具有垂直傳染和脈沖接種的甲肝傳染病模型

李錄蘋，孔麗麗

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西大同037009）

傳染病大量存在于現(xiàn)實(shí)生活中,人們運(yùn)用數(shù)學(xué)工具對疾病的傳播控制進(jìn)行研究是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要研究方向[1-3]。甲型肝炎病毒主要通過糞-口途徑傳播,傳染源多為病人。甲型肝炎的潛伏期為15～45天,病毒常在患者轉(zhuǎn)氨酸升高前的5～6天就存在于患者的血液和糞便中。發(fā)病2～3周后,隨著血清中特異性抗體的產(chǎn)生,血液和糞便的傳染性也逐漸消失。而且甲肝病毒能通過破裂的胎盤由母親血循環(huán)進(jìn)入胎兒血循環(huán),導(dǎo)致新生兒獲病[4]。甲肝患者病愈后,可獲得終身免疫力[5]。因此,在甲肝傳染病研究過程中考慮垂直傳染和預(yù)防接種問題是非常有必要的。

1 模型的建立

考慮具有垂直傳染和脈沖接種的甲肝傳染病模型,建立的模型如下:

設(shè)S(t),I(t),Q(t),R(t)分別為t時(shí)刻易感者的數(shù)量,染病者的數(shù)量,隔離者的數(shù)量,恢復(fù)者的數(shù)量。A為外來人口的輸入率,mA和(1-m)A分別為t時(shí)刻輸入易感者和已獲得免疫的移出者的數(shù)量(且0＜m≤1)。p為垂直傳染率( )p+q=1,b,d分別為t時(shí)刻出生率與死亡率(且d＞b),ε為隔離率,γ1,γ2分別為未隔離病人的移出率和隔離病人的移出率,d1,d2分別為染病者因病死亡率和隔離者因病死亡率。τ為染病者能感染易感染者的滯后時(shí)間,θ(0≤θ≤1)為預(yù)防接種率,而N(t)=S(t)+I(t)+Q(t)+R(t),T為脈沖周期,這里p,b,d,ε,γ1,γ2,d1,d2,τ均為正常數(shù)。

總?cè)丝诘奈⒎址匠虨?/p>

t≠nT, 由(2)得

由常微分方程的比較定理有:

考慮生態(tài)意義,初始函數(shù)滿足以下條件:

在文中,我們采用以下記號:

2 無病周期解的全局吸引性

引理1脈沖微分方程組

存在唯一的全局漸近穩(wěn)定周期解，

其中a＞0,b＞0,0＜θ＜1。

引理2時(shí)滯微分方程

當(dāng)a＞0,b＞0,τ＞0,且對于t∈[-τ,0],有(i)當(dāng)a＜b時(shí),則當(dāng)a＞b時(shí),則

在文中,討論系統(tǒng)(1)的無病周期解的存在性,此時(shí)系統(tǒng)(1)不存在染病者,即I(t)=0,t≥0。由系統(tǒng)(1)的第三個(gè)方程知當(dāng)I(t)=0時(shí),有

由以上條件知,系統(tǒng)(1)必須滿足

從而由引理1和(5)式有

易知系統(tǒng)(4)有唯一周期解(Se(t),0,0,其中

因此,系統(tǒng)(1)的無病周期解為

定義基本再生數(shù)

引理3當(dāng)d＞b時(shí),系統(tǒng)(1)的所有正解一致有界。

證明設(shè)(S(t),I(t),Q(t),R(t))是系統(tǒng)(1)的任一正解,則N(t)=S(t)+I(t)+Q(t)+R(t)滿足:

由脈沖微分不等式,得:

因此,存在一個(gè)常數(shù)M＞0,當(dāng)t充分大時(shí),N(t)≤M,從而S(t)≤M,I(t)≤M,Q(t)≤M,R(t)≤M,所以系統(tǒng)(1)的所有正解一致有界。

定理1 若d＞b且R0＜1,系統(tǒng)(1)的無病周期解是全局吸引的。

證明當(dāng)d＞b且R0＜1時(shí),取一個(gè)充分小的ε0＞0,使得

由系統(tǒng)(4)的第一個(gè)方程可得

考慮下面的比較系統(tǒng)

由引理1可知(10)的周期解

是全局漸近穩(wěn)定的,其中

令(S(t),I(t),Q(t),R(t))是系統(tǒng)(1)滿足初始條件S(0+)=S0＞0的解,x(t)是系統(tǒng)(10)滿足初始條件x(0+)=S0的解。由脈沖比較定理知,存在n1＞0,使得S(t)＜x(t)＜xe(t)+ε0,nT＜t≤(n+1)T,n＞n1。即

由系統(tǒng)(1)的第二個(gè)方程,可知

考慮下面的比較方程

令(S(t),I(t),Q(t),R(t))是系統(tǒng)(1)滿足初始條件(3),I(θ)=?(θ)(θ∈[0,τ])的解。y(t)是(12)滿足初始條件y(θ)=?(θ)(θ∈[0,τ])的解。由比較定理和I(t)的非負(fù)性知

所以對于充分小的ε1＞0,存在n2＞n1,(n2T＞(n1+1)T)使得對所有的t＞n2T有

由系統(tǒng)(1)的第三個(gè)方程,可知n3＞n2,使得

由(2)知,

當(dāng)t＞n3T且n＞n3時(shí),考慮下面的比較系統(tǒng)

由引理1可知(16)的周期解

nT＜t≤(n+1)T,是全局漸近穩(wěn)定的,其中

易知

由比較定理存在一個(gè)整數(shù)n4＞n3,當(dāng)t＞n4T時(shí),使得

又知ε1是任意小的且和(17)可知

由 (13),(18),存在n5＞n4,使得對

由系統(tǒng)(1)的第一個(gè)方程和式(14),(15),(18)可得:

當(dāng)t＞n5T時(shí),考慮下面的比較系統(tǒng)，

由引理1可知(20)的周期解

是全局漸近穩(wěn)定的,其中

易知

由脈沖比較定理知存在一個(gè)整數(shù)n6＞n5,使得

因?yàn)棣?充分小,由(9),(21)可得:

是全局吸引的,即

由(13),(18),(22)和

推論 (I)如果βc＞(ε+γ1+d+d1-bp)(1+αc)時(shí),假 如θ＞θ?或 者T＜T?,無病 周 期解 (Se(t),0,0,是全局吸引的;(其中

(II)如果βc≤(ε+γ1+d+d1-bp)(1+αc)時(shí),無病周期解是全局吸引的。

注:定理1說明了當(dāng)R0＜1,系統(tǒng)(1)的無病周期解是全局吸引的,推論說明了脈沖接種率足夠大或脈沖接種間隔時(shí)間足夠短時(shí)甲肝傳染病將會(huì)消失。