立足教材夯基礎(chǔ) 發(fā)掘聯(lián)系識(shí)本質(zhì)*
——解一道高三?？紤?yīng)用題有感

江蘇省蘇州市田家炳實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) (215002)

王 耀

筆者最近給學(xué)生布置了一道應(yīng)用題，后得知此題是2016年南京市高三數(shù)學(xué)二模測(cè)試題，命題人以直線和圓的位置關(guān)系為背景命制了一道應(yīng)用題，試題設(shè)計(jì)精巧，內(nèi)涵豐富，可以從多種角度進(jìn)行研究，也很符合高考命題的宗旨——源于課本，高于課本，是一道頗具研究?jī)r(jià)值的好題.現(xiàn)將此題的解法和感受整理成文，與讀者交流，歡迎批評(píng)指正.

一、試題再現(xiàn)

圖1

如圖1，某城市有一塊半徑為1(單位：百米)的圓形景觀，圓心為C，有兩條與圓形景觀相切且互相垂直的道路，最初規(guī)劃在拐角處(圓中陰影部分)有一塊綠化地，后來(lái)有眾多市民建議在綠化地上建一條小路，便于市民快捷地往返于兩條道路，規(guī)劃部門采納了此建議，決定在綠化地中增建一條與圓C相切的小道AB.問(wèn)：A，B兩點(diǎn)應(yīng)選在何處可使得小道AB最短.

二、思維探究

1.通性通法展示

本題常見(jiàn)的解題思路建立平面直角坐標(biāo)系，假設(shè)直線方程y=kx+b，從直線和圓相切得到k，b之間的關(guān)系式，從而得到小道AB長(zhǎng)度的代數(shù)表達(dá)式，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，即如下解法：

上述解法中，假設(shè)直線方程的斜截式進(jìn)行計(jì)算，與標(biāo)準(zhǔn)答案相似.事實(shí)上，筆者認(rèn)為若采用截距式，則更好一些，并且教材中也多次出現(xiàn)有關(guān)截距式的例題，這樣便于計(jì)算過(guò)程中選取不同的轉(zhuǎn)化方式.

前文中的兩種解法都是從設(shè)直線方程入手進(jìn)行分析轉(zhuǎn)化，是學(xué)生比較喜歡選用的方法；而由題意發(fā)現(xiàn)，直線AB是圓上某一點(diǎn)處的切線，故也可從圓的角度去展開分析：

2.其它思路賞析

上面的三種常規(guī)思路都是從直線和圓的位置關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，偏重于代數(shù)運(yùn)算，忽視了圖形的功能，沒(méi)有發(fā)揮出圖形應(yīng)有的價(jià)值，因此也可以從不同角度對(duì)圖形進(jìn)行思考，首先從角度關(guān)系進(jìn)行分析：

圖2

其次，還可以從邊長(zhǎng)角度去分析，利用圓的切線長(zhǎng)相等進(jìn)行聯(lián)系轉(zhuǎn)化，即如下解法：

圖3

評(píng)注:由教材必修4中P115探究拓展第15題可知“當(dāng)α+β=45°時(shí)，(1+tanα)(1+tanβ)=2”.因此，結(jié)合解法4和5可見(jiàn)，m=tanα，n=tanβ，同樣得到(m+1)(n+1)=2.

解法7:“由圖可知，S△OAB=S正-2S△ABC=1-AB，只要使S△OAB的面積達(dá)到最大值時(shí)，AB最小.由Rt△OAB的周長(zhǎng)為2，設(shè)斜邊AB=c，兩直角邊為a，b，有a+b+c=2.

圖4

此外，在解法6中，求Rt△OAB的面積最小值時(shí)，也可以先進(jìn)行減元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問(wèn)題，即結(jié)合解法2的思路進(jìn)行：

三、“似”題追溯

上文中，筆者針對(duì)這道應(yīng)用題分別從解析幾何、平面幾何兩個(gè)角度，結(jié)合了函數(shù)思想和基本不等式等工具進(jìn)行了多角度分析，充分發(fā)掘了這道試題的內(nèi)在聯(lián)系.下面列舉幾道此題的類試題，供大家體會(huì)精解一道題、精通一類題的樂(lè)趣.

圖5

(1)求圓M的方程；(答案：x2+(y-1)2=1)

(2)設(shè)A(t,0),B(t+5,0)(-4≤t≤-1)，若AC,BC是圓M的切線，求△ABC面積的最小值.

(1)試用t表示出PQ的長(zhǎng)度,并探求△CPQ的周長(zhǎng)；

(2)求探照燈照射在正方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積S的最大值．

圖6

分析：試題3-1也是從直線和圓的位置關(guān)系中去研究圖形中某個(gè)量的問(wèn)題，原試題給出的標(biāo)準(zhǔn)答案是以由點(diǎn)A(t,0),B(t+5,0)著手計(jì)算直線AM和BM的斜率，再利用二倍角公式得到直線AC和BC的斜率，從而得到其直線方程和兩線交點(diǎn)C，這是典型的解析幾何思路，計(jì)算量稍大．若像解法5一樣從平幾角度去分析，思路更直接，計(jì)算量也適中，詳解如下：

試題3-2和3-3(1)是一對(duì)互逆結(jié)論，并且通過(guò)上文中研究的解法4-解法6發(fā)現(xiàn)，文中研究的問(wèn)題恰好是3-3(1)的一個(gè)特例，圖3中正方形內(nèi)45°對(duì)應(yīng)的△OAB的周長(zhǎng)為定值2，圖3是利用圓的切線長(zhǎng)關(guān)系得到，本質(zhì)即為“圖6中45°所對(duì)的線段PQ=DQ+PB，且以A為圓心，AB為半徑的圓與PQ相切于點(diǎn)H，DQ=QH，HB=PB”，這個(gè)性質(zhì)用初等幾何知識(shí)容易證明，即：

圖7

“如圖7，在正方形OA邊的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)K，使得∠FCK=∠ECB，則易知△ACK≌△ABC，因此底邊上的高CD=CF.”

若不用上述證明方法，這個(gè)結(jié)論也能通過(guò)解析法計(jì)算并得到證明：

圖8

“如圖8，設(shè)PB=m，DQ=n，由余弦定理可知

(1+m2)+(1+n2)-[(1-m)2+(1-n)2]=

四、解后感悟

(1)教材是高考命題的基本出發(fā)點(diǎn)

近年來(lái)的江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷風(fēng)格變化不大，試題樸實(shí)平和，大多數(shù)題目的根源來(lái)自課本，給考生似曾相識(shí)的親切感.這其中透露的信息便是要求高考復(fù)習(xí)必須堅(jiān)持回歸課本，夯實(shí)基礎(chǔ)，熟練掌握高中基本數(shù)學(xué)知識(shí)和基本數(shù)學(xué)思想.

就本文中研究的這道應(yīng)用題來(lái)說(shuō)，筆者根據(jù)教材相關(guān)內(nèi)容入手，從多個(gè)層面進(jìn)行分析，列出了與每種解法有聯(lián)系的題源或方法出處，以此為線索將教材中相關(guān)知識(shí)點(diǎn)集中到一道問(wèn)題中來(lái)，由點(diǎn)到面，展示了問(wèn)題蘊(yùn)涵的豐富內(nèi)涵，充分體現(xiàn)了研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)帶來(lái)的統(tǒng)一美和簡(jiǎn)潔美.

(2)教材是解題能力的根本生長(zhǎng)點(diǎn)

我國(guó)著名數(shù)學(xué)教師宋慶先生認(rèn)為：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的在于解題，掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題．”高考作為選拔性考試主要表現(xiàn)在解題上．而教師作為解題的示范者、引路人，首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練、提高學(xué)生的解題能力．

因此，回歸課本發(fā)掘聯(lián)系，是高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的一項(xiàng)關(guān)鍵工作，在具體教學(xué)工作中，筆者建議可以從教材上選取一些典型問(wèn)題進(jìn)行開發(fā)，幫助或引導(dǎo)學(xué)生基于教材進(jìn)行微專題研究，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)框架的進(jìn)一步梳理，以及對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的更深層次的理解，這對(duì)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的發(fā)展將是大有裨益.