考慮偏差度的猶豫模糊集距離及其在模式識(shí)別中的應(yīng)用

薛慧玲，陳春芳

（南昌大學(xué) 理學(xué)院，南昌 330031）

0 引言

猶豫模糊集[1,2]作為模糊集[3]的一種拓展形式，生動(dòng)地顯示出了決策者在決策過程中的猶豫性，它允許一個(gè)元素屬于一個(gè)集合的隸屬度可以是幾個(gè)可能值的集合。猶豫模糊集已成為解決不確定性問題很好的工具，得到了廣泛的研究和應(yīng)用。例如，文獻(xiàn)[4,5]對(duì)猶豫模糊集的相關(guān)系數(shù)及區(qū)間值猶豫模糊集進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)[6]研究了猶豫模糊集及其在決策中的應(yīng)用等問題。

距離度和相似度作為模糊集相關(guān)理論中兩個(gè)非常重要的數(shù)值指標(biāo)，在決策、模式識(shí)別、機(jī)器學(xué)習(xí)、市場預(yù)測[7,8]等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。由于在模糊集中距離度和相似度的重要性，許多學(xué)者將它們的概念拓展到猶豫模糊集中。例如，文獻(xiàn)[9,10]研究了猶豫模糊集距離度、相似度和相關(guān)度，文獻(xiàn)[11]提出了廣義猶豫模糊集權(quán)重距離度及其在多屬性決策中的應(yīng)用問題，文獻(xiàn)[12]中作者提出了含猶豫度的距離度和相似度公式及其在模式識(shí)別中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[12]中給出的距離度相似度相比文獻(xiàn)[9,10]中的距離度相似度具有很大的優(yōu)勢，但它仍然沒有考慮到猶豫模糊集間的偏差度。由于猶豫模糊集的不確定性和猶豫性，猶豫模糊元中的隸屬值會(huì)存在一定的偏差，而這一偏差對(duì)結(jié)果判斷會(huì)產(chǎn)生較大的影響。針對(duì)這種情況，本文提出了具有偏差度的新的距離度公式并研究其在模式識(shí)別中的應(yīng)用問題。

1 猶豫模糊集及其相關(guān)概念

定義 1[13]：設(shè) X={x1， x2， …， xn} 是一非空集合，則 X上的模糊集合A定義為：

其中 μA(x )稱為隸屬函數(shù)，它滿足 μA:X→M ，這里，M稱為隸屬空間。最常見的隸屬空間為區(qū)間( 0 ， 1 )。

定義 2[14]：設(shè) X={x1， x2， …， xn} 為一非空集合，則從 X到[0 ，1] 的一個(gè)子集的函數(shù)，稱為猶豫模糊集，記作A={ x， hA(x) |x∈X } ，其中，hA(x )是[0 ，1] 中幾個(gè)可能的數(shù)的集合，它表示x∈X屬于集合A的可能程度，稱hA(x )為猶豫模糊集A的猶豫模糊元。

定義3[9,10]：設(shè)A、B是非空集合 X={x1， x2， …， xn} 上的兩個(gè)猶豫模糊集，則A、B的距離度d(A ，B )滿足：

(d1)0≤d(A ，B )≤1;

(d2)d(A ，B)=0當(dāng)且僅當(dāng)A=B;

(d3)d(A ，B)=d(B ，A)

定義4[9,10]：設(shè)A、B是非空集合 X={x1， x2， …， xn} 上的兩個(gè)猶豫模糊集，則A、B的相似度s(A ，B )滿足：

(s1)0≤s(A ，B )≤1;

(s2)s(A ，B)=1當(dāng)且僅當(dāng)A=B;

(s3)s(A ，B)=s(B ，A)

猶豫模糊集的最小距離度和最大相似度原則[9,10]：兩個(gè)猶豫模糊集距離度越小則它們?cè)较嘟?，或相似度越大它們?cè)较嘟?/p>

距離度和相似度的相關(guān)性質(zhì)如下[9,10]：

性質(zhì)1：如果d(A ，B )是猶豫模糊集設(shè)A、B的距離度，則 s(A ，B)=1-d(A ，B )是猶豫模糊集 A、B的相似度，稱為由距離度導(dǎo)出的相似度。

性質(zhì)2：如果s(A ，B )是猶豫模糊集A、B的相似度，則d(A ，B)=1-s(A ，B )是猶豫模糊集A、B的距離度，稱為由相似度導(dǎo)出的距離度。

注意到，在不同的猶豫模糊元中元素的個(gè)數(shù)可能不相同。本文用l(h (x ) )表示猶豫模糊元h (x )中的元素個(gè)數(shù)。在實(shí)際中，為了運(yùn)算的便利，文獻(xiàn)[10,13]給出了如下的規(guī)則：將元素?cái)?shù)較少的一個(gè)猶豫模糊元添加元素中最小值、最大值或者任意值，使得它與較長的那個(gè)猶豫模糊元具有相同的元素個(gè)數(shù)。這些值的選擇主要根據(jù)決策者的個(gè)人喜好來添加，樂觀主義者一般會(huì)選擇添加該猶豫模糊元中最大的那個(gè)值，使得它們的元素個(gè)數(shù)相同；而悲觀主義者則一般會(huì)選擇添加該猶豫模糊元中最小的那個(gè)值，使得它們有相同的個(gè)數(shù)。

例如，設(shè)h1(x)={0.7， 0.5， 0.4， 0.1}，h2(x)={0.6， 0.3}為X={x1，x2， …， xn} 上的兩個(gè)猶豫模糊元，易知 l (h1(x))≠l (h2(x ) )，故在運(yùn)算中需要將h2(x )拓展到與h1(x )具有相同的長度。樂觀主義者會(huì)將h2(x)拓展為h2(x)={0.6,0.6, 0.6, 0.3}，而悲觀主義者會(huì)將其拓展為h2(x)={0.6, 0.3,0.3,0.3}。這種任意添加不同值的方法可能會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果，這也是合理的，因?yàn)闆Q策者的偏好會(huì)對(duì)最終的結(jié)果產(chǎn)生直接影響。本文假設(shè)決策者在決策過程中都采用樂觀的處理方式，且為了計(jì)算的方便，本文將所有猶豫模糊元中的值都按降序進(jìn)行重新排列。

文獻(xiàn)[9,10]提出猶豫模糊元h1(x )、h2(x )的距離度d (h1(x ) ， h2(x ) )還應(yīng)滿足：

(d4)對(duì)X={x1， x2， …， xn} 上有相同長度 l的三個(gè)猶豫模糊元h1(x )、h2(x )和h3(x )，如果它們滿足(x )≤(x )≤(x ) ,i=1 ,2 , … , l ,則：

其中，hi

m(x )為猶豫模糊元的第i大的值，m=1,2 ,3。

對(duì)非空集合X={x1，x2， …， xn} 上的兩個(gè)猶豫模糊集A、B，文獻(xiàn)[9,10]給出了猶豫正則漢明距離、歐幾里得距離和廣義猶豫正則距離分別如下：

注意到，上文給出的猶豫模糊集A、B的距離實(shí)際上反應(yīng)的是猶豫模糊元之間的不同。易知A、B的距離度與猶豫模糊元隸屬值的不同及猶豫模糊元中元素個(gè)數(shù)的不同均有關(guān)。由猶豫模糊集的最小距離度和最大相似度原則可知，若:

d(A ，C)=min{d (A ， C) ， d(B ， C) ， d(D ， C) ， …}

s(A ， C)=max{s (A ， C) ， s(B ， C) ， s(D ， C) ， …}

則在模式判斷中C應(yīng)屬于A。但是，文獻(xiàn)[12]指出（1）式至（3）式還存在不足之處，即當(dāng)它們的距離度相同時(shí)，無法判斷C屬于哪個(gè)模式。為了克服這一缺陷，文獻(xiàn)[12]給出了考慮猶豫模糊元猶豫度的新的猶豫模糊集的距離度公式。

定義5[12]：設(shè)A是非空集合 X={x1，x2， …， xn} 上的一個(gè)猶豫模糊集，對(duì)任意xi∈X,定義猶豫模糊元hA(xi)的猶豫度為：

其中，l (hA(xi) )是hA(xi)的長度，對(duì)任何猶豫模糊元hA(xi)，μ (hA(xi) )反映的是決策者在決策過程中對(duì)hA(xi)隸屬程度的猶豫度。如果l (hA(xi) )=1（即 μ (hA(xi))=0），說明決策者對(duì)所做決定是非常確定的；如果l (hA(xi) )是趨于無限的，則 μ (hA(xi) )=1，說明決策者是非常猶豫的，不能給出確定的隸屬值。猶豫值的大小反映的是決策者在決策過程中的猶豫程度。文獻(xiàn)[12]提出了含猶豫度μ (hA(xi) )的猶豫模糊集的距離度公式如下：

定義6[12]：設(shè)A、B是非空集合X={x1，x2， …， xn} 上的兩個(gè)猶豫模糊集，則猶豫模糊集A、B間含猶豫度的正則漢明距離定義如下：

含猶豫度的正則歐幾里得距離：

含猶豫度的正則廣義距離：

注意到（5）式比文獻(xiàn)[9,10]中的只考慮隸屬值的距離度公式更精確地給出了兩個(gè)猶豫模糊集之間的距離度。然而，通過下面的例子可以看到，該距離公式仍存在一定的缺陷。

例1：設(shè) X={x } ，存在兩個(gè)模式表示為猶豫模糊集：A={ 0 .7， 0.5， 0.4 } ，B={ 0 .6， 0.5， 0.3 } ，待識(shí)別的猶豫模糊集為C={ 0 .6， 0.5， 0.4 } ，易知 lx=3 ，由(4)式可知hA，hB的猶豫度都為，從而根據(jù)（5）式可知d ( A ，C)h=dh( B ，C )。

因此，根據(jù)（5）式并不能判別C屬于A還是B?？紤]到任意兩個(gè)不同的猶豫模糊集之間存在著一定的偏差，因此，距離度也應(yīng)考慮兩個(gè)猶豫模糊集的偏差距離。本文給出了猶豫模糊集的偏差距離，并提出了具有偏差距離的猶豫模糊集的新的距離度公式。

2 具有偏差距離的猶豫模糊集的距離度

首先，本文給出猶豫模糊集的標(biāo)準(zhǔn)差的定義如下：

定義7：設(shè) A為 X={x1， x2， …， xn} 上的猶豫模糊集，則A的標(biāo)準(zhǔn)差定義如下：

定義8：設(shè) A、B為 X={x1，x2， …， xn} 上的兩個(gè)猶豫模糊集，則A、B的偏差距離如下：

為了給出該偏差距離計(jì)算方法，給出如下例子予以說明：

例2：設(shè) X={x } ，A={0.7，0.6，0.5}，B={0.8，0.6} 為X上的兩個(gè)猶豫模糊集。根據(jù)運(yùn)算規(guī)則先將hB擴(kuò)展為hB={0.8，0.8，0.6}，由（6）式得 S(A)=0.0819，S(B)=0.0872，從而由（7）式可得A、B的偏差度為ds(A ，B)=0.0053。

定義9：設(shè)A、B是非空集合X={x1， x2， …， xn} 上的兩個(gè)猶豫模糊集，則猶豫模糊集A、B間含偏差距離的正則漢明距離定義如下：

含偏差距離的正則歐幾里得距離：

含偏差距離的正則廣義距離：

根據(jù)決策者對(duì)隸屬值、猶豫度和偏差距離的不同偏好，可以得到含參數(shù)偏好值的距離度公式如下：

其中0≤α， β≤1，且α+β=1,λ＞0。

通常，還應(yīng)考慮元素xi∈X的權(quán)重，因此，本文給出猶豫模糊集的權(quán)重距離度如下：

設(shè)xi∈X的權(quán)重為 ωi( i =1， 2， …， n )，其中 0≤ωi≤，則有下面的權(quán)重距離：

如果不僅考慮任意xi∈X的權(quán)重，而且對(duì)猶豫模糊集的猶豫度、隸屬值和偏差距離考慮它們的偏好，則含偏好參數(shù)的權(quán)重距離如下：

3 數(shù)值例子

下面舉例說明本文給出的距離公式的有效性。

例3：設(shè) X={x } ，存在兩個(gè)模式表示為猶豫模糊集為A={0.85， 0.6， 0.45}，B={ 0 .6 } ,待識(shí)別模式 C={0.7，0.6，0.5 } ，要求對(duì)C進(jìn)行模式識(shí)別。

根據(jù)（5）式可知C屬于A,為了說明本文提出的距離公式的有效性，將上述數(shù)據(jù)代入（8）式可得：

dhs(A ，C)=0.0441，dhs(B ，C)=0.1747,

易知：

dhs(A ，C ) ≤dhs(B ，C)

從而可以判斷C屬于A,說明本文提出的距離公式在模式識(shí)別過程中是有效的。

例4：設(shè) X={ x1， x2} 上的三個(gè)模式分別表示為如下的猶豫模糊集：

待識(shí)別模式為：

D=( x1，{0 .5， 0.4， 0.35}x2，{0 .5， 0.45， 0.38， 0.3} )。

根據(jù)（8）式有：dhs(A ，D)=0.1126，dhs(B ，D)=0.1002，dhs(C ，D)=0.0681。由距離度和相似度的性質(zhì)s(A ，B)=1-d(A ，B)可得對(duì)應(yīng)相似度分別如下：

shs(A ，D)=0.8874，shs(B ，D)=0.8998，shs(C ，D)=0.9319。

由此，容易得到shs(C ，D )≥shs(B ，D )≥shs(A ，D )，根據(jù)相似度最大原則可知D應(yīng)屬于C，與（5）式所得結(jié)果相同，進(jìn)一步說明了本文提出的距離公式的有效性。

下面通過對(duì)例1的識(shí)別來說明本文提出的距離公式的優(yōu)越性。因?yàn)槔?中出現(xiàn)dh(A ，C)=dh(B ，C )的情況，故不能根據(jù)（5）式來判斷待識(shí)別的模式C屬于A還是B。但可根據(jù)本文提出的含猶豫模糊集偏差距離的距離公式來對(duì)待識(shí)別的模式進(jìn)行判別。由（8）式得：

易知：

故根據(jù)猶豫模糊集距離度和相似度的性質(zhì)，可知距離度對(duì)應(yīng)的相似度分別為：

容易得到：

由此，根據(jù)最小距離度原則或最大相似度原則，可以判斷模式C應(yīng)屬于模式A。

4 結(jié)束語

本文考慮了含猶豫模糊集偏差距離的距離度公式，并將它與文獻(xiàn)[12]給出的距離度公式做了對(duì)比，說明了本文提出的距離度的有效性和優(yōu)越性。