2017年高考全國(guó)Ⅱ卷理科壓軸題的解法研究及賞析

陜西師范大學(xué)附屬中學(xué) (710062)

張錦川

2017年全國(guó)Ⅱ卷理科第21題：

已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0.

(1)求a；

(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e-2

本題沿襲了近年來(lái)全國(guó)卷理科壓軸題的設(shè)計(jì)理念，題目簡(jiǎn)潔干練，內(nèi)涵雋永.既考查了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等主干知識(shí)，又引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系發(fā)展的眼光看問(wèn)題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證，培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.

1.解法研究

(1)解法1：由已知，x>0，所以f(x)≥0?ax2-ax-xlnx≥0?ax-a-lnx≥0，令g(x)=ax-a-lnx，則g(x)≥0.

①當(dāng)a≤0時(shí)，g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x>1時(shí)，g(x)

圖1

解法2：由已知，x>0，所以f(x)≥0?ax2-ax-xlnx≥0?a(x-1)≥lnx.易知函數(shù)y=a(x-1)與y=lnx都過(guò)點(diǎn)(1,0)，如圖1，當(dāng)且僅當(dāng)直線y=a(x-1)為曲線y=lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線，a(x-1)≥lnx成立.所以a=1.

令r(x)=x-1-xlnx(x>0)，r′(x)=-lnx，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，r′(x)>0，r(x)遞增；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，r′(x)<0，r(x)遞減，所以，當(dāng)x>0，且x≠1時(shí)，r(x)

x(0,x0)x0(x0,1)1(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗

2.試題推廣

高考剛結(jié)束之后，網(wǎng)上有人把原題目誤記為：

已知函數(shù)f(x)=ax3-ax-xlnx，且f(x)≥0.

(1)求a；

(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e-2

那么，本題能否進(jìn)行更一般地推廣呢？筆者經(jīng)過(guò)思考，得出以下更一般的形式：

題目已知函數(shù)f(x)=axn+1-ax-xlnx(n∈N*)，且f(x)≥0.

(1)求a；

解：(1)由已知，x>0，所以f(x)≥0，即axn+1-ax-xlnx≥0，即axn-a-lnx≥0，令g(x)=axn-a-lnx，則g(x)≥0.

①當(dāng)a≤0時(shí)，g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x>1時(shí)，g(x)

x(0,x0)x0(x0,1)1(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗

3.試題欣賞

3.1 數(shù)形結(jié)合，直觀展現(xiàn)

圖2

3.2 高等背景，中學(xué)表達(dá)

然而，有著高等數(shù)學(xué)背景的試題并非要求學(xué)生要不斷補(bǔ)充未學(xué)的知識(shí)，命題人更想看到的是學(xué)生的“中學(xué)表達(dá)”，即利用中學(xué)所學(xué)的知識(shí)來(lái)解決新的問(wèn)題，這也是高校選拔優(yōu)秀人才的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).

3.3 立足基礎(chǔ)，回味無(wú)窮

4.試題反思

一道好的數(shù)學(xué)試題既能覆蓋重點(diǎn)知識(shí)，又可以提供多角度的思維空間.在教學(xué)中，如果能夠選擇這樣典型題目進(jìn)行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生多嘗試、勤思考，那么這種試題教學(xué)一定可以發(fā)揮著更大的作用，教學(xué)也會(huì)變得高效.