牽拉乒乓球的細(xì)線為什么看起來是傾斜的

安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校(236652) 王偉民

取一根無彈性的細(xì)棉線，一端粘貼在乒乓球上，另一端粘貼在玻璃燒杯底部的中央位置，將燒杯置于水平桌面并向杯內(nèi)注水，乒乓球便會(huì)浮起。調(diào)整杯內(nèi)水的深度，使乒乓球約有一半的體積浸入水中，如圖1(a)所示。觀察現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)，當(dāng)乒乓球靜止時(shí)牽拉乒乓球的細(xì)線是豎直的。該現(xiàn)象很容易利用二力平衡知識(shí)進(jìn)行解釋：水面上靜止的乒乓球受到3個(gè)力的作用——乒乓球自身的重力、水的浮力和繩子對(duì)乒乓球的拉力，由于重力和浮力的方向分別是豎直向下和豎直向上，平衡狀態(tài)的乒乓球所受繩子的拉力一定豎直向下。因此，牽拉乒乓球的細(xì)線是豎直的。

如圖1(b)所示，將燒杯緩慢傾斜，并調(diào)整其傾斜程度，發(fā)現(xiàn)當(dāng)乒乓球靠近燒杯的杯壁但與杯壁不接觸時(shí)，牽拉乒乓球的細(xì)線不再豎直，而是稍微有些傾斜。用重垂線比較發(fā)現(xiàn)，牽拉乒乓球的細(xì)線與重錘線有一個(gè)較小的夾角，雖然角度不大，但可以看得出來，如圖1(c)所示。那么，形成這種現(xiàn)象的原因何在？

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)際上，牽拉乒乓球的細(xì)線之所以從燒杯的側(cè)面觀察看起來向一側(cè)傾斜，有以下2個(gè)方面的原因。

1 靠近側(cè)壁的乒乓球里外兩側(cè)所受的外界壓力不等

由于水與玻璃相浸潤(rùn)，所以，玻璃燒杯內(nèi)裝水后，水面是凹形的。如圖2(a)所示，過中央水平的水面作一水平面，將玻璃燒杯內(nèi)的水分成上下兩部分。顯然，在該水平面之上緊鄰杯壁的空間有環(huán)繞杯壁的“水圈”存在，該區(qū)域水內(nèi)部的壓強(qiáng)小于外界大氣壓，而且在這一區(qū)域內(nèi)的水中位置越靠上壓強(qiáng)越小。

當(dāng)乒乓球靠近燒杯的杯壁時(shí)，如圖2(b)所示，乒乓球的里外兩側(cè)在水中的位置不同。過外側(cè)水面與乒乓球的交點(diǎn)作一水平面，跟剛才所作的過中央水面的水平面相比，該水平面位置較高。在兩個(gè)水平面之外的空間，乒乓球表面等高度的各點(diǎn)所受外界壓強(qiáng)相等，而在兩水平面之間的區(qū)域，乒乓球里側(cè)和外側(cè)所受壓強(qiáng)不等——乒乓球里側(cè)暴露在空氣中，所受壓強(qiáng)等于一個(gè)大氣壓，而乒乓球外側(cè)處在內(nèi)部壓強(qiáng)小于一個(gè)大氣壓的水中。所以，乒乓球里側(cè)所受壓強(qiáng)大于外側(cè)所受壓強(qiáng)，而且乒乓球距離杯壁越近，外側(cè)浸在內(nèi)部壓強(qiáng)小于大氣壓的“水圈”中的深度越大，里外兩側(cè)所受外界壓強(qiáng)差就越大。

圖2 原因分析(一)

取一個(gè)口徑較小的玻璃燒杯(內(nèi)徑約為乒乓球直徑的2倍或更小)，向杯內(nèi)注水待水面靜止后，將一乒乓球輕輕放在杯內(nèi)水面的中央位置。由于外界環(huán)境輕微的擾動(dòng)，乒乓球通常會(huì)向某一方向緩慢漂移。多次實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蛴^察到乒乓球運(yùn)動(dòng)的一個(gè)共同規(guī)律——當(dāng)乒乓球漂移到距離杯壁較近位置時(shí)，會(huì)加速“撞”向杯壁，之后便緊貼杯壁而靜止，好像乒乓球受到燒杯側(cè)壁的吸引力一樣。該現(xiàn)象也間接證明以上的分析是正確的——靠近燒杯側(cè)壁的乒乓球內(nèi)外兩側(cè)所受外界的水平壓強(qiáng)不等。

如果燒杯內(nèi)盛的是與玻璃不相浸潤(rùn)的液體，情況又將如何？

若液體與玻璃不浸潤(rùn)，則玻璃杯內(nèi)的液面是凸形的，如圖3(a)所示。當(dāng)漂浮在液面的乒乓球靠近燒杯的側(cè)壁時(shí)，乒乓球里外兩側(cè)在液體中的位置也不相同。分別過杯內(nèi)液體表面中央的水平面和乒乓球外側(cè)與液面的交點(diǎn)作兩個(gè)平行的水平面，如圖3(b)所示。在這兩平面之外，乒乓球表面上等高度的各點(diǎn)所受外界壓強(qiáng)相等，而在這兩平行的水平面之間，乒乓球外側(cè)面所受壓強(qiáng)等于外界大氣壓。當(dāng)乒乓球靠近容器的側(cè)壁時(shí)，在水平方向上乒乓球依然受到方向指向側(cè)壁的合力——乒乓球里外兩側(cè)面所受外界壓力不等是盛水玻璃燒杯中牽拉乒乓球的細(xì)線看起來傾斜的一個(gè)原因。

圖3 原因分析(二)

2 光的折射

如圖4(a)所示，將盛水的容器傾斜，待水靜止后將下端吊有金屬球的細(xì)線置于容器液面的中央位置，按說此時(shí)的細(xì)線應(yīng)該是豎直的，但從容器側(cè)面觀察時(shí)，能夠明顯看到水中的細(xì)線跟水面之上的細(xì)線不共線。若在容器外面用一個(gè)重錘線進(jìn)行比對(duì)，如圖4(b)所示，能夠看到懸掛金屬球的細(xì)線在水中的部分與豎直方向有一個(gè)夾角。

圖4 原因分析(三)

跟漂浮在水面并靠近燒杯側(cè)壁的乒乓球水平方向所受外力情況不同，浸沒在水中的金屬球在水平方向上四周所受水的壓力是平衡力，它們的合力為零。所以，從側(cè)面看水中的細(xì)線偏離豎直方向的唯一原因只能是光的折射。

圖5 光線分析

以細(xì)線與水面的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右的方向?yàn)閤軸的正方向，水平向外的方向?yàn)閦軸的正方向，建立如圖6(a)所示的空間直角坐標(biāo)系(圖中未畫出z軸，因?yàn)槲覀冎恍柙趚Oy平面內(nèi)探究，這并不影響問題的討論)。過O點(diǎn)作垂直于燒杯底面的直線OE(O點(diǎn)為液面的中心位置)，如圖6(b)所示，則OE為柱狀凸透鏡的主軸，由于y軸的負(fù)半軸就是懸掛金屬球細(xì)線的實(shí)際位置，而y負(fù)半軸上的不同點(diǎn)距離主軸OE的距離不同，所以從燒杯側(cè)面觀察時(shí)，水中細(xì)線上的不同點(diǎn)的虛像距離主軸的距離也不相同，但由于細(xì)線上的各點(diǎn)物距相同，因此浸入水中的細(xì)線各點(diǎn)所成的虛像到主軸OE的距離與該點(diǎn)到主軸OE距離的比值為一大于1的常數(shù)，不妨設(shè)該比值為k(k>1)。設(shè)P是人眼從燒杯側(cè)面看到細(xì)線上任意一點(diǎn)的虛像，它在xOy平面內(nèi)的正投影為P′，其坐標(biāo)為P′(x，y)，A是對(duì)應(yīng)的物點(diǎn)，過A作垂直于主軸的平面，交主軸OE于B，則P點(diǎn)在該平面內(nèi)[P、A、B3點(diǎn)共面但不共線，在圖6(b)中看到的是燒杯的側(cè)視圖，P點(diǎn)被P′點(diǎn)所遮擋，看起來好像P、A、B3點(diǎn)共線一樣]。由于凸透鏡成放大虛像時(shí)，虛像點(diǎn)到主軸的距離大于對(duì)應(yīng)物點(diǎn)到凸透鏡主軸的距離。所以，水中懸吊金屬球的豎直細(xì)線上各點(diǎn)的虛像一定在y軸負(fù)半軸的右邊。因此，本來是豎直的細(xì)線看起來將不再豎直，而是偏離豎直線向右傾斜。

圖6 坐標(biāo)系分析

那么，直的細(xì)線通過柱狀凸透鏡所成的虛像看起來是否仍然是直的呢？不妨探究xOy平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P′的運(yùn)動(dòng)軌跡。過P′作P′H⊥y軸，垂足為H，設(shè)∠AOB=α，則∠AP′H=α。

圖1所示的實(shí)驗(yàn)中，人從側(cè)面觀察被乒乓球拉直的水中的細(xì)線，看起來偏離豎直方向而變得傾斜，是兩個(gè)因素共同作用的結(jié)果——該現(xiàn)象的形成既跟光的折射有關(guān)，也和水與玻璃相浸潤(rùn)而形成的凹形水面對(duì)乒乓球的水平作用有關(guān)。