基于廣義復(fù)合多尺度排列熵與PCA的滾動(dòng)軸承故障診斷方法

鄭近德， 劉 濤， 孟 瑞， 劉慶運(yùn)

(安徽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032)

由于機(jī)械系統(tǒng)的復(fù)雜性，設(shè)備在運(yùn)轉(zhuǎn)的過(guò)程中不可避免地會(huì)出現(xiàn)摩擦、振動(dòng)、負(fù)載和沖擊等，振動(dòng)信號(hào)往往表現(xiàn)為一定的非線性和非平穩(wěn)性。許多非線性分析的方法，如分形，近似熵，樣本熵，排列熵和多尺度排列熵等因能夠提取隱藏在振動(dòng)信號(hào)中線性分析方法無(wú)法提取的非線性故障特征而在故障診斷中得到了越來(lái)越多的應(yīng)用[1]。如石博強(qiáng)等[2]研究了旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障信號(hào)的的分形特征；胥永剛等[3-4]將近似熵應(yīng)用于機(jī)械故障診斷，將其與分形維數(shù)進(jìn)行了對(duì)比；Yan等[5]將排列熵應(yīng)用于機(jī)械系統(tǒng)的振動(dòng)信號(hào)的特征提取和狀態(tài)監(jiān)測(cè)，結(jié)果表明排列熵能夠有效地檢測(cè)滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)的動(dòng)態(tài)變化和表征不同狀態(tài)下的工況特征；鄭近德等[6-7]提出一種自適應(yīng)多尺度排列熵的滾動(dòng)軸承故障診斷方法，并將多尺度排列熵(Multiscale Permutation Entropy, MPE)應(yīng)用于滾動(dòng)軸承故障特征提取與診斷等。

然而，研究發(fā)現(xiàn)，MPE還存在如下缺陷：①基于粗粒化方式定義的多尺度計(jì)算方法依賴于時(shí)間序列的長(zhǎng)度。由于每個(gè)粗粒化序列的長(zhǎng)度等于原信號(hào)長(zhǎng)度除以尺度因子，因此，熵值的偏差會(huì)隨著粗?；蛄虚L(zhǎng)度減小而增大[8]；②粗?；^(guò)程將一個(gè)時(shí)間序列分割為等長(zhǎng)的非重疊的片段再計(jì)算每一個(gè)片段內(nèi)所有數(shù)據(jù)點(diǎn)的均值。只采用了數(shù)據(jù)的均值這單一特征得到原始信號(hào)不同尺度的序列，不可避免地會(huì)造成許多潛在有用信息的丟失[9]。對(duì)此，本文采用復(fù)合多尺度的方法以克服傳統(tǒng)粗?；绞降牟蛔?，同時(shí)將粗?；^(guò)程中一階矩(均值)推廣到二階矩(方差)，實(shí)現(xiàn)時(shí)間序列的粗?；纱说玫搅藦V義復(fù)合多尺度排列熵(Generalized Composite Multiscale Permutation Entropy，GCMPE)。

正常滾動(dòng)軸承振動(dòng)是隨機(jī)振動(dòng)，當(dāng)滾動(dòng)軸承發(fā)生故障時(shí)，振動(dòng)信號(hào)的隨機(jī)性和動(dòng)力學(xué)行為發(fā)生改變。由于背景噪聲及機(jī)械系統(tǒng)的復(fù)雜性，振動(dòng)信號(hào)中與故障有關(guān)的特征信息往往分布在不同的時(shí)間尺度，振動(dòng)信號(hào)的隨機(jī)性和動(dòng)力學(xué)行為改變也發(fā)生在不同尺度。因此，對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行GCMPE分析能夠有效的提取滾動(dòng)軸承故障特征。在提取滾動(dòng)軸承的振動(dòng)信號(hào)的GCMPE后，采用主元分析(Principal Component Analysis，PCA)降低特征值維數(shù)[10]。為了實(shí)現(xiàn)故障診斷智能化，將適合小樣本分類的支持向量機(jī)(Support Vector Machine，SVM)用于故障模式的自動(dòng)識(shí)別[11-12]，提出了一種基于GCMPE，PCA與SVM的滾動(dòng)軸承故障診斷方法。將提出的方法應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析，結(jié)果表明了論文方法的有效性和優(yōu)越性。

1 多尺度排列熵算法

1.1 排列熵算法

考慮時(shí)間序列{x(i),i=1, 2, …,N}，對(duì)其進(jìn)行相空間重構(gòu)，得到：X(1),X(2), …,X(N-(m-1)λ)；這里X(i)={x(i),x(i+λ), …，x(i+(m-1)λ)}，i=1,2,…，N-(m-1)λ,m是嵌入維數(shù)，λ是時(shí)間延遲。

將X(i)中的m個(gè)元素按照升序重新排列：

X(i)={x(i+(j1-1)λ)≤x(i+(j2-1)λ)≤…≤x(i+(jm-1)λ)};

若有：x(i+(ji1-1)λ)=x(i+(ji2-1)λ)，則按j值的大小進(jìn)行排序，即當(dāng)jk1

(1)

注意到當(dāng)Pg=1/m!時(shí)，Hp(m)達(dá)到最大值ln(m!)，通過(guò)ln(m!)將Hp(m)歸一化

Hp=Hp(m)/ln(m!)

(2)

Hp的取值范圍是0≤Hp≤1。Hp值的大小表示時(shí)間序列的復(fù)雜和隨機(jī)程度。Hp越大，說(shuō)明時(shí)間序列越隨機(jī)，反之，則說(shuō)明時(shí)間序列越規(guī)則。

1.2 多尺度排列熵

PE只能分析時(shí)間序列單一尺度的隨機(jī)性和動(dòng)力學(xué)突變行為，為了分析時(shí)間序列在不同尺度下的隨機(jī)性和動(dòng)力學(xué)突變行為，有學(xué)者提出了多尺度排列熵(MPE)，計(jì)算步驟如下[13]。

(3)

式中:τ為尺度因子。τ=1時(shí)粗?；蛄屑礊樵瓡r(shí)間序列；τ>1時(shí)原始序列被分割成長(zhǎng)度為[N/τ]([·]表示取整)的粗粒化序列。

(2) 計(jì)算每個(gè)粗粒化序列的PE，即

MPE(X,τ,m,λ)=PE(y(τ),m,λ)

(4)

2 廣義復(fù)合多尺度排列熵

GCMPE的計(jì)算步驟如下：

(5)

(3) 再將τ個(gè)PE值的均值視為原時(shí)間序列在尺度因子τ的PE值，即

(6)

式(6)得到的PE值畫成尺度因子的函數(shù)，稱為復(fù)合多尺度排列熵分析(GCMPE)。MPE算法中粗?；蛄卸贾豢紤]了一種粗?；绞?，不可避免地會(huì)遺漏很多重要信息。GCMPE不僅綜合了同一尺度下多個(gè)粗?；蛄械男畔?，且將一階矩推廣到二階矩(方差)，理論上GCMPE要優(yōu)于MPE方法。GCMPE與MPE類似，都是衡量時(shí)間序列隨機(jī)性和檢測(cè)動(dòng)力學(xué)突變行為的方法，與單一尺度的PE不同，GCMPE和MPE從多個(gè)尺度對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行分析。如果一個(gè)時(shí)間序列的GCMPE(或MPE)在大部分尺度上比另一個(gè)時(shí)間序列PE值大，這說(shuō)明前者比后者的隨機(jī)性更強(qiáng)，發(fā)生動(dòng)力學(xué)突變行為的概率更高。

最后，GCMPE的取值與嵌入維數(shù)m，時(shí)間延遲λ和尺度因子τ的選擇有關(guān)。m太小重構(gòu)的向量中包含太少的狀態(tài)，算法失去意義和有效性，不能準(zhǔn)確檢測(cè)時(shí)間序列的動(dòng)力學(xué)突變；但是m過(guò)大相空間的重構(gòu)將會(huì)均勻化時(shí)間序列，此時(shí)不僅計(jì)算耗時(shí)，而且也無(wú)法反映序列的細(xì)微變化，因此，嵌入維數(shù)m一般取值4～7[14]。時(shí)間延遲λ對(duì)PE計(jì)算的影響較小，一般λ=1。尺度因子τ的最大值τm的選取沒(méi)有一定的標(biāo)準(zhǔn)，一般選擇τm≥10。GCMPE的計(jì)算流程，如圖1所示。

3 參數(shù)選擇與對(duì)比分析

為了研究參數(shù)對(duì)GCMPE分析結(jié)果的影響，不失一般性，考慮隨機(jī)信號(hào)白噪聲和1/f噪聲。與白噪聲相比，1/f噪聲功率譜更為復(fù)雜，包含了更多模式信息。因此，在大部分尺度上1/f噪聲的PE應(yīng)比白噪聲大。為了對(duì)比，將MPE中粗粒化方式采用廣義粗?；床捎脧?fù)合平均的方式得到的MPE方法，稱為廣義多尺度排列熵(Generalized Multiscale Permutation Entropy，GMPE)。即在GCMPE的計(jì)算步驟(2)中，對(duì)于尺度因子τ，只計(jì)算廣義粗粒化序列中k=1的粗?；蛄械腜E值，并將其作為時(shí)間序列在該尺度因子下的PE值。

為了研究嵌入維數(shù)m對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，以數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)為4 096的白噪聲和1/f噪聲為例，二者的波形及頻譜如圖2所示。依據(jù)文獻(xiàn)[14]，在m=4, 5, 6, 7的條件下，分別采用MPE，GMPE和GCMPE對(duì)兩種噪聲進(jìn)行分析，結(jié)果分別如圖3和圖4所示，其中時(shí)間延遲λ=1，最大尺度因子τm=25。

圖1 GCMPE的計(jì)算流程圖Fig.1 The flowchart of GCMPE

由圖3和圖4可以得出，首先，在相同的嵌入維數(shù)的情況下，白噪聲和1/f噪聲的MPE，GMPE和GCMPE值比較接近；但隨著尺度因子的增大，MPE和GMPE的PE值波動(dòng)和偏差增大，而GCMPE則變化趨勢(shì)比較平緩，波動(dòng)較小，對(duì)比結(jié)果體現(xiàn)了GCMPE的優(yōu)越性。其次，嵌入維數(shù)m較小時(shí)(4和5)，PE值的變化不明顯，無(wú)法體現(xiàn)進(jìn)行多尺度分析的優(yōu)勢(shì)。而m較大時(shí)，重構(gòu)過(guò)程將會(huì)均勻化時(shí)間序列，無(wú)法反映序列的細(xì)微變化，m越大越無(wú)法區(qū)別結(jié)構(gòu)相近的時(shí)間序列。且由圖5白噪聲和1/f噪聲的GCMPE對(duì)比，可以看出，m=7時(shí)GCMPE無(wú)法區(qū)分白噪聲和1/f噪聲。因此，一般取m=6。

圖2 白噪聲與1/f噪聲波形及頻譜Fig.2 Waveforms and spectrum of white noise and 1/f noise

圖3 不同嵌入維數(shù)下1/f噪聲的MPE，GMPE和GMPE對(duì)比Fig.3 MPE, GMPE and GCMPE of 1/f noise under different embedding dimensions

圖4 白噪聲在不同嵌入維數(shù)下的MPE，GMPE和GMPE對(duì)比Fig.4 MPE, GMPE and GCMPE of white noise under different embedding dimensions

為了研究數(shù)據(jù)長(zhǎng)度對(duì)GCMPE分析結(jié)果的影響，分別計(jì)算長(zhǎng)度N為1 024，2 048， 3 072，4 096，5 120，6 144，7 168和8 192的白噪聲信號(hào)，結(jié)果如圖5所示，其中m=6，λ=1。由圖6可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)尺度因子小于等于10時(shí)，長(zhǎng)度大于等于3 072的白噪聲的PE值的相對(duì)誤差在10%以下，最短粗粒化序列的長(zhǎng)度約為300。當(dāng)尺度因子等于20時(shí)，長(zhǎng)度大于等于4 096的白噪聲的PE值的相對(duì)誤差在10%以下，此時(shí)粗?；蛄械拈L(zhǎng)度約為200。為了減少誤差，時(shí)間序列的長(zhǎng)度應(yīng)滿足N≥200τm。最后，一般λ對(duì)GCMPE的影響很小。綜上，選擇嵌入維數(shù)m=6，λ=1，時(shí)間序列長(zhǎng)度N≥200τm。

圖5 不同嵌入維數(shù)計(jì)算的白噪聲和1/f噪聲GCMPE對(duì)比Fig.5 GCMPEs of white and 1/f noises estimated under different embedding dimensions

圖6 白噪聲在不同數(shù)據(jù)長(zhǎng)度下的GCMPE對(duì)比Fig.6 GCMPE of white noise under different lengths

4 基于GCMPE，PCA與SVM的滾動(dòng)軸承故障診斷方法

4.1 故障診斷方法

論文將GCMPE應(yīng)用于滾動(dòng)軸承故障振動(dòng)信號(hào)故障特征的提取，提出了一種基于GCMPE，PCA與SVM的滾動(dòng)軸承故障診斷方法，步驟如下：

(1) 假設(shè)滾動(dòng)軸承包含K類狀態(tài)，每一類樣本數(shù)目分別為M1，M2, …,MK；計(jì)算每一類每一個(gè)樣本振動(dòng)信號(hào)的GCMPE，得到K個(gè)故障特征集。

(2) 采用PCA對(duì)K個(gè)故障特征集進(jìn)行降維處理，前q(q<τm)個(gè)主元作為原始特征集的敏感故障特征。

(3) 將K個(gè)故障特征集的每一個(gè)故障特征子集分為2Mk/3個(gè)訓(xùn)練樣本和Mk/3測(cè)試樣本，k=1, 2, …,K。

(4) 將訓(xùn)練樣本輸入到基于SVM的K類故障分類器，對(duì)其進(jìn)行訓(xùn)練。其中基于SVM的K類故障分類器采用偏二叉樹建立。

(5) 采用測(cè)試樣本對(duì)多故障分類器進(jìn)行測(cè)試，依據(jù)分類器輸出結(jié)果判斷滾動(dòng)軸承的狀態(tài)。

4.2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證

試驗(yàn)數(shù)據(jù)采用美國(guó)Case Western Reserve University的滾動(dòng)軸承試驗(yàn)數(shù)據(jù)。測(cè)試軸承為6205-2RS深溝球軸承，采用電火花技術(shù)在軸承上布置單點(diǎn)故障，故障直徑為0.533 4 mm，深度為0.279 4 mm，主軸轉(zhuǎn)速為1 730 r/min，采樣頻率為12 kHz，采集到滾動(dòng)體故障(Ball element，BE)、正常(Norm)、外圈故障(Outer Race，OR)和內(nèi)圈故障(Inner Race fault，IR)四種狀態(tài)軸承的振動(dòng)加速度信號(hào)，每種狀態(tài)取29組數(shù)據(jù)樣本，每個(gè)樣本點(diǎn)數(shù)為4 096，四種振動(dòng)信號(hào)的波形，如圖7所示。

上述四種滾動(dòng)軸承故障類型的數(shù)據(jù)，每種狀態(tài)取29個(gè)樣本，共116個(gè)樣本。計(jì)算每一個(gè)樣本的GCMPE，每種狀態(tài)所有29個(gè)數(shù)據(jù)樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差如圖8所示。由圖中可以看出，每一類樣本的標(biāo)準(zhǔn)差非常小，即單個(gè)樣本的GCMPE偏離均值較小，這說(shuō)明GCMPE的計(jì)算較穩(wěn)定。在尺度因子等于1時(shí)，正常滾動(dòng)軸承的PE值較小，小于其它三類故障軸承振動(dòng)信號(hào)的PE值；由此可見，PE適合滾動(dòng)軸承的故障檢測(cè)。此種情況下，若要區(qū)分正常與故障軸承，取PE閾值0.75即能夠有效的檢測(cè)軸承是否發(fā)生故障。但是仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，單一尺度PE雖然能夠檢測(cè)有無(wú)故障，若要進(jìn)一步識(shí)別故障位置則需要更多的信息。從圖8中也易發(fā)現(xiàn)，四種狀態(tài)軸承振動(dòng)信號(hào)在不同的尺度因子下的PE值明顯不同。當(dāng)考慮單一尺度的PE時(shí)，四者的大小關(guān)系是：PEIR>PEOR>PEB>PENorm；但考慮多尺度時(shí)，這種關(guān)系不再成立。例如當(dāng)4≤τ≤16時(shí)，PEB>PENorm>PEOR>PEIR；這說(shuō)明單一尺度的PE值并不能完整地反映故障的全部信息，其它多個(gè)尺度也包含重要故障特征信息。當(dāng)17≤τ≤25時(shí)，四種狀態(tài)振動(dòng)信號(hào)的GCMPE非常接近，區(qū)別不大，與實(shí)際相符。綜上，GCMPE能夠有效地反映滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)的故障特征。

圖7 滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)時(shí)域波形Fig.7 Waveforms of vibration signal of rolling bearing

圖8 滾動(dòng)軸承四種狀態(tài)振動(dòng)信號(hào)的GCMPEFig.8 GCMPEs of vibration signals of rolling bearing under four different states

采用PCA對(duì)得到的GCMPE特征值進(jìn)行特征降維，輸出結(jié)果如圖9所示，其中PCA降維子空間維數(shù)為5。由圖中可以看出，不同狀態(tài)的各類數(shù)據(jù)都能夠區(qū)分得較為明顯，正常樣本和各類故障樣本區(qū)分比較明顯，而且每一類的各個(gè)樣本的特征相對(duì)比較集中。最后，從每一類狀態(tài)樣本集中隨機(jī)選擇19個(gè)樣本，每一類剩余的10個(gè)樣本作為測(cè)試樣本。將每一類樣本降維后的前兩個(gè)主元特征作為敏感故障特征輸入到基于SVM的多故障分類器進(jìn)行訓(xùn)練，SVM程序參見文獻(xiàn)[15]，參數(shù)采用默認(rèn)設(shè)置。將測(cè)試樣本輸入到已訓(xùn)練好的分類器進(jìn)行測(cè)試，40個(gè)測(cè)試樣本都得到了正確分類，故障識(shí)別率為100%，這說(shuō)明了論文方法的有效性。

為了對(duì)比，計(jì)算所有樣本MPE，再采用PCA進(jìn)行降維處理，對(duì)得到的故障特征輸入到基于SVM的多故障分類器。經(jīng)過(guò)同樣的訓(xùn)練過(guò)程，測(cè)試樣本的輸入結(jié)果也為100%。這說(shuō)明MPE也能夠有效的提取滾動(dòng)軸承的故障特征信息。但在分類之前，將PCA降維處理的結(jié)果輸出，如圖10所示。由圖中可以看出，雖然基于MPE的PCA能夠有效的區(qū)分四種狀態(tài)，但將其與圖9對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，基于MPE的PCA輸出結(jié)果每一類各個(gè)樣本的特征比較分散，聚類效果明顯不如基于GCMPE方法。因此，GCMPE和MPE雖然都能有效地提取機(jī)械故障的特征信息，實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)軸承故障診斷，但與MPE相比，基于GCMPE的PCA降維處理后的主元分布更集中，聚類效果更好。上述對(duì)比分析結(jié)果表明，GCMPE不僅能夠有效地提取滾動(dòng)軸承故障特征，而且故障診斷效果優(yōu)于MPE方法。

圖9 基于GCMPE的PCA聚類結(jié)果Fig.9 Outputs of features based on GCMPE and PCA

圖10 基于MPE的PCA聚類結(jié)果Fig.10 Output of samples based on MPE and PCA

5 結(jié) 論

(1) 在排列熵的基礎(chǔ)上，發(fā)展了廣義復(fù)合多尺度排列熵(GCMPE)，研究了GCMPE參數(shù)選擇及影響，給出了GCMPE參數(shù)選擇標(biāo)準(zhǔn)。通過(guò)分析噪聲信號(hào)，將GCMPE與MPE進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果表明GCMPE得到穩(wěn)定值的一致性更好。

(2) 將GCMPE應(yīng)用于滾動(dòng)軸承試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析，結(jié)果表明，GCMPE能夠有效地區(qū)分滾動(dòng)軸承故障類型，且區(qū)分效果要優(yōu)于MPE。

(3) 提出了一種基于GCMPE，主元分析和支持向量機(jī)的滾動(dòng)軸承故障診斷方法，試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析結(jié)果驗(yàn)證了方法的有效性和優(yōu)越性。