基于貝塞爾不等式原理的密集模態(tài)阻尼識別

趙曉丹， 韓俊陽， 孫黎明,2， 王西富

(1.江蘇大學 汽車與交通工程學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013；2.拖拉機動力系統(tǒng)國家重點實驗室，洛陽拖拉機研究所有限公司，河南 洛陽 471039)

阻尼表征系統(tǒng)振動衰減和能量耗散，在結構故障診斷、振動與噪聲控制和振動實時監(jiān)控等課題研究中有重要意義，精準地識別阻尼一直是人們研究的重要課題[1-2]。

阻尼識別的方法眾多[3],工程上常用半功率帶寬法，但是半功率帶寬法受頻率分辨率的限制，在小阻尼的情況下不能準確地獲取半功率點[4]。為此，文獻[5-7]提出半功率帶寬法的改進方法、內積法、衰減法等阻尼識別方法，這些方法能夠準確地識別單自由度模態(tài)和非密集模態(tài)的模態(tài)阻尼。但是當響應信號中存在密集模態(tài)時，各模態(tài)之間的干涉嚴重，上述方法不能有效識別密集模態(tài)的阻尼比。

密集模態(tài)的阻尼識別是目前研究的熱點問題。針對密集模態(tài)阻尼的識別，常見思路是分離出信號中的多個“純模態(tài)”，然后分別診斷各“純模態(tài)”的阻尼[8]。這一思路下的方法有小波變換[9]和Hilbert-Huang變換[10]。小波方法具有濾波功能，但是不能完全濾除相近模態(tài)，導致模態(tài)參數(shù)識別不準確[11]。Hilbert-Huang變換的關鍵環(huán)節(jié)是EMD分解，但是當模態(tài)之間頻率較為接近時，EMD方法無法徹底分離出單個模態(tài)，同時存在端點效應、分離模態(tài)不完整及模態(tài)混疊等問題[12]，限制了Hilbert-Huang變換方法準確地識別密集模態(tài)阻尼。國內外最常用的密集模態(tài)阻尼比計算方法是迭代方法[13-14]。迭代方法的機制是首先粗略獲取各階模態(tài)估計項，然后通過迭代過程逐步消除各階模態(tài)之間的相互干擾，最后得到各階模態(tài)參數(shù)。迭代方法沒有改變“首先從原信號中分離出某一階模態(tài)，然后逐個獲取各階模態(tài)參數(shù)”這一思路。迭代方法能夠有效地識別出一定密集程度的模態(tài)阻尼。但是對于密集程度較高的模態(tài)信號，迭代法不能有效地分離各階模態(tài)并識別其參數(shù)。密集模態(tài)的阻尼識別仍然是一難點問題。

區(qū)別于以往思路，本文以貝塞爾不等式原理為理論基礎，在密集模態(tài)附近建立標準正交坐標系，計算響應信號在該坐標系上的投影，特性是通過優(yōu)化獲得的正交基系消除密集模態(tài)間的相互干擾，一次性識別出密集模態(tài)各階固有頻率和衰減系數(shù)，而不再是要從原信號中逐個分離出各階模態(tài)。通過仿真計算和油底殼模態(tài)實驗，驗證方法的有效性。

1 密集模態(tài)阻尼比識別

1.1 識別原理

自由度為的密集模態(tài)響應信號可表示為

(1)

阻尼比ζi與衰減系數(shù)ni及固有頻率ωdi存在如下關系

(2)

根據(jù)響應信號的階數(shù)M，在密集模態(tài)附近構造基函數(shù)系：

{g1(t),g2(t),…,g2i-1(t),g2i(t),…,g2M(t)}

(3)

其中:

設置采樣頻率為fs，采樣點數(shù)為N。信號x(t)離散為向量x

(4)

式中：k=0,1,2,…,N-1，Δt為采樣時間間隔，且Δt=1/fs。

基函數(shù)系{g1(t),g2(t),…,g2i-1(t),g2i(t),…,g2M(t)}轉化為對應的向量系，表示為：

(5)

式中：k=0,1,2,…,N-1，Δt為采樣時間間隔，且Δt=1/fs。

使用施密特方法將向量系{g1,g2,…,g2i-1,g2i,…,g2M}正交化：

(6)

將正交向量系{h1,h2,…,h2M}單位化:

(7)

得到一組標準正交系{u1,u2,…,u2M}。

將響應信號x(t)對應的向量x與標準正交系{u1,u2,…,u2M}中各向量做內積運算，并計算內積模平方和，即：

(8)

若{eλ|λ∈Λ}是內積空間(H)中的標準正交基，且x∈H，則貝塞爾不等式成立[15]：

(9)

式(8)中，根據(jù)貝塞爾不等式，有：

(10)

(11)

(12)

式(10)的幾何意義為：空間中向量x在一標準正交基{u1,u2,…,u2M}各基向量上投影的平方和小于等于其自身長度的平方。當向量x與標準正交系{u1,u2,…,u2M}線性相關時，式(10)等號成立。

1.2 優(yōu)化搜索目標函數(shù)最大值

遺傳算法具有全局收斂性,但是在局部區(qū)域的搜索能力較差，搜索速度較慢，搜索結果具有一定的隨機性[16]。擬牛頓法能快速獲取局部區(qū)域最優(yōu)解，但是在多峰值的全局搜索中并不適用[17]。本文結合兩者優(yōu)點，使用遺傳算法優(yōu)化搜索到包含目標函數(shù)最大值的局部鄰域，將遺傳算法的搜索結果作為初始值，采用擬牛頓法局部優(yōu)化搜索目標函數(shù)最大值，獲取密集模態(tài)信號固有頻率和衰減系數(shù)的精確解。

(1)遺傳算法全局優(yōu)化搜索

(2)擬牛頓法局部優(yōu)化搜索

步驟2：計算

(13)

同時，設定k=1,H(1)=E2N,其中，E2N為單位矩陣。

步驟3：令p(k)=-H(k)d(k)。

步驟4：求解方程

Y(z(k)+λkp(k))=maxY(z(k)+λp(k))

(14)

獲取一維搜索的最優(yōu)步長λk。同時，令

z(k+1)=z(k)+λkp(k)

(15)

步驟6：計算

(16)

式中:Δz(k)=z(k+1)-z(k)，Δd(k)=d(k+1)-d(k)。令k=k+1，返回步驟3。

2 仿真算例

假設存在一個三自由度的自由衰減響應信號

阻尼比ζ1、ζ2、ζ3分別為0.006 3、0.007 5、0.008 6。為了考察本文方法能否準確識別密集程度不同的模態(tài)信號的阻尼。頻率f1、f2、f3取三組不同數(shù)值：第一組取為100、105、110 Hz；第二組取為102.2、105、107.8 Hz；第三組取為104.1、105.5、106.8 Hz。得到密集程度不同的三組信號。圖1為三組信號的頻域圖。觀察圖1，三組信號的密集程度由低到高。設置采樣頻率2 000 Hz，采樣點數(shù)2 048點。

采用本文方法識別三組信號的各階模態(tài)阻尼比。在使用遺傳算法搜索目標函數(shù)最大值時，設定種群規(guī)模為20，個體基因數(shù)為34，交叉概率為0.5，變異概率設置為0.01。遺傳到2 000代時，搜索終止，初步獲取各階固有頻率和衰減系數(shù)。進一步采用擬牛頓法優(yōu)化搜索局部最大值，根據(jù)相應的各階固有頻率和衰減系數(shù)計算各階阻尼比。計算結果如表1所示。

為了進行對比，同時使用迭代法[14]診斷三組信號的各階模態(tài)阻尼比。設定迭代次數(shù)為50。診斷結果如表2所示。

對比觀察表1和表2可知：迭代方法可以較為準確地診斷出密集程度較低的第一組信號的各階模態(tài)阻尼，阻尼比識別誤差在0.5%以內。而對于密集程度較高的第二組信號和第三組信號，內積迭代方法不能準確地識別出信號的模態(tài)阻尼比。特別地，對于密集程度很高的第三組信號，阻尼比的識別誤差甚至達到了295.7%，識別結果失真。

本文方法精確地識別出了密集程度不同的三組信號的阻尼比。三組信號的各階阻尼比識別誤差均保持在0.001 3%以內。上述結果表明，本文方法不受模態(tài)密集程度的影響，對于密集程度不同的模態(tài)信號，阻尼比的識別結果都較為準確。

圖1 密集模態(tài)信號頻域圖Fig.1 Spectrum of closely spaced modes

表1 本文方法的密集模態(tài)阻尼比識別結果Tab.1 Closely spaced modes damping ratio estimation with method based on bessel inequality

表2 內積迭代法的密集模態(tài)阻尼比計算結果Tab.2 Closely spaced modes damping ratio estimation using inner product and iterative algorithm

3 實驗驗證

油底殼的輻射噪聲在發(fā)動機噪聲中占有很大比例，準確識別油底殼的阻尼對于油底殼噪聲控制具有實際意義[18]。油底殼的振動響應信號中存在密集模態(tài)信號。

對某型號發(fā)動機的油底殼進行阻尼識別實驗，實驗過程如下：使用橡皮繩索將油底殼懸掛于支架上，油底殼上安裝加速度傳感器，加速度傳感器的型號為B&K4321，圖2為實驗現(xiàn)場照片；用型號為B&K8848的力錘敲擊油底殼中部，使用優(yōu)泰uTekL 2009型數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)采集振動響應信號，采樣頻率為2 000 Hz，采樣獲得的時域曲線，見圖3。

圖2 油底殼實驗照片F(xiàn)ig.2 The photo of oil pan experiment

圖3 響應信號時域圖Fig.3 Time domain spectrum of response signal

圖4 響應信號頻域圖Fig.4 Frequency spectrum of response signal

對時域信號做時頻變換，獲取響應信號的頻域圖如圖4所示。觀察響應信號的頻域圖發(fā)現(xiàn)：響應信號中450～650 Hz內存在密集模態(tài)，且在530～540 Hz附近存在一幅值很小的模態(tài)信號，這一階模態(tài)信號的阻尼識別容易受兩側模態(tài)的干擾。

采用本文方法識別密集模態(tài)信號的固有頻率和阻尼比。診斷結果如表3所示。

表3 油底殼阻尼比識別結果Tab.3 Identification results of an oil pan damping ratio

為了驗證識別結果的準確性，根據(jù)診斷出的固有頻率和阻尼比信息重構各階模態(tài)信號，從原信號中依次削減識別出的各階模態(tài)信號。若某階模態(tài)參數(shù)識別結果不準確，則此階模態(tài)不能被完全削減，頻域圖上殘留“剩余峰值”；反之，若識別結果準確，則此階模態(tài)能被削減，頻域圖上也不存在明顯的“剩余峰值”。

圖5為各階模態(tài)被削減后的剩余信號頻域圖，觀察發(fā)現(xiàn)：頻域圖上的每一階模態(tài)都能被有效削減，不存在明顯的“剩余峰值”，這表明識別出的固有頻率和阻尼比的結果準確。

圖5 剩余信號的頻域圖Fig.5 Frequency spectrum of the remaining signal

4 結 論

(1)本文構建標準正交系，計算密集模態(tài)在正交系上的投影。根據(jù)貝塞爾不等式，當投影最大時，密集模態(tài)信號與標準正交系線性相關，獲取相應的各階模態(tài)固有頻率和衰減系數(shù)，同時采用遺傳算法結合擬牛頓法優(yōu)化搜索密集模態(tài)在正交系上的投影最大值，得到各階模態(tài)固有頻率和衰減系數(shù)精確解，最后求解出各階阻尼比。

(2)本文方法識別阻尼的進步意義在于其不受模態(tài)密集程度的限制，理論上該方法能夠準確地識別出任意密集程度的模態(tài)信號的阻尼。

(3)經仿真計算和油底殼模態(tài)實驗驗證，該方法可準確識別出油底殼響應信號中密集模態(tài)的模態(tài)參數(shù)，具有理論價值和工程應用價值。