(tǒng)偏離平衡位置達(dá)到一定位移后,系統(tǒng)承載能力顯著增加,具體數(shù)據(jù)見表格3,可以在衛(wèi)星發(fā)射階段承受過載,保護(hù)系統(tǒng)在衛(wèi)星發(fā)射階段不被損壞。傳統(tǒng)的線性隔振系統(tǒng)顯然無法同時起到在太空中低頻隔振,以及發(fā)射階段承受過載的作用。

    表3 不同位移下系統(tǒng)反作用力對比Tab.3 Refraction force of different displacement

    3.1 隔振效果研究

    首先利用理論和有限元方法研究層合板無阻尼自由振動頻率,層合板中心固定,四個角點各固定一個重量為50 g的質(zhì)量塊,在四個角點施加集中載荷,撤去載荷后層合板無阻尼振動頻率與預(yù)作用力的關(guān)系曲線如圖7所示。從圖7可發(fā)現(xiàn)層合板無阻尼自由振動頻率隨角點預(yù)作用載荷增大非線性的增大,即層合板剛度隨著角點偏離平衡位置的位移增大而非線性增大,與圖5(d)所示結(jié)果相符。

    圖7 層合板無阻尼自由振動頻率Fig.7 Nature frequency of laminate

    在厚度為1.032 mm的復(fù)合材料層合板四個角點各固定一個質(zhì)量塊,構(gòu)成簡單隔振系統(tǒng)。在層合板中心施加正弦加速度激勵如式(29)所示。激勵加速度幅值為a1=50 mg,層合板質(zhì)量阻尼系數(shù)取100。觀測角點加速度響應(yīng),角點加速度響應(yīng)幅值記為a2,將得到的結(jié)果與相同材料的由無殘余熱應(yīng)力的正交鋪設(shè)平板構(gòu)成的線性隔振系統(tǒng)的隔振效果進(jìn)行比較,結(jié)果如圖8所示。

    a=a1sin(2πft)

    (29)

    (a)角點質(zhì)量4×25 g

    (b)角點質(zhì)量4×50 g圖8 激勵頻率對加速度傳遞幅值的影響Fig.8 Excitation frequency effect

    由圖8可以發(fā)現(xiàn)隨著被隔振設(shè)備質(zhì)量的增加,系統(tǒng)固有頻率降低,本文研究的準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)理論計算結(jié)果與有限元分析結(jié)果在一定頻帶范圍內(nèi)兩者存在較大誤差,但總的隔振效果隨激勵頻率的變化趨勢一致。與線性隔振系統(tǒng)相比,準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的固有頻率低于線性隔振系統(tǒng),振動加速度傳遞峰值小于線性隔振系統(tǒng),隔振有效區(qū)域?qū)捰诰€性隔振系統(tǒng),且在隔振有效頻帶內(nèi)隔振效果明顯優(yōu)于線性隔振系統(tǒng)。

    3.2 誤差分析及討論

    由圖8發(fā)現(xiàn)理論模型計算結(jié)果與有限元分析結(jié)果存在一定誤差,產(chǎn)生誤差的主要原因是理論模型中取層合板的厚度為1.032 mm,由圖6中力位移關(guān)系曲線可以發(fā)現(xiàn)此時理論模型在平衡位置附近剛度遠(yuǎn)大于有限元模型,圖9中給出了理論模型利用厚度為1.026 mm層合板的隔振效果。角點質(zhì)量為4×25 g。

    圖9中結(jié)果顯示當(dāng)理論計算模型中層合板厚度取1.026 mm時,其隔振效果與有限元模型吻合較好,與圖6結(jié)果相符。圖9中結(jié)果顯示被隔振設(shè)備質(zhì)量確定時,加速度激勵幅值增加會導(dǎo)致系統(tǒng)固有頻率增加,如本研究中對于重100 g的被隔振設(shè)備,激勵加速度幅值有10 mg增加到50 mg時,系統(tǒng)固有頻率有5.2 Hz增加到8 Hz。原因是系統(tǒng)剛度隨系統(tǒng)偏離平衡位置位移增大而增大。

    (a)激勵幅值10 mg

    (b)激勵幅值10 mg局部圖

    (c)激勵幅值50 mg

    (d)激勵幅值50 mg局部圖圖9 隔振效果對比Fig.9 Contrast of isolation effect

    通過與文獻(xiàn)[7-8]中研究結(jié)果對比發(fā)現(xiàn),本文研究的隔振器與傳統(tǒng)準(zhǔn)零剛度隔振器隔振效果類似,但具有結(jié)構(gòu)簡單的優(yōu)勢,有利于衛(wèi)星減重設(shè)計。

    4 結(jié) 論

    本文建立了正交鋪設(shè)復(fù)合材料層合板的理論模型,研究了其雙穩(wěn)定特性以及剛度特性層板厚度之間的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)隨著層合板厚度增加其負(fù)剛度變形區(qū)間逐漸變窄,當(dāng)層合板厚度達(dá)到失去雙穩(wěn)定特性臨界厚度時,層合板具有準(zhǔn)零剛度特性。研究了以該厚度層合板作為準(zhǔn)零剛度機構(gòu)進(jìn)行隔振的效果,通過與線性隔振系統(tǒng)的隔振效果進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn),該準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)具有固有頻率低、隔振頻帶寬、在隔振頻帶范圍內(nèi)隔振效果好等優(yōu)點。且與傳統(tǒng)準(zhǔn)零剛度隔振機構(gòu)相比,本文研究的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單,占用空間小,無需復(fù)雜的機構(gòu)便可以實現(xiàn)準(zhǔn)零剛度特性,對于衛(wèi)星微振動隔離具有潛在應(yīng)用價值。

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