一類高階擬線性波動方程整體解的指數(shù)衰減

葉子青，葉耀軍

(浙江科技學(xué)院 理學(xué)院，杭州 310023)

引 言

本文研究以下高階擬線性波動方程的初邊值問題：

(1)

u(x,0)=u0(x)，ut(x,0)=u1(x)，x∈Ω，

(2)

(3)

當(dāng)m=a=1，b=0時，式(1)是具有耗散項的非線性波方程，許多人用不同的方法和技巧對此類方程的Cauchy問題或初邊值問題進行了研究，得到了整體解的存在唯一性及衰減估計，并建立了解的爆破性質(zhì)，如文獻[1-4]。在a,b>0的情況下，Ikehata[5]證明了如果初值{u0,u1}屬于穩(wěn)定集，并且足夠小，則式(1)～(3)存在整體強解。

當(dāng)m>1,a,b>0時，式(1)具有明確的物理背景，它描述了受Kelvin-Voig型內(nèi)部材料阻尼項和線性阻尼項μut影響的Woinowsky-Krieger型振動梁模型[6-7]。若a=0,b>0，Li[8]和Ye[9]研究了帶有非線性耗散項的式(1)的初邊值問題，并得到了如下結(jié)果：r>2時解整體存在；r<2時對于任意的負(fù)初始能量，解在有限時間內(nèi)發(fā)生爆破。之后，Messaoudi等[10]改進了文獻[8]中的結(jié)論，并且證明了當(dāng)初始能量有上界時與文獻[8]有相同的結(jié)果。同時，Galaktionov等[11]證明了μ=0時，式(1)的Cauchy問題整體解的存在性和不存在性。然而，他們的處理方法不能應(yīng)用于式(1)～(3)。文獻[12-15]研究了更廣泛的Kirchhoff型方程及方程組的初邊值問題，證明了其局部解和整體解的存在性與不存在性，并建立了整體解的長時間行為。

1 預(yù)備知識

定義式(1)～(3)解的能量如下：

(4)

初始總能量為

引理3令u(t)是式(1)～(3)的解，則t>0時，E(t)是非增函數(shù)，且

E′(t)=-μ||ut||2≤0。

(5)

證明：在式(1)的兩邊同乘以ut，并在Ω×[0,t]上積分，由分部積分得

(6)

由此可知，E(t)是可積函數(shù)的原函數(shù)，故對于任一正則解u(t)，能量E(t)關(guān)于t絕對連續(xù)且滿足式(5)。因此，由稠密性原理知，結(jié)論成立。

定理1～2給出式(1)～(3)局部解和整體解的存在性結(jié)果，其證明過程參見文獻[5]。

此外，下式成立

2 指數(shù)衰減估計

引理4對研究式(1)～(3)整體解的指數(shù)衰減估計起著重要的作用。

引理4[18]令F:R+→R+是非增函數(shù)，并假設(shè)存在常數(shù)L>0使得

本文主要結(jié)果敘述如下。

定理3在定理2的假設(shè)條件下，式(1)～(3)的整體解有如下指數(shù)衰減估計：

式中M>0是常數(shù)。

證明：令E(t)=E(u(t))，如果能夠證明整體解的能量滿足下列估計

則由引理4可得定理3的結(jié)果。

(7)

(8)

由式(8)知

(9)

根據(jù)式(4)、式(7)和式(9)得

(10)

由式(4)和式(7)知E(t)>0。聯(lián)合引理1，式(4)和Cauchy-Schwarz不等式有

(11)

應(yīng)用式(11)和引理3有

(12)

由式(10)和式(12)得

(13)

從式(4)、式(5)和引理2可推出

(14)

因此，由式(14)知

(15)

由式(13)和式(15)得

(16)

選取ε足夠小使得ε<2，則由式(16)知

(17)

定理3證畢。

3 結(jié) 論

本文研究了式(1)的初邊值問題，在式(1)～(3)解的局部存在(定理1)和整體存在(定理2)的前提條件下，應(yīng)用Komornik的積分不等式(引理4)、Cauchy-Schwarz不等式及能量估計方法，得到了式(1)～(3)的整體解能量的指數(shù)衰減估計(定理3)。