一類三角背景多變量最值問題的切入探究*

江蘇省海門中學 (226100)

何振華

多變量最值問題一直是高考、?？嫉臒狳c問題之一，2014、2016、2018年江蘇高考都以三角背景的形式呈現，新意十足，考查學生靈活運用知識的能力，但學生往往覺得無從下手，究其原因是找不到這類問題的切入點.本文欲與大家一起探究如何從學生的基礎出發(fā)發(fā)現這類最值問題的切入點.

例1 (2016江蘇高考14題)在銳角三角形ABC中，sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是 ．

分析：由于條件是弦的形式而結論是正切的形式，解題難點在于如何將條件和結論構建橋梁，從學生的角度自然想到統(tǒng)一函數名，弦切互化.

切入方式一：弦化切，構建函數

由條件sinA=2sinBsinC切入，弦化切，構建函數.

切入方式二：切化弦，構建函數

由結論tanAtanBtanC切入，切化弦，構建函數.

切入方式三：三角恒等式，模型處理

由銳角三角形聯想到恒等式tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC切入,構建不等式模型.

解3：由斜三角形恒等式tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC,再結合tanB+tanC=2tanBtanC，

得tanAtanBtanC=tanA+2tanBtanC≥

我們在這基礎上更進一步，就可以發(fā)現其本質：

由于tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，結合tanB+tanC=2tanBtanC得tanAtanBtanC=tanA+2tanBtanC，令tanA=x,tanBtanC=y，則問題轉化為已知xy=x+2y，求xy的最小值.

哦，原來它是一個很簡單的多變量問題，只不過命題者給這個問題加了一個三角背景.

例2 (2018模擬改編)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c，已知sinA+sinB+λsinAsinB=0，且a+b=2c，則實數λ的最大值是 ．

由于條件是既有邊又有角的形式，從學生的角度自然想到統(tǒng)一邊角，分離參數得

由于分子、分母不是齊次型，所以想到同乘sinC，用正弦定理統(tǒng)一邊角.

切入方式四：邊角互化，構建函數

這類多變量最值問題可以利用正弦、余弦定理邊角互化，構建函數求解.

切入方式五：幾何特征，構建軌跡

三角形作為基本幾何圖形，具有幾何特性，因此這類多變量最值問題還可以結合幾何特性，動態(tài)探究，構建軌跡求解.

切入方式六：化整為零，利用不等式性質求解

這類多變量最值問題有時可以化整為零，局部探究，再結合不等式性質求解.

切入方式七：整體探究，不等式模型處理

這類多變量最值問題可以從整體探究，構建模型突破.

總之，由于三角背景的多變量最值問題的實質是以三角為載體考察多變量最值問題，所以我們只需通過弦切互化、邊角互化，借助三角恒等式，幾何特征，整體和局部兩個角度探究將條件化歸，往往可以發(fā)現問題的切入點，從而掌握這類問題的求解策略.