高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性探索

蒙國壯

摘要：類比作為一種推理形式，在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著重要作用，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用類比能有效突破知識(shí)難點(diǎn)，順利幫助學(xué)生完成知識(shí)建構(gòu)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)遷移應(yīng)用能力。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；有效性；類比法

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2018）07-0033

在多年的教學(xué)生涯中，常有學(xué)生問這樣的問題：“怎樣才能迅速找到解決數(shù)學(xué)問題的方法？怎樣想到應(yīng)該用這樣的方法求解？”筆者明白，他們欠缺的是知識(shí)的積累，沒有形成系統(tǒng)的知識(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，解題時(shí)不能和做過的類似題型聯(lián)系起來，不能及時(shí)調(diào)出曾經(jīng)“儲(chǔ)存”在大腦中用過的類似方法，也就是缺乏類比遷移的數(shù)學(xué)思想。而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最需要的就是這種知識(shí)遷移能力。

一、類比法是數(shù)學(xué)中重要的思想方法

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）指出“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注意提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題時(shí)，不斷經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程。這些過程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學(xué)生對客觀事物中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和做出判斷。數(shù)學(xué)思維能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨(dú)特的作用?！?/p>

二、類比法的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)

所謂類比推理，是指由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的一種推理方法。也就是說，如果對象甲有性質(zhì)A、B，對象乙也有性質(zhì)A、B，而對象甲還有性質(zhì)C，從而推知對象乙也可能有性質(zhì)C的一種推理。類比推理是一種由特殊到特殊的推理方法。是一種尋求解題思路，猜測和發(fā)現(xiàn)問題答案或結(jié)論的重要方法。

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對類比推理這種思維形式，課本提得較少，而且由于類比推理所得結(jié)論的真實(shí)性是不確定的，因而它不能作為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理方法。所以在教學(xué)中，教師往往忽視它。學(xué)生在學(xué)習(xí)中也很少能想到類比，但類比推理作為一種重要的思想方法，就算在崇尚嚴(yán)格邏輯推理的數(shù)學(xué)中，有時(shí)也起到重要作用。因此在教學(xué)中應(yīng)給予應(yīng)有的重視。

三、類比法在高中數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)與應(yīng)用

類比方法在教學(xué)中十分有用，它可以溝通不同的知識(shí)板塊，充分調(diào)動(dòng)所學(xué)知識(shí)，拓展解題思路。那么如何使學(xué)生形成這種思維呢？筆者認(rèn)為教師在平常的教學(xué)活動(dòng)中，應(yīng)該有意識(shí)地將類比思想滲透于教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)知識(shí)之間往往存在緊密的聯(lián)系，新知識(shí)往往是若干舊知識(shí)的重新組合或是舊知識(shí)的引伸和拓展。因此，掌握舊知識(shí)是學(xué)習(xí)新知識(shí)的基礎(chǔ)，新知識(shí)是舊知識(shí)的延伸和發(fā)展。類比方法成為新舊知識(shí)聯(lián)系的紐帶，既加強(qiáng)了知識(shí)的縱向溝通，同時(shí)又鮮明地展示了知識(shí)的獲取過程，形成清晰的知識(shí)脈絡(luò)，把新知識(shí)納入原有知識(shí)結(jié)構(gòu)中。

1. 將類比法引入新概念的教學(xué)，可使學(xué)生更好地理解新概念的內(nèi)涵與外延。數(shù)學(xué)中的許多概念，知識(shí)點(diǎn)之間有類似的地方，在新概念的提出與新知識(shí)的講授過程中，可以運(yùn)用類比的方法，因?yàn)楸挥糜陬惐鹊奶厥鈱ο笫菍W(xué)生所熟悉的，所以學(xué)生容易從新舊內(nèi)容的對比中接受新知識(shí)，掌握新概念。

在高中數(shù)學(xué)中通過類比法引入的概念非常多，如：對球的概念教學(xué)可與圓的概念進(jìn)行對比?！捌矫鎯?nèi)與定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合是圓。定點(diǎn)就是圓心，定長就是半徑?！?“與定點(diǎn)的距離等于或小于定長的點(diǎn)的集合叫做球體，定點(diǎn)叫做球心，定長叫做球的半徑?！?/p>

教師在教授“球”這一概念時(shí)，可先讓學(xué)生復(fù)習(xí)“圓”的概念。然后設(shè)問，“如果我們將概念中的‘平面換成‘空間會(huì)得到什么樣的結(jié)果？”讓學(xué)生進(jìn)行想象、討論，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。新概念的建立，完全可以由學(xué)生自己完成。通過這樣的類比設(shè)問，將知識(shí)建構(gòu)的主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生，能更好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

2. 將類比法用于定理法則的教學(xué)，可加深對定理法則的理解和記憶，使所學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化。如：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算加減法一節(jié)中，可這樣設(shè)問：“類比以前學(xué)過的合并同類項(xiàng)，你認(rèn)為兩個(gè)復(fù)數(shù)a+bi與c+di的和或差應(yīng)該是什么？”學(xué)生通過討論很容易得出復(fù)數(shù)的加減法法則：“兩個(gè)復(fù)數(shù)相加（減），把實(shí)部和虛部分別相加（減），虛部保留虛數(shù)單位即可?！睆?fù)數(shù)乘法也可和整式乘法類比進(jìn)行類似處理。

復(fù)數(shù)除法可以和根式除法進(jìn)行類比，可設(shè)問如下：“在做根式除法如 時(shí)，分子分母都乘以分母的‘有理化因式 + ，從而使分母有理化。那么在進(jìn)行復(fù)數(shù)除法如 時(shí)，我們應(yīng)該如何使分母實(shí)數(shù)化呢？”在了解了共軛復(fù)數(shù)概念后，學(xué)生知道了一對共軛復(fù)數(shù)之積是一個(gè)實(shí)數(shù)，學(xué)生自然而然想到把分子分母都乘以分母的實(shí)數(shù)化因式，也就是共軛復(fù)數(shù)2+3i，就可以使分母實(shí)數(shù)化了。

在上面的教學(xué)活動(dòng)中，通過類比，以舊引新，學(xué)生把復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則和以前所學(xué)的合并同類項(xiàng)、分母有理化等知識(shí)對照起來，記憶得更加牢固，理解得更加深刻，運(yùn)用得更加得心應(yīng)手。

3. 尋找解題思路是提高學(xué)生思維能力的有效途徑，在課堂上要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生自覺運(yùn)用類比方法探索、獲取新知識(shí)，從而達(dá)到提高學(xué)生思維能力、創(chuàng)新能力的目的。如試題：“等差數(shù)列{an}中，若a10=1，則有a1+a2+……+an=a1+a2+……+a19-n（n<19，n∈N+）成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b9=1，則___________。”

可以思考如下，在等差數(shù)列中，a10=0，那么以a10為中心，前后間隔相等的項(xiàng)和為0，即a9+a11=0，a8+a12=0……

所以有a1+a2+……+an=a1+a2+……+a19-n（n<19，n∈N+）成立，同樣等比數(shù)列{bn}中，若b9=1，則以b9為中心，前后間隔相等的項(xiàng)的積為1，即b8b10=1，b7b11=1……，所以下列結(jié)論成立：b1b2...bn=b1b2...b17-n（n<17，n∈N+）。

從上面幾點(diǎn)可以看出，類比在新課導(dǎo)入、公式定理的記憶和證明、新知識(shí)的探索發(fā)現(xiàn)、解題思路的獲取等方面有著重要作用?！?009年全國普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱》（數(shù)學(xué)）要求考生具備五大能力：思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力、實(shí)踐能力及創(chuàng)新能力。創(chuàng)新意識(shí)是理性思維的高層次表現(xiàn)，對數(shù)學(xué)問題的“觀察、猜測、抽象、概括、證明”，是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要途徑，在教學(xué)中用好類比法啟發(fā)式教學(xué)，能有效幫助學(xué)生梳理原有知識(shí)，產(chǎn)生遷移，探索新的知識(shí)領(lǐng)域，形成新的觀點(diǎn)，使原有知識(shí)結(jié)構(gòu)得到補(bǔ)充、改造和逐步完善。學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移、組合、融會(huì)的程度越高，顯示出的創(chuàng)新意識(shí)也就越強(qiáng)。

雖然類比推理出的結(jié)論不一定正確，但它卻能教會(huì)學(xué)生一種探索問題的方法。這也正是目前我們要把學(xué)生從“學(xué)會(huì)”轉(zhuǎn)化為“會(huì)學(xué)”的一種有益的嘗試。因而在教學(xué)中充分運(yùn)用類比法培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)遷移能力，有不可估量的作用。

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（作者單位：廣西欽州市第二中學(xué) 535000）