基于部分測量增強量子隱形傳態(tài)過程的量子Fisher信息?

武瑩 李錦芳 劉金明

(華東師范大學,精密光譜科學與技術(shù)國家重點實驗室,上海 200062)

(2018年2月13日收到;2018年4月3日收到修改稿)

量子Fisher信息(QFI)是量子度量學中的一個重要物理量,可給出預(yù)估參數(shù)精度的最優(yōu)值.本文研究如何引入弱測量和測量反轉(zhuǎn)操作,來提高有限溫環(huán)境下以Greenberger-Horne-Zeilinger態(tài)作為量子通道的隱形傳態(tài)過程中的QFI.依據(jù)隱形傳態(tài)過程中量子比特的傳輸情形,考慮了三種不同方案相應(yīng)的QFI.首先,通過構(gòu)造每種量子隱形傳態(tài)方案的量子線路圖,分析了QFI與推廣振幅衰減噪聲參數(shù)的變化關(guān)系.隨后對各種方案中的受噪聲粒子施加弱測量和測量反轉(zhuǎn)操作,并對相應(yīng)的部分測量參數(shù)進行優(yōu)化,著重探討了施加最優(yōu)部分測量操作后QFI的改進量.結(jié)果表明,經(jīng)過優(yōu)化后的部分測量操作能有效提高有限溫環(huán)境下量子隱形傳態(tài)過程輸出態(tài)的QFI;而且量子系統(tǒng)所處的環(huán)境溫度越低,QFI的提高效果可越顯著.

1 引 言

量子通信作為量子力學和信息學相結(jié)合的新興研究領(lǐng)域,是指基于量子糾纏特性進行信息傳遞的一種通訊方式.近年來,國內(nèi)外關(guān)于量子通信的研究發(fā)展迅速,相關(guān)成果和新技術(shù)不斷涌現(xiàn).2016年,世界上首顆量子衛(wèi)星“墨子號”成功發(fā)射,標志著我國的量子通信技術(shù)達到國際領(lǐng)先水平[1,2].量子隱形傳態(tài)是量子通信領(lǐng)域的一個重要分支,其原創(chuàng)性思想由Bennett等[3]在1993年首次提出.此后,關(guān)于量子隱形傳態(tài)的研究及其應(yīng)用受到人們的極大關(guān)注[4,5],陸續(xù)拓展了多種推廣的量子隱形傳態(tài)方案,如連續(xù)變量隱形傳態(tài)[6?9]、量子秘密分享[10?12]、可控隱形傳態(tài)[13?17]、概率隱形傳態(tài)[18?21]、雙向隱形傳態(tài)[22,23]等.1997年,奧地利的Zeilinger小組[24]首先在線性光學系統(tǒng)中實驗實現(xiàn)了單光子態(tài)的隱形傳送;2017年，國內(nèi)潘建偉團隊[25]首次實現(xiàn)了從地面到衛(wèi)星千公里級的量子隱形傳態(tài).

量子隱形傳態(tài)過程中,量子系統(tǒng)不可避免地將與周圍環(huán)境發(fā)生相互作用,使系統(tǒng)的相干性遭受損失,導致被傳遞信息的失真.保真度是表征量子隱形傳態(tài)的一個重要物理量,它描述輸入態(tài)和輸出態(tài)之間的偏差程度.在度量學中,量子Fisher信息(QFI)同樣占據(jù)著不容忽視的地位[26,27],它是在經(jīng)典Fisher信息基礎(chǔ)上的推廣,可量化預(yù)估計參數(shù)所攜帶的信息量[28].研究表明,QFI極易受到環(huán)境噪聲的影響,導致測量精度的下降,因此提高QFI尤為重要.20世紀80年代,Aharonov等[29]提出了弱測量的概念,弱測量及其反轉(zhuǎn)操作又被稱為部分測量[30,31].相對于傳統(tǒng)的von Neumann測量,弱測量對量子系統(tǒng)有較小的擾動,且施加弱測量之后加入適當反轉(zhuǎn)操作可使量子態(tài)以一定的概率恢復至其初始態(tài),起到保護量子態(tài)的作用.因此,弱測量方法被廣泛應(yīng)用于一些量子信息任務(wù)[32?34],如保護開放系統(tǒng)的退相干[35?39]、增強量子關(guān)聯(lián)[40,41]和提高傳輸量子態(tài)的保真度[42]等.實驗上,人們已在線性光學系統(tǒng)[43,44]和超導體系[45,46]中成功地實現(xiàn)了弱測量.

Pramanik和Majumdar[47]以及Qiu等[48]利用弱測量方法分別提出了改進零溫振幅衰減噪聲下量子隱形傳態(tài)過程保真度的方案.Xiao等[49]研究了零溫環(huán)境下弱測量對基于EPR態(tài)的量子隱形傳態(tài)過程中QFI的影響,并分析了如何采用部分測量操作來提高量子隱形傳態(tài)過程中的QFI.實際上,零溫環(huán)境僅是一種理想情況,真實量子系統(tǒng)無法達到零溫情形,因此溫度的影響通常是不能忽略的[38].鑒于此,本文研究有限溫環(huán)境下部分測量操作對以Greenberger-Horne-Zeilinger(GHZ)態(tài)作為糾纏通道隱形傳送單比特態(tài)過程中的QFI的影響,并通過優(yōu)化部分測量操作來改善推廣振幅衰減噪聲下輸出態(tài)的QFI.結(jié)果表明,合適的部分測量操作可顯著增加非零溫環(huán)境下的QFI;且環(huán)境溫度越低,增加效果越好.

2 基本概念

2.1 有限溫環(huán)境下的振幅衰減通道

零溫環(huán)境下,描述單量子比特S和二能級環(huán)境E的振幅衰減(AD)噪聲具有如下的變換關(guān)系[50]:

其中

然而,零溫環(huán)境只是理想情況,真實物理系統(tǒng)不可能達到.有限溫環(huán)境下,單量子比特不僅能通過自發(fā)輻射從激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài),同時也可以從環(huán)境中吸收能量由基態(tài)跳變到激發(fā)態(tài).有限溫情形下,單量子比特態(tài)經(jīng)歷推廣的振幅衰減(GAD)噪聲[38]可表示為

其中

2.2 弱測量和弱測量反轉(zhuǎn)操作

弱測量操作可使量子比特的初態(tài)以一定的概率躍遷到基態(tài),而弱測量反轉(zhuǎn)操作則可使量子比特的末態(tài)以某種概率恢復至初態(tài).因此,某種程度上實施弱測量和測量反轉(zhuǎn)操作可以起到抑制量子糾纏態(tài)的退相干和保護量子態(tài)的作用.本文采取以下作用于量子比特l(l=1,2,3)的弱測量算符[42,43]:

相應(yīng)的作用于量子比特l的弱測量反轉(zhuǎn)算符可表示為

其中參數(shù)w0,w1分別表示弱測量操作和弱測量反轉(zhuǎn)操作的強度,w0,w1的取值范圍均為[0,1].

2.3 量子Fisher信息

在物理學中,人們非常關(guān)心測量的精度問題.QFI提供了一種估計參數(shù)測量精度的有效方法.眾所周知,基于布洛赫球表示,任意單量子比特態(tài)可寫為

其中q=(qx,qy,qz)T表示布洛赫矢量,=表示Pauli矩陣.對于單量子比特態(tài),編碼在該態(tài)的參數(shù)?的QFI可表示為[27,49]

其中??表示對矢量q中的參數(shù)?求偏導.

3 GAD噪聲環(huán)境下引入弱測量方法的量子隱形傳態(tài)過程

本節(jié)描述噪聲情形下基于GHZ態(tài)作為糾纏資源的量子隱形傳態(tài)協(xié)議.假定初始GHZ糾纏態(tài)的形式為

待傳輸?shù)膯瘟孔颖忍貞B(tài)為

這里θ,?是與輸入態(tài)有關(guān)的參數(shù).下面考慮三種GAD噪聲情況下量子隱形傳態(tài)過程中的QFI.

3.1 單粒子通過GAD噪聲

圖1 基于GHZ態(tài)隱形傳送單比特態(tài)的量子線路圖 (a)粒子3遭受GAD噪聲;(b)粒子1和2遭受GAD噪聲;(c)粒子1,2和3同時遭受GAD噪聲Fig.1.A quantum circuit for teleportation of a single-qubit state via a GHZ state:(a)Only qubit 3 undergoes decoherence;(b)qubits 1 and 2 undergo decoherence;(c)qubits 1,2 and 3 simultaneously undergo decoherence.

根據(jù)量子線路圖1(a),量子隱形傳態(tài)過程的輸出態(tài)可寫為

其中,幺正操作

這里(σλ)n→m表示兩比特控制旋轉(zhuǎn)操作;n為控制比特;m為目標比特;λ=x,z;n=1,2,4;m=1,3;H2和H4分別表示對粒子2和4實施Hadamard操作.

經(jīng)過解析計算,輸出態(tài)的密度矩陣可表示為

其中

由(9)式可導出輸出態(tài)ρout1的QFI為

令θ=π/2,由(12)式可知,p一定的情況下,r增大,也增大.

為考慮部分測量操作對QFI的影響,在粒子3發(fā)送前和經(jīng)過噪聲通道后,分別由Alice和Bob對粒子3執(zhí)行弱測量和弱測量反轉(zhuǎn)操作,見圖2.這樣在粒子3經(jīng)歷GAD噪聲,并被實施前置弱測量和后置測量反轉(zhuǎn)操作后,量子隱形傳送的輸出態(tài)可表示為

其中

依據(jù)(9)式和(13)式,執(zhí)行部分測量操作后輸出態(tài)的QFI可寫為

其中

根據(jù)(15)式,因為w1的取值為[0,1],可知相應(yīng)參數(shù)r的有效取值應(yīng)為

圖2 對粒子3實施前置弱測量和后置測量反轉(zhuǎn)操作Fig.2.Performing a weak measurement and a measurement reversal on particle 3.

將(15)式中的w0和w1代入(14)式,可得到輸出態(tài)的QFI的最優(yōu)值對于給定的參數(shù)p和r,現(xiàn)定義對粒子3引入部分測量操作后相應(yīng)的QFI最優(yōu)值與未引入部分測量操作的QFI值之差為

圖3給出了QFI的改進量?F1隨參數(shù)r和θ以及參數(shù)r和p的變化.從圖中可知,量子隱形傳送輸出態(tài)的QFI改進量?F1總是非負的.圖3(a)表明,對于給定的r值,?F1隨θ的增加而增大,當θ=π/2時,QFI的改進量最多.從圖3(b)可看出,在r和p取不同的值時,最佳弱測量和測量反轉(zhuǎn)操作對QFI的改善效果不盡相同;對于給定的較大p值,?F1隨著r的變大而增大,在r接近1時顯著增加.

圖3 (a)當p=0.6時,QFI的改進量?F1隨參數(shù)r和θ的變化;(b)當θ=π/2時,QFI的改進量?F1隨參數(shù)r和p的變化Fig.3.(a)The improved QFI ?F1by optimal partial measurements is plotted as a function of r and θ for p=0.6;(b)the improved QFI?F1by optimal partial measurements is plotted as a function of r and p for θ= π/2.

圖4給出了?F1隨噪聲參數(shù)p的變化情況.從圖4可知,當r值給定時,?F1隨p的增大先增加而后減小;r越大,?F1的峰值越高,峰值處對應(yīng)的p值也越大.物理上可以理解為:對于給定的r值,p較小時,GAD噪聲對QFI的影響較弱,輸出態(tài)QFI的信息損失較小,部分測量操作的優(yōu)化對提高QFI的效果微弱;隨著噪聲參數(shù)p的逐漸增大,輸出態(tài)QFI的信息損失變大,此時部分測量凸顯出對QFI的保護作用,且p值越大效果越明顯;當p增大到一定值時,部分測量對QFI的改進作用達到極值;隨著參數(shù)p的繼續(xù)增大,作為量子通道的糾纏資源逐漸趨于經(jīng)典態(tài),則用于抑制量子態(tài)消相干的弱測量操作效果逐漸退化,因而導致QFI的改進幅度減小.在非零溫環(huán)境下,輸出態(tài)的QFI改進量依賴于參數(shù)p和r.注意到參數(shù)r是溫度T的反關(guān)聯(lián)函數(shù),即在低溫環(huán)境下,選取合適的p值,部分測量操作可顯著提高輸出態(tài)的QFI,這有助于實現(xiàn)量子計量和相關(guān)量子信息任務(wù).

圖4 當θ=π/2時,對于不同的r值,QFI的改進量?F1隨參數(shù)p的變化Fig.4.The improved QFI?F1by optimal partial measurements is plotted as a function of p with Different values of parameters r for θ= π/2.

3.2 兩個粒子通過GAD噪聲

為簡便起見,假設(shè)粒子1,2受到相同噪聲的影響,即r1=r2=r,p1=p2=p.類似地,基于(11)式,最終輸出態(tài)的密度矩陣可表示為

其中

由(9)式可導出輸出態(tài)ρout2的QFI為

為考慮部分測量操作對QFI的影響,在粒子1和2發(fā)送前和各自經(jīng)過噪聲通道后,分別由Bob和Alice對兩粒子執(zhí)行弱測量和弱測量反轉(zhuǎn)操作,見圖5.在粒子1和2經(jīng)歷GAD噪聲,并被實施前置弱測量和后置測量反轉(zhuǎn)操作后,量子隱形傳送的輸出態(tài)可表示為

其中

依據(jù)(9)式和(18)式,此時輸出態(tài)的QFI可導出為

數(shù)學分析表明,當弱測量參數(shù)w0=和弱測量反轉(zhuǎn)參數(shù)w=1?1可獲得輸出態(tài)的的最優(yōu)值為

圖5 粒子1,2傳輸過程中實施前置弱測量和后置測量反轉(zhuǎn)操作Fig.5.Performing prior weak measurements and subsequent measurement reversals on particles 1 and 2 during the two qubit transmission processes.

因為w1的取值為[0,1],可知相應(yīng)參數(shù)r的有效取值也應(yīng)為

圖6給出了當θ=π/2時,?F2隨GAD噪聲參數(shù)r和p的變化.從圖6(a)中可知,量子隱形傳送輸出態(tài)的QFI改進量?F2總是非負的,即經(jīng)實施最優(yōu)弱測量和測量反轉(zhuǎn)操作后輸出態(tài)的QFI較之無部分測量情形下的QFI都有提高.從圖6(b)可發(fā)現(xiàn),當r值較大時,?F2隨p的增大先逐漸增加而后慢慢減小;r越大對應(yīng)的?F2的峰值也越高.因此,從圖6所得到的結(jié)果與圖3和圖4所得的結(jié)果類似.換句話說,在量子系統(tǒng)所處的環(huán)境溫度較低時,選取合適的p值,優(yōu)化部分測量操作可顯著地提高傳送初始態(tài)的QFI,有效抑制輸出態(tài)QFI的信息損失,這對于相關(guān)量子通信和量子計量研究非常重要.

圖6 (a)當θ=π/2時,QFI的改進量?F2隨參數(shù)r和p的變化;(b)圖(a)在給定參數(shù)r時的二維圖Fig.6.(a)The improved QFI?F2by optimal partial measurements is plotted as a function of r and p for θ= π/2;(b)the two-dimensional figure of panel(a)for the given r.

3.3 三個粒子通過GAD噪聲

簡單起見,假定三粒子受到相同的GAD噪聲影響,即r1=r2=r3=r,p1=p2=p3=p.

根據(jù)(11)式，并采用前兩個小節(jié)類似的方法,量子隱形傳送輸出態(tài)的QFI表達式可寫為

現(xiàn)考慮部分測量操作對QFI的影響,在三個粒子發(fā)送前假設(shè)由Charlie對它們分別實施前置的弱測量操作,各自經(jīng)過獨立的GAD噪聲后,分別被實施后置的弱測量反轉(zhuǎn)操作,如圖7所示.不失一般性,假定M1=M2=M3且R1=R2=R3.類似于前兩小節(jié)的方法,執(zhí)行部分測量操作后隱形傳送的輸出態(tài)可表示為

其中

根據(jù)(23)式,在給定參數(shù)θ,r p的情形下,數(shù)值分析表明,通過選取合適的部分測量參數(shù)w0和w1可使得達到最優(yōu)值定義QFI的改進值?F3=?令θ=π/2,?F3隨參數(shù)r和p的變化見圖8(b).從圖中可知,量子隱形傳送輸出態(tài)的QFI改進量?F3也總是非負的,換句話說,優(yōu)化部分測量操作也可提高量子隱形傳送過程中三個粒子同時經(jīng)歷GAD噪聲后輸出態(tài)的QFI,且改進效果顯著.

圖8 當θ=π/2時,QFI(a)和QFI的改進量?F3(b)隨參數(shù)r和p的變化Fig.8.QFI(a)and the improved QFI?F3(b)is plotted versus p and r for θ=π/2.

圖9 優(yōu)化部分測量操作對三種傳輸方案遭受GAD噪聲影響下QFI的改進效率ηξ隨參數(shù)p的變化 (a)r=0.85;(b)r=0.95Fig.9.The improvement efficiency ηξ of QFI is plotted versus the parameter p for three kinds of teleportation schemes suffering from GAD noises after the optimization of partial measurements:(a)r=0.85;(b)r=0.95.

通過以上分析量子隱形傳態(tài)過程中粒子遭受GAD噪聲以及實施部分測量操作的三種情況,可以發(fā)現(xiàn):盡管三種傳輸方案不盡相同,但優(yōu)化部分測量操作后的QFI的改進量總是非負的,也即弱測量操作可起到保護量子態(tài),提高QFI的作用;而且量子系統(tǒng)的環(huán)境溫度越低,部分測量操作對提高QFI越有效.為了對比三種傳輸方案受到噪聲的影響,圖9給出了優(yōu)化部分測量操作對量子隱形傳送輸出態(tài)QFI的改進效率ηξ隨參數(shù)p的變化,這里定義

從圖9可知,在r值取定時,改進效率ηξ隨參數(shù)p的變大而增加,且數(shù)值分析表明總存在η3>η2>η1.換言之,部分測量操作的優(yōu)化對QFI的改進效率與遭受GAD噪聲的粒子數(shù)有關(guān);受噪聲的粒子數(shù)越多,所需實施的部分測量優(yōu)化操作也相應(yīng)地增加,QFI的改進效率隨之提高.

4 結(jié) 論

本文研究了采用部分測量方法改進推廣振幅衰減噪聲下以GHZ態(tài)作為量子信道的單比特態(tài)隱形傳送過程的量子Fisher信息.考慮了三種粒子遭受噪聲的情形,分析了部分測量的引入對各種情形的影響,并解析導出了三種情形下的QFI以及單個和兩個粒子受GAD噪聲下優(yōu)化后的QFI.對于三個粒子同時經(jīng)歷GAD噪聲的情況,鑒于解析式復雜,通過數(shù)值分析得到了相應(yīng)的最優(yōu)QFI.研究表明,在噪聲參數(shù)p增大或r減小時,GAD噪聲影響下三種輸出態(tài)對應(yīng)的Fisher信息(即和)都減小.對于單粒子和兩粒子經(jīng)歷GAD噪聲的情形,最優(yōu)的弱測量參數(shù)w0和測量反轉(zhuǎn)參數(shù)w1都是p和r的函數(shù);而且三種粒子受噪聲的情形下QFI的改進量?F1,?F2和?F3總是非負的,這隱含著經(jīng)引入最優(yōu)弱測量和弱測量反轉(zhuǎn)操作后輸出態(tài)的QFI較之未引入情形下的QFI都有所提高.此外,受GAD噪聲的粒子數(shù)越多,優(yōu)化部分測量操作對QFI的改進效率越高.進一步分析表明,在低溫環(huán)境下,選取合適的p值,部分測量操作可顯著提高GAD噪聲影響下輸出態(tài)的QFI,這有利于相關(guān)量子參數(shù)估計和量子信息任務(wù)的實現(xiàn).本文結(jié)果可加深對部分測量技術(shù)應(yīng)用于量子隱形傳態(tài)方案的理解,也對研究如何抑制量子通信過程中QFI信息的退相干具有一定的啟發(fā)和參考意義.