淺談簡單指對數(shù)方程教學(xué)中的“其然”與“所以然”

楊心丹

【摘要】立足學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，把“解簡單的指對數(shù)方程”作為方程教學(xué)的一只麻雀進(jìn)行解剖.從函數(shù)的角度，挖掘問題的本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，拒絕落后老套的模式化教學(xué)，務(wù)實(shí)教學(xué)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)能力獲得內(nèi)涵式發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】指對數(shù)方程；轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)有明確的表達(dá)術(shù)語，用“了解、理解、掌握、運(yùn)用”等術(shù)語表述學(xué)習(xí)活動結(jié)果目標(biāo)的不同水平，使用“經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索”等術(shù)語表述學(xué)習(xí)活動過程目標(biāo)的不同程度.

其中，新課程目標(biāo)術(shù)語“了解、理解、掌握”，這些詞的基本含義解釋依次如下.了解是指從具體事例中知道或舉例說明對象的有關(guān)特征；根據(jù)對象的特征，從具體情境中辨認(rèn)或者舉例說明對象.理解是指描述對象的特征和由來，闡述此對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別和聯(lián)系.掌握是指在理解的基礎(chǔ)上，把對象用于新的情境.

在高中數(shù)學(xué)教材必修一，指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單元中，對簡單的指對數(shù)方程的教學(xué)要求是掌握簡單的特殊類型指數(shù)方程和對數(shù)方程的解法，其解決的基本思想是將它們化成代數(shù)方程來解.掌握簡單的指對數(shù)方程的解法，使學(xué)生感悟其中的等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、觀察論證、函數(shù)與方程等重要的數(shù)學(xué)思想.簡單的指對數(shù)方程是本單元教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，也是使學(xué)生學(xué)會研究問題的方法，學(xué)會學(xué)習(xí)的很好教學(xué)素材.

在實(shí)際教學(xué)中，對此重難點(diǎn)的突破存在的障礙較多，表現(xiàn)在，對數(shù)函數(shù)學(xué)生首次接觸，學(xué)生對該節(jié)內(nèi)容有很強(qiáng)的陌生感，增加了認(rèn)知難度；相對于學(xué)段任務(wù)配給的教學(xué)時(shí)間并不充分，沉重的教與學(xué)的壓力不能使該段內(nèi)容的教學(xué)活動做到細(xì)致入微；分?jǐn)?shù)競爭中的學(xué)生因本內(nèi)容的高付出低獲得、教參中“簡單基本”的詞意暗示，也使師生的教學(xué)在此處淺嘗輒止或望而卻步……這些都導(dǎo)致學(xué)生對此知識點(diǎn)能力結(jié)果的形成上，以模仿記憶的行為為主要特征.失去理解的記憶自然難以形成能力，記憶也不長久，因此，就發(fā)生了在高一時(shí)做這道題，講這段的內(nèi)容，到高三高考復(fù)習(xí)時(shí)，依然做這道題，講這段的內(nèi)容，學(xué)生的感覺沒有發(fā)生太多的質(zhì)的變化.

“知其然而不知其所以然”出自梁啟超《論小說與群治之關(guān)系》，意思是只知道事物的表面現(xiàn)象，不知事物的本質(zhì)及其產(chǎn)生的原因.從教學(xué)目標(biāo)術(shù)語“了解、理解、掌握、運(yùn)用”，再看現(xiàn)實(shí)中大多數(shù)學(xué)生的表現(xiàn)，看課標(biāo)教參的要求，就知道關(guān)于這節(jié)的教學(xué)工作沒有做到位.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿邏輯，也充滿類比，忽略了數(shù)學(xué)的本質(zhì)而過度的模仿，只能解決一時(shí)而非一世，這并不夸張，甚至與“教書育人”格格不入.教學(xué)并非面面俱到，但以點(diǎn)帶面，做精做細(xì)一事，才有可能觸類旁通，哲學(xué)上稱作“解剖一只麻雀”.簡單的指對數(shù)方程就是提供給教學(xué)的那只最好、最完整的麻雀.要在簡單的指對數(shù)方程這一數(shù)學(xué)問題上下足功夫，讓學(xué)生切身感受“知其然且知所以然”的過程.有必要設(shè)計(jì)系列的數(shù)學(xué)問題，為學(xué)生的深入理解鋪路.

指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，等式化歸時(shí)不須附加定義范圍的限制條件，對數(shù)函數(shù)則不然，這是解指對數(shù)方程時(shí)兩者在化歸時(shí)較為鮮明的區(qū)別，也是解對數(shù)方程時(shí)丟掉條件限制時(shí)產(chǎn)生增根的原因，限制也是解方程或不等式在化歸時(shí)容易忽視的一個(gè)重要內(nèi)容.在某些教輔材料內(nèi)，（2）與（3）命名為同底法解簡單的指對數(shù)方程.本質(zhì)是依據(jù)函數(shù)單調(diào)性理論轉(zhuǎn)換為同一函數(shù)，函數(shù)值相等則自變量值相同，將原方程轉(zhuǎn)化為更簡單的方程.

數(shù)學(xué)的課堂是開放的，研究問題的同時(shí)，提醒并告誡學(xué)生，要辯證地看問題.化成同底是解答簡單指對數(shù)方程方法中的一種，強(qiáng)調(diào)化成同底是一種由繁到簡的化歸思路，從題出發(fā)，把握構(gòu)造同底數(shù)函數(shù)這一重要環(huán)節(jié).解題時(shí)，并非只有以上這一種思路，思路可以拓展，思路行不通時(shí)要學(xué)會變通和改變.

解不等式的過程也是方程思想的具體應(yīng)用，不等式的求解是在函數(shù)單調(diào)性的條件下，將函數(shù)值的大小順序與自變量值的大小順序間的邏輯轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)不等式朝著求解的方向進(jìn)行化歸，且在化歸的過程中遵守問題本身該有的限制條件.簡單的指對數(shù)不等式求解也遵循這一原則.

解簡單的指對數(shù)方程（不等式）注重同底的化歸是本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn)，指明應(yīng)該這樣做，屬于“其然”的范疇.把握并理解應(yīng)遵循的函數(shù)單調(diào)性本質(zhì)，數(shù)學(xué)思想方法的具體體現(xiàn)，是本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)，它回答了為什么這樣做的根據(jù)理由，是真正的“所以然”.知其然且知其所以然才能使教學(xué)富有活力，“解剖一只麻雀”后，教學(xué)才經(jīng)得起時(shí)間的推敲和打磨，數(shù)學(xué)本身蘊(yùn)含的思想和方法才能產(chǎn)生育人的價(jià)值.