中學(xué)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)研究

摘 要： 數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)中最基本的內(nèi)容，是學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)這一門學(xué)科的源頭，數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)公式等都是以此為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來(lái)的，同時(shí)，數(shù)學(xué)概念也是增強(qiáng)學(xué)生邏輯思維能力的必要環(huán)節(jié)。因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)對(duì)于提升教學(xué)水平，完成教學(xué)目標(biāo)，有十分核心的作用。

關(guān)鍵詞： 中學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)概念；教學(xué)研究

一、 數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)概念的教學(xué)

（一） 數(shù)學(xué)概念的涵義

數(shù)學(xué)概念構(gòu)成了數(shù)學(xué)的基本框架，也是關(guān)于數(shù)學(xué)內(nèi)容的初步了解。數(shù)學(xué)概念指的是事物在數(shù)量和結(jié)構(gòu)等方面的關(guān)系、特點(diǎn)，以大量實(shí)踐為基礎(chǔ)，從數(shù)學(xué)的各個(gè)研究角度，歸納總結(jié)出數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特點(diǎn)。按照其籠統(tǒng)程度將數(shù)學(xué)概念劃分成描述性概念和定義性概念。其中，描述性概念是說(shuō)能夠通過(guò)觀察而直接得出來(lái)的概念。

（二） 數(shù)學(xué)概念的特性

1. 抽象性與具體性：數(shù)學(xué)概念的抽象性表現(xiàn)為：第一，當(dāng)數(shù)學(xué)概念體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)屬性時(shí)，它具有抽象性。例如：我們實(shí)際當(dāng)中并不存在抽象的橢圓，只是能看見(jiàn)一些具體的，如雞蛋、雨花石等。第二，某些數(shù)學(xué)概念是用特定的符號(hào)來(lái)規(guī)定的，例如：未知數(shù)借助符號(hào)x表達(dá)。第三，某些數(shù)學(xué)概念是發(fā)散思維的結(jié)晶，例如：n維線性空間、歐式空間等。

2. 確定性與靈活性：數(shù)學(xué)概念的確定性指的是有其相對(duì)穩(wěn)定性的一面，這是相對(duì)于一個(gè)時(shí)期，并不是指概念的整個(gè)發(fā)展階段，因此，我們既要看到數(shù)學(xué)概念的確定性，也要看到它的靈活性。數(shù)學(xué)概念的靈活性是說(shuō)隨著我們對(duì)概念的認(rèn)識(shí)加深，數(shù)學(xué)概念會(huì)隨之發(fā)生變化。例如：隨著初中階段的實(shí)數(shù)到高中階段的復(fù)數(shù)的演化，一元二次方程根的概念也隨之發(fā)生了變化。只有更準(zhǔn)確的理解概念，才能增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)水平。

3. 符號(hào)化與簡(jiǎn)明化：在概述數(shù)學(xué)概念時(shí)，因?yàn)槲淖钟袝r(shí)不能很直白的表達(dá)概念，并且在描述過(guò)程中過(guò)于復(fù)雜，故用符號(hào)進(jìn)行表示會(huì)簡(jiǎn)單明了。比如交集符號(hào)“∩”、連加符號(hào)“∑”、垂直符號(hào)“⊥”等等。這些符號(hào)既能反映出概念的性質(zhì)，又能使其表達(dá)更加清晰、精確、簡(jiǎn)明。

（三） 數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義

1. 數(shù)學(xué)概念是把握基本知識(shí)的關(guān)鍵。例如：要想能靈活的利用橢圓的概念來(lái)做題，我們先要知道橢圓的定義是什么。即“|F1+F2|=2a的動(dòng)點(diǎn)p的軌跡”。如果對(duì)這些知識(shí)沒(méi)有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，就不能準(zhǔn)確理解“橢圓”這一概念，也就不能很好的利用性質(zhì)來(lái)處理問(wèn)題。

2. 數(shù)學(xué)概念是技能訓(xùn)練的必要條件。例如：利用方程解答實(shí)際題目廣泛應(yīng)用于在整個(gè)數(shù)學(xué)中，但很多學(xué)生不太會(huì)用這種方法來(lái)解題。要想解決這一問(wèn)題，在教學(xué)中要提高學(xué)生思考問(wèn)題和理解問(wèn)題的水平，使學(xué)生明確認(rèn)識(shí)“方程”這一概念。

（四） 中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的現(xiàn)狀

教師常常在數(shù)學(xué)概念教學(xué)活動(dòng)中直接給出定義，指出需要注意的地方，然后列舉大量的例子讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)，通過(guò)多做題使學(xué)生加深了對(duì)概念的認(rèn)識(shí)。容易導(dǎo)致學(xué)生生硬的接受概念，而對(duì)概念并沒(méi)有什么深入的理解，只是照貓畫虎的進(jìn)行練習(xí)。由于學(xué)生對(duì)概念的關(guān)鍵特征沒(méi)有很好地理解，當(dāng)遇到的問(wèn)題不能用已學(xué)知識(shí)解決時(shí)，就會(huì)計(jì)無(wú)所出。

二、 中學(xué)數(shù)學(xué)概念課教學(xué)的案例研究

（一） “函數(shù)單調(diào)性”的概念教學(xué)

1. 教學(xué)內(nèi)容分析：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的主要內(nèi)容，起著承先啟后的作用。一方面，是高中所學(xué)內(nèi)容的深入，讓學(xué)生就函數(shù)而言有深刻理解。另一方面，函數(shù)單調(diào)性為后續(xù)內(nèi)容提供初步認(rèn)識(shí)。

2. 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

（1）創(chuàng)設(shè)情境：教師分別作出y=x+2，y=-x+2，f（x）=x2相應(yīng)的圖，讓學(xué)生看當(dāng)x變化時(shí)，f隨之是怎樣變動(dòng)的？

生：圖1從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大，圖2從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小。師：回答得很正確。圖像變化時(shí)，也相應(yīng)變化函數(shù)，我們分為增函數(shù)和減函數(shù)兩種。問(wèn)：那么圖3屬于哪種函數(shù)呢？

（2）初步探究，形成概念

生：是增函數(shù)。生：是減函數(shù)。生：既增又減。生：分情況討論。師：好，那么，什么情況下增，什么情況下減呢？

生：函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）上增，在區(qū)間（0，+∞）上減。師：不錯(cuò)。這個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間并不是一直單調(diào)，而是在相應(yīng)區(qū)間的某個(gè)部分上單調(diào)。這就說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性具有局部性。你們可不可以按照自己的認(rèn)識(shí)，簡(jiǎn)單概括增函數(shù)和減函數(shù)的定義？

生：如果函數(shù)f（x）在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來(lái)越大，我們說(shuō)函數(shù)f（x）在該區(qū)間為增函數(shù)，如果函數(shù)f（x）在定義域上的某個(gè)部分隨x的變大，隨之變小，就說(shuō)函數(shù)f（x）在該區(qū)間為減函數(shù)。師：這種直接通過(guò)圖像而得到函數(shù)的單調(diào)性，屬于感性認(rèn)識(shí)。對(duì)單調(diào)性理性的認(rèn)識(shí)是：f（x）如果滿足在區(qū)域M上，隨x增大y也增大，就稱函數(shù) f（x）在區(qū)域M上為增函數(shù)，區(qū)域M就叫做f（x）的增區(qū)間；反之，如果隨x變大y變小，那么就稱f（x）在區(qū)域M上是減函數(shù)，區(qū)域M也相應(yīng)的稱為f（x）的減區(qū)間。

（3）深刻理解概念：怎樣利用等式f（x）=x2得出函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)？

生：在給定區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，例如1和2，因?yàn)?2<22，所以f（x）=x2在區(qū)間[0，+∞）上為增函數(shù)。生：用大量數(shù)據(jù)驗(yàn)證同樣成立，所以f（x）=x2在區(qū)間[0，+∞）上為增函數(shù)。師：當(dāng)x=-1，1，2，3，4，5…，f（x）=1，1，4，9，16，25…也是隨x增大而增大的，能否說(shuō)f（x）=x2在區(qū)間（-1，+∞）是增函數(shù)？

生：搖頭。師：有無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)滿足，并不能說(shuō)明所有數(shù)都滿足。我們無(wú)法逐個(gè)比較（-1，+∞）的數(shù)，所以只能用合適的字母去代替區(qū)間內(nèi)所有的數(shù)。

（四） 給出嚴(yán)格定義：“函數(shù)y=f（x）在區(qū)間A內(nèi)單調(diào)，而且MA，如果差值Δx=x2-x1>0，同時(shí)當(dāng)Δy=f（x2）-f（x1）>0時(shí)，這時(shí)稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)域M上是增函數(shù)；當(dāng)Δy=f（x2）-f（x1）<0時(shí)，同樣我們稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)域M上是減函數(shù)。”

3. 課后反思

函數(shù)的單調(diào)性是很重要的內(nèi)容，在教學(xué)過(guò)程中，教師提供了一個(gè)良好的討論平臺(tái)，并且提出了一系列問(wèn)題，讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)、歸納總結(jié)數(shù)學(xué)概念，這樣更利于他們理解函數(shù)單調(diào)性這一內(nèi)容。

參考文獻(xiàn)：

[1]錢小慧.中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究[D].云南：云南師范大學(xué)，2006.

[2]許敏.中學(xué)數(shù)學(xué)概念新授課教學(xué)研究[D].上海：上海師范大學(xué)，2010.

作者簡(jiǎn)介：

雷小玲，天津市，天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院。