論證視角下的“三角形內(nèi)角和”教材理解與教學(xué)設(shè)計(jì)（四）
——如何基于論證過程開展教學(xué)

◇宋煜陽(yáng)

（上接第4期第66頁(yè)）

一、解讀課題，認(rèn)識(shí)內(nèi)角，梳理研究思路

1.理解題意，指認(rèn)內(nèi)角。

揭題板書：三角形內(nèi)角和。

師：你明白課題的意思嗎？說說什么是三角形的內(nèi)角。

出示銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形（如圖 1），介紹：“像圖中∠1、∠2、∠3 都是三角形相鄰的兩條邊的夾角，稱為三角形的內(nèi)角。”“我們常說的三角形有3個(gè)角指的就是三角形的內(nèi)角。”

圖1

出示△ABC，在邊BC上取一點(diǎn)D，連接AD得到△ABD、△ACD （如圖2），組織學(xué)生指認(rèn)△ABD、△ACD、△ABC的內(nèi)角。

圖2

討論：∠3、∠6是△ABC的內(nèi)角嗎？你是怎么想的？

2.摸底了解，明確研究對(duì)象。

交流討論：關(guān)于三角形內(nèi)角和，你已經(jīng)知道了哪些知識(shí)？哪些三角形的內(nèi)角和是180°？

結(jié)合學(xué)生回答，教師板書：所有三角形的內(nèi)角和都是180°。

師：所有三角形你們都研究過嗎？看來(lái)，還得在“所有三角形的內(nèi)角和都是180°”后面打上問號(hào)。

板書：所有三角形的內(nèi)角和都是180°？

組織學(xué)生討論：該怎么研究這個(gè)結(jié)論？

結(jié)合學(xué)生想法指出：要研究三角形內(nèi)角和是不是180°，就需要研究所有三角形內(nèi)角和是不是180°，也就是要研究所有直角三角形、所有銳角三角形、所有鈍角三角形內(nèi)角和是不是180°。

二、運(yùn)用不完全歸納法論證“直角三角形內(nèi)角和是 180°”

1.研究特殊直角三角形的內(nèi)角和。

出示一副三角尺，組織學(xué)生討論：這兩個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是180°嗎？你是怎么知道的？

針對(duì)兩個(gè)特殊直角三角形的已知內(nèi)角度數(shù)，口算得出“90°+30°+60°=180°”“90°+45°+45°=180°”，結(jié)論正確。

討論：憑這兩個(gè)直角三角形內(nèi)角和是180°這個(gè)結(jié)論，可以說明所有直角三角形的內(nèi)角和都是180°嗎？

學(xué)生通過討論得出，直角三角形有許多個(gè)，不能憑這兩個(gè)直角三角形內(nèi)角和是180°而得出“所有直角三角形內(nèi)角和都是180°”的結(jié)論。還需要驗(yàn)證其他直角三角形內(nèi)角和是不是180°。

2.研究其他直角三角形內(nèi)角和。

教師提供多組直角三角形（90°，15°，75°；90°，20°，70°；90°，40°，50°；90°，35°，55°）供學(xué)生研究。

組織學(xué)生反饋：你研究的直角三角形內(nèi)角和是180°嗎？你是怎樣得出這個(gè)結(jié)論的？

對(duì)學(xué)生的測(cè)量結(jié)果進(jìn)行匯總，并補(bǔ)充幾何畫板數(shù)據(jù)，觀察討論：有沒有哪個(gè)直角三角形的內(nèi)角和不是180°的？

得出結(jié)論：所有直角三角形的內(nèi)角和都是180°。

結(jié)合學(xué)生作品，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)用撕拼法也可以驗(yàn)證直角三角形內(nèi)角和是180°。

3.梳理小結(jié)研究方法與結(jié)論。

通過以上探究，教師指出，剛才我們通過測(cè)量求和、撕拼等方法發(fā)現(xiàn)，所有直角三角形內(nèi)角和確實(shí)是180°。

三、運(yùn)用推理分析方法論證銳（鈍）角三角形內(nèi)角和是180°

梳理銳角三角形、鈍角三角形內(nèi)角和的研究思路。

討論：你用哪些方法來(lái)研究說明銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和也是180°？

師：除了測(cè)量求和、撕拼等方法來(lái)研究說明銳角三角形、鈍角三角形內(nèi)角和，你還有其他研究方法嗎？你能利用直角三角形內(nèi)角和是180°這個(gè)結(jié)論來(lái)說明嗎？

通過小組討論，得出將銳角三角形作高，分割為兩個(gè)直角三角形進(jìn)行推算（如圖3）。反饋討論：“180°×2-90°-90°”是什么意思？為什么要減去兩個(gè)90°？結(jié)合圖示辨析，明確∠4、∠5并非△ABC的內(nèi)角，所以減去兩個(gè)90°。

圖3

讓學(xué)生獨(dú)立思考：如何利用直角三角形內(nèi)角和結(jié)論來(lái)說明鈍角三角形內(nèi)角和是180°？

學(xué)生通過畫圖、推理分析并交流，重點(diǎn)辨析“為什么減去 180°”。

回顧反思：剛才我們是怎樣研究說明銳角三角形、鈍角三角形內(nèi)角和是180°的？需不需要研究其他銳角三角形、鈍角三角形內(nèi)角和？

通過討論得出，銳（鈍）角三角形內(nèi)角和可以通過作高轉(zhuǎn)化為直角三角形進(jìn)行研究，因?yàn)槊總€(gè)銳（鈍）角三角形通過作高都可以得到直角三角形，所以不需要研究很多個(gè)。

四、梳理研究過程與方法，確認(rèn)研究結(jié)論

引導(dǎo)學(xué)生研究發(fā)現(xiàn)，通過測(cè)量求和、撕拼、推理分析等研究方法得出所有直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和都是180°，因此可以得出結(jié)論：所有三角形的內(nèi)角和都是180°。

五、全課總結(jié)，鼓勵(lì)質(zhì)疑

師：這節(jié)課你有哪些收獲？還有什么問題？

結(jié)合學(xué)生提出的 “為什么三角形內(nèi)角和是180°”“有沒有三角形的內(nèi)角和不是 180°”的問題，鼓勵(lì)學(xué)生通過查閱資料尋求答案。