用坐標(biāo)法研究一類不定三角形問題

廣東省惠州市實(shí)驗中學(xué) (516008)

肖志向

近幾年高考試題和模擬試題中頻繁出現(xiàn)一類解三角形問題——已知三角形的一邊及對角求三角形有關(guān)元素(邊長、周長及面積等)的最值.這類問題主要考查正(余)弦定理、三角恒等變換及基本不等式等相關(guān)知識和學(xué)生的分析思維、運(yùn)算能力.

眾所周知，只知道三角形一邊及對角，這樣的三角形是不定三角形.這類解三角形最值問題都是以不定三角形為基礎(chǔ)，結(jié)合能力考查要求來命制的，不定三角形是根本.對此，筆者用坐標(biāo)法研究了這類不定三角形并探究了相關(guān)元素的最值.

一、問題

已知AB=2m，C=θ(0<θ<π)，試確定點(diǎn)C的軌跡.

一)用坐標(biāo)法探究不定三角形動點(diǎn)的軌跡，挖掘其幾何背景

圖1

圖2 圖3

綜合以上可知：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)所成的角為定值的點(diǎn)的軌跡是過這三個點(diǎn)的圓(即外接圓)上定弦所對應(yīng)的一段弧.這類不定三角形可看成為某一定圓(其直徑等于該邊與對角正弦的比值)內(nèi)接三角形，已知邊是圓內(nèi)一條定弦，動點(diǎn)為該定弦所對弧上一動點(diǎn).

二)探究這類不定三角形相關(guān)元素的最值結(jié)論

二、用坐標(biāo)法解這類不定三角形為題根的習(xí)題

一)直接利用這類不定三角形的最值結(jié)論，解決三角形的有關(guān)最值問題

(1)求角C；

二)用坐標(biāo)法解答不定三角形為基礎(chǔ)的變式題，求平面圖形相關(guān)最值問題

圖4

成立當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A在圓M優(yōu)弧上且AC經(jīng)過圓心M，故對角線AC的最大值為27.

圖5

例6 已知在ΔABC中，BC=6，AB=2AC，則ΔABC面積最大時，sinA的值為 .