培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想 提高數(shù)學(xué)解題能力

摘 要：數(shù)學(xué)學(xué)科不同于其他的課程，數(shù)學(xué)知識之間的邏輯性較強，前后知識的聯(lián)系較為緊密，而且靈活多變，所以對于高中生的數(shù)學(xué)解題能力提出了更高的要求。高中數(shù)學(xué)知識中設(shè)計很多等式和不等式的問題，采用數(shù)學(xué)結(jié)合的方法進行解題，有助于將抽象的題目形象化，提高解題效率，開拓學(xué)生的解題思路。所以，培養(yǎng)高中學(xué)生數(shù)形結(jié)合的解題思維，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的一個重要目標(biāo)。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；高中數(shù)學(xué)；解題能力

高中數(shù)學(xué)的難度相比較學(xué)生以往學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識難度和復(fù)雜度都有一定提升，學(xué)生在解題的過程中，僅靠數(shù)值計算或是空間想象，解題的效率較低。所以，數(shù)形結(jié)合的解題方法可以很好地輔助學(xué)生解答抽象數(shù)學(xué)的應(yīng)用題，開拓學(xué)生的解題思路。下面我將結(jié)合我多年的高中數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗，來談?wù)剬τ谂囵B(yǎng)高中生數(shù)形結(jié)合思維能力的幾點看法。

一、 正確理解數(shù)形結(jié)合

“數(shù)形結(jié)合”，顧名思義，就是數(shù)字與圖形相結(jié)合的思想，數(shù)指的是高中數(shù)學(xué)中的數(shù)值，形指的是空間上的圖形或曲線等。學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過程中很容易發(fā)現(xiàn)，解答的許多應(yīng)用題或是空間幾何題目，是需要數(shù)形結(jié)合來解答的。

例如：在學(xué)習(xí)“集合與函數(shù)概念”這一課時，會涉及交集、并集、空集等幾何的概念，因為集合的文字表述較為抽象，高中教師就可以通過圖形示意圖的形式來表示。比如，集合A和集合B的交集，數(shù)學(xué)教師就可以畫出兩個圓圈，兩個圓圈重合在一起的部分表示兩個集合的交集。通過圖形表示的形式，學(xué)生理解起來更容易，對交集概念的理解也更加深刻。

二、 合理使用數(shù)形結(jié)合思想

學(xué)會在對數(shù)形結(jié)合的解題方法有了正確的認(rèn)識之后，還要通過具體的練習(xí)掌握數(shù)值轉(zhuǎn)換為圖形，以及圖形轉(zhuǎn)換為數(shù)值的方法。學(xué)生在解答一些比較抽象的數(shù)學(xué)題目以及一些難度較大的代數(shù)問題時，可以轉(zhuǎn)換解題思路，將數(shù)值表示轉(zhuǎn)換為圖形表示。圖形較為直觀，很多從數(shù)值中無法找到的解題關(guān)鍵點，可以從圖形上一目了然地發(fā)現(xiàn)。

例如：在學(xué)習(xí)“函數(shù)與方程”時，很多情況下需要學(xué)生求解方程的零點個數(shù)以及相應(yīng)的零點值。比如一元二次方程，學(xué)生可以通過畫圖形的方式，畫出曲線與坐標(biāo)軸的交點，以便更直觀地看出方程零點的個數(shù)。對于求解方程組的題目，學(xué)會可以將幾個方程轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的曲線表示，分別畫在同一個坐標(biāo)系中，通過觀察曲線之間交點的個數(shù)，可以判斷方程組解的情況。比如方程組中含有兩個方程，如果兩條曲線沒有交點，則該方程組無解，若兩條曲線有一個交點，則方程組存在一個解，以此類推。將數(shù)值轉(zhuǎn)換成圖形的形式來解答，簡單直觀，便于理解。

圖形雖然表現(xiàn)形式較為直觀，但是只能對問題定性的判斷，不能完成準(zhǔn)確地計算。所以，在需要求解精確數(shù)值的情況下，需要將圖形轉(zhuǎn)換成數(shù)值并加以計算。例如：在學(xué)習(xí)“直線與方程”，“圓與方程”的數(shù)學(xué)知識時，題目中可能會先給出直線與點的位置關(guān)系坐標(biāo)圖，讓學(xué)生求解點到直線的距離，這時，如果通過對圖形進行測量的方法是無法精確得出點到直線的距離的，需要學(xué)生利用點到直線的距離公式，將直線方程和點的坐標(biāo)代入到公式中求解。

由此可見，數(shù)值與圖形的正確轉(zhuǎn)換，可以輔助學(xué)生完成對定性問題的判斷和定量問題的計算，對學(xué)生順利解答題目起到重要作用。

三、 綜合應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法

將數(shù)值轉(zhuǎn)換成圖形，將圖形轉(zhuǎn)換成數(shù)值是雙向的過程，學(xué)生在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題的過程中不能將其割裂開，否則將大大限制數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。因此，在學(xué)生掌握了將數(shù)值轉(zhuǎn)換成圖形和將圖形轉(zhuǎn)換成數(shù)值的基礎(chǔ)上，高中數(shù)學(xué)教師要加強對學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的綜合能力的培養(yǎng)，實現(xiàn)對復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的順利求解。

例如：在學(xué)習(xí)一次函數(shù)和二次函數(shù)時，學(xué)生經(jīng)常會遇到如下題型。“已知一條直線方程y=kx+3，一條雙曲線x2-y2=2，如果直線與雙曲線存在兩個交點，請討論斜率k需要滿足怎樣的條件？”學(xué)生在解答該題時，可以先將抽象的方程形式轉(zhuǎn)換成圖形的形式，先畫出確定的雙曲線圖形，然后在畫出直線與雙曲線存在兩個交點時，具有代表性的幾條直線圖形。學(xué)生通過圖形大致可以知道直線的斜率在變化的過程中，直線與雙曲線的交點個數(shù)情況，學(xué)生在對臨界情況進行具體的數(shù)值求解，將圖形轉(zhuǎn)換成數(shù)值。最終確定直線斜率k的取值范圍。該類數(shù)學(xué)題目綜合性較強，需要學(xué)生充分考慮到多種圖形之間的位置關(guān)系，如果僅憑學(xué)生在腦海里的現(xiàn)象，很容易將一些情況遺漏，造成答題的不完整。由此體現(xiàn)出將數(shù)值問題轉(zhuǎn)換成圖形表示的重要性。如果只通過圖形判斷，學(xué)生無法得到精確的直線斜率值，所以還需要將圖形問題再次轉(zhuǎn)換成數(shù)值計算問題，數(shù)形的靈活轉(zhuǎn)換是順利解答該類問題的關(guān)鍵。

四、 數(shù)形轉(zhuǎn)換中的注意事項

解答數(shù)學(xué)題目不僅需要學(xué)生掌握扎實的數(shù)學(xué)知識，還需要學(xué)生要有足夠的細心，才能保證數(shù)學(xué)題目的正確解答。學(xué)生在進行數(shù)形轉(zhuǎn)換的過程中，一定要保證轉(zhuǎn)換的準(zhǔn)確性。例如：

求解“y=2x與y=x2-2x+1的交點”時，學(xué)生需要先將方程轉(zhuǎn)換成圖形曲線，定性判斷交點都個數(shù)，然后在定量計算。如果學(xué)生把“y=2x”轉(zhuǎn)換成圖形的過程中，將斜率“2”看成了“-2”，那么得到的曲線交點的情況與正確的答案大相徑庭，導(dǎo)致最后計算的結(jié)果也是錯誤的。因此，學(xué)生在利用數(shù)形結(jié)合思想進行數(shù)形互換的過程中，一定要保證轉(zhuǎn)換的正確性，這樣才能充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)勢，否則將會事倍功半。

總之，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，需要學(xué)生在實際的練習(xí)中逐漸形成數(shù)形互換的能力，以提高學(xué)生對于復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的解題能力。

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作者簡介：

況銀環(huán)，江西省宜春市，江西省高安中學(xué)。