具有Dzyaloshinskii-Moriya相互作用的XY模型的量子相干性?

伊天成 丁悅然 任杰 王藝敏 尤文龍4)?

1)(蘇州大學物理與光電·能源學院,蘇州 215006)

2)(常熟理工學院物理系,常熟 215500)

3)(陸軍工程大學通信工程學院,南京 210007)

4)(蘇州大學,江蘇省薄膜材料重點實驗室,蘇州 215006)

(2018年2月13日收到;2018年4月3日收到修改稿)

研究了具有Dzyaloshinskii-Moriya(DM)相互作用的一維橫場XY自旋鏈的量子相變和量子相干性.采用約旦-維格納變換嚴格求解了哈密頓量,并描繪了體系的關聯函數和相圖,相圖包含反鐵磁相、順磁相和螺旋相.利用相對熵和Jensen-Shannon熵討論了XY模型的量子相干性.研究發(fā)現,相對熵與Jensen-Shannon熵所表現的行為都可以很好地表征該模型的量子相變.非螺旋相中量子相干性不依賴DM相互作用,而在螺旋相DM相互作用對量子相干性有顯著影響.此外,指出了在帶有DM相互作用的這一類反射對稱破缺體系中關聯函數計算的常見問題.

Here,0 6 γ 6 1 is the anisotropic parameter,h is the magnitude of the transverse magnetic field,D is the strength of Dzyaloshinskii-Moriya(DM)interaction along the z direction.The limiting cases such as γ=0 and 1 reduce to the isotropic XX model and the Ising model,respectively.We use the Jordan-Winger transform to map explicitly spin operators into spinless fermion operators,and then adopt the discrete Fourier transform and the Bogoliubov transform to solve the Hamiltonian Eq.(8)analytically.When the DM interactions appear,the excitation spectrum becomes asymmetric in the momentum space and is not always positive,and thus a gapless chiral phase is induced.Based on the exact solutions,three phases are identified by varying the parameters:antiferromagnetic phase,paramagnetic phase,and gapless chiral phase.The antiferromagnetic phase is characterized by the dominant x-component nearest correlation function,while the paramagnetic phase can be characterized by the z component of spin correlation function.The two-site correlation functions Gxyr and Gyxr (r is the distance between two sites)are nonvanishing in the gapless chiral phase,and they act as good order parameters to identify this phase.The critical lines correspond to h=1,γ=2D,andWhen γ =0,there is no antiferromagnetic phase.We also find that the correlation functions undergo a rapid change across the quantum critical points,which can be pinpointed by the first-order derivative.In addition,decreases oscillatingly with the increase of distance r.The correlation functionfor γ=0 oscillates more dramatically than for γ =1.The upper boundary of the envelope is approximated as ～ r?1/2,and the lower boundary is approximately～ r?3/2,so the long-range order is absent in the gapless chiral phase.Besides,we study various quantum coherence measures to quantify the quantum correlations of Eq.(8).One finds that the relative entropy CREand the Jensen-Shannon entropy CJSare able to capture the quantum phase transitions,and quantum critical points are readily discriminated by their first derivative.We conclude that both quantum coherence measures can well signify the second-order quantum phase transitions.Moreover,we also point out a few differences in deriving the correlation functions and the associated density matrix in systems with broken reflection symmetry.

1 引 言

量子相干和量子糾纏是量子力學最基本的兩個特性,其根源在于量子態(tài)的疊加原理,即單個量子態(tài)可由多個不同態(tài)以不同的方式相干疊加得到.量子相干和量子糾纏被認為是量子物理和量子信息的核心,是實現各種量子任務（如量子遠程通信和量子計算等）的量子資源,是量子信息科學的優(yōu)勢所在.這兩種現象盡管概念完全不同,卻有著緊密的聯系.相干性和糾纏可以通過運算等效[1].目前,作為一種對量子疊加性的量化,量子相干性已經成為處理量子信息的一種重要的手段[2].研究表明,量子糾纏可以被認為是相干性的一種體現,反之則不成立.例如,兩量子比特的直乘態(tài)沒有糾纏,只有相干. 物理學家對量子糾纏的研究已有幾十年,成果斐然[3].量子糾纏在量子科技中發(fā)揮著不可或缺的作用,比如可以實現密鑰共享[4]、量子密碼術[5]和量子克隆[6]等.與量子糾纏相比,人們對量子相干領域的研究還較少.而借鑒量子糾纏領域的研究成果可以大大加深對量子相干性的研究.近年來,人們應用量子信息的概念,如量子糾纏[7?11]、量子失諧[12,13]、保真率[14,15]來描述量子相變,拓展了對量子臨界行為的認識.人們發(fā)現量子糾纏在非臨界區(qū)滿足面積定理,而在臨界點表現出對數發(fā)散行為[16].為此,利用量子相干性來研究強關聯體系的量子相變,有助于理解凝聚態(tài)系統(tǒng)中更廣泛而深刻的行為.同時,對量子相干性的深入研究不僅對量子信息的發(fā)展有著重大的意義,也可以促進對量子力學基本問題的理解.

本文研究具有Dzyaloshinskii-Moriya(DM)相互作用的自旋1/2的XY模型的量子相干性.XY模型是低維量子系統(tǒng)的一個重要模型,它在1961年就被Lieb等[17]嚴格求解.XY模型具有非常廣闊的變化范圍,它包含了Ising模型、各向同性XX模型以及各向異性XY模型,具有非常豐富的物理內涵.許多復雜模型都可以借助一系列的方法映射到此模型上來解決問題,它等價于二聚化的XX模型[18].不僅如此,眾多材料也能實現有效的XY模型.例如,Cs2CoCl4是沿著b軸的自旋1/2的準一維XY自旋鏈[19];將鈷原子鏈蒸發(fā)在Cu2N/Cu(100)襯底上可以形成有效的XY模型[20].近年來,人們對DM相互作用具有濃厚的興趣,對于具有DM相互作用的反鐵磁性的材料進行了廣泛的研究.DM相互作用是存在于磁性材料中的一種非對稱的交換作用,源于自旋軌道耦合[21,22].在一級近似下,DM相互作用可以寫成Dij·(σi× σj),這里Dij稱為DM矢量.DM 相互作用可以使一些材料表現出新的性質,比如引起亞鐵磁絕緣體Cu2OSeO3的螺旋自旋基態(tài)和鐵電性質的變化[23?25],誘發(fā)多鐵材料BiFeO3的擺線狀磁結構[26].DM相互作用的存在使得電子自旋共振[27]和電場調制[28]等技術可以應用在磁性化合物上.這些神奇的現象激發(fā)了理論研究者的廣泛興趣[29?36].

本文的結構如下:第2部分介紹具有DM相互作用的一維XY模型,計算該模型的能譜和基態(tài)性質,并給出XY模型在不同情況下的相圖;第3部分討論XY模型的關聯函數;第4部分利用相對熵和Jensen-Shannon熵討論XY模型的量子相干性;第5部分給出最終的結論.

2 模型和相圖

在此引入XY模型的哈密頓量:

其中γ表示描述各向異性程度的參數,h表示磁場的大小,D表示沿著z軸的DM相互作用強度,表示位于格點i上自旋的泡利矩陣的α分量,N為總格點數.本文選擇周期邊界條件,即σN+1=σ1.當γ=0時,模型(1)為各向同性的XX模型;當γ=1時,模型(1)簡化成Ising模型.利用約旦-維格納變換做進一步處理:

這里需要借助產生算符σ+和湮滅算符σ?,其定義為σ±≡(σx±iσy)/2.由此,上述哈密頓量(1)式可以被寫成關于無自旋費米子的產生算符和湮滅算符的二次型:

由于哈密頓量(1)式具有平移不變性,可以通過傅里葉變換將方程(5)轉換到動量表象.最后,利用波戈留波夫變換再進行對角化處理,這樣可以得到基態(tài)能量的精確解.最終哈密頓量可以變換為對角化的形式:

其中

圖1顯示了h=0.5,γ=1時D取不同值時的激發(fā)譜?k,十分清楚地反映了能譜隨DM相互作用變化的趨勢.當D=0時,能帶存在能隙? ≡ mink?k.這時基態(tài)|ψ0中所有動量k上的電子占據數為0,即bk|ψ0=0.隨著D的增加,能隙?變得越來越小.當D=0.5時,?k在某一個非公度的動量kc等于0,能隙關閉.當D>0.5時,部分能譜變成負數,能隙消失,費米面上有兩個交點kL和kR.對于一般情況,不難從(7)式得到

圖1 h=0.5,γ=1時的激發(fā)譜Fig.1.Excitation spectra for h=0.5,γ=1.

換句話說,對于kL6 k 6 kR,激發(fā)譜?k是負的,基態(tài)中所有負能態(tài)被占據,即[33].

眾所周知,當DM相互作用不存在的時候,h=1對應反鐵磁相-順磁相的Ising相變,此時能隙在動量kc=0上閉合.γ=0且h 6 1則是一條各向異性相變線.以上相變都屬于二級量子相變.根據能隙關系,在圖2中給出了γ=1,γ=0.5,γ=0時對應的相圖.從圖2中可以看出,在一般情況下XY模型存在三個相.區(qū)域I和區(qū)域II是有能隙相,能隙在h=1關閉.區(qū)域III為無能隙相,其與區(qū)域I和區(qū)域II的相變線所對應的解析式分別為γ=2D和不失一般性,下面主要關注γ=0和γ=1的情況,因為后者代表0 6 γ 6 1的一般情況.

圖2 不同γ所對應的相圖 (a)γ=1;(b)γ=0.5;(c)γ=0;區(qū)域I,II,III分別代表反鐵磁相、順磁相和螺旋相Fig.2.Phase diagram with respect to γ:(a) γ =1;(b) γ =0.5;(c)γ =0.Region I,II and III correspond to antiferromagnetic phase,paramagnetic phase and chiral phase,respectively.

3 關聯函數

為了表征不同相,選取兩格點之間的關聯函數作為序參量來描述系統(tǒng)基態(tài)的性質,定義關聯函數≡其中α,β=x,y,z.由于該系統(tǒng)具有平移不變性,因此關聯函數的大小僅與i,j兩格點之間的相對距離有關,而與兩個格點所在的具體位置無關,所以可以將簡記為其中r=i?j.對于一般的展開形式可以表示為法夫式(Pfaffian)[37,38].換句話說,可以寫成2n×2n(n≡|j?i|)維反對稱矩陣的行列式,更進一步的細節(jié)性的討論見附錄A.

首先考慮各個分量的最近鄰關聯.不失一般性,在圖3中展示了γ=1的兩條參數路徑:D=0和D=1.在圖3(a)中,可以看出x分量的最近鄰關聯隨著磁場強度h的增加從?1漸漸趨近于0,而y和z分量的最近鄰關聯隨h的增加從零開始呈增長之勢,這表明區(qū)域I為反鐵磁相.三種最近鄰關聯在量子相變點處都發(fā)生了突然的變化.如圖3(a)插圖所示,的一階導數在h=1有一個明顯的尖峰,意味著此處發(fā)生了二級量子相變.經過相變點后,和都逐漸趨近于0,而則漸漸地趨近于1,說明區(qū)域II為順磁相.如圖3(b)所示,由于DM相互作用的出現,臨界磁場hc的位置發(fā)生了明顯的變化,從D=0時的hc=1移動到D=1時的hc=2.類似地,的一階導數在hc=2也呈現了一個尖峰(見圖3(b)插圖),這一結果與圖2中的相變線一致.值得注意的是,當h

除了最近鄰的兩點關聯,接下來考慮長程的兩點關聯.Barouch和McCoy[38]研究了橫場XY模型的磁化強度和關聯函數.Its等[39]考慮橫場XX模型的非零溫關聯.研究表明關聯函數的漸進行為(r→∞)可以寫成

圖3 最近鄰關聯函數隨著h的變化 (a)γ=1,D=0;(b)γ=1,D=1;插圖為的一階導數Fig.3.The nearest correlation functionwith respect to h for:(a)γ=1,D=0;(b)γ=1,D=1.Insets show the first-derivative of

圖4 (a)γ=1時隨著h和D變化的情況;(b)γ=1時隨著h和D變化的情況Fig.4.(a)as a function of h and D for γ =1;(b)as a function of h and D for γ =1.

圖5 關聯函數的絕對值隨著距離r的變化(a)D=0,γ=0;(b)D=0,γ=1;(c)D=1,γ=0;(d)D=1,γ=1Fig.5.The absolute value of the correlation functionwith respect to r:(a)D=0,γ=0;(b)D=0,γ=1;(c)D=1,γ=0;(d)D=1,γ=1.

4 量子相干性

在凝聚態(tài)理論中,量子相變需要構建合適的序參量來描述,如上文提及的自旋關聯函數,但是往往序參量是事先不知道的.量子相變發(fā)生在零溫時體系的量子關聯隨著參數的調節(jié)發(fā)生了突然的變化,對系統(tǒng)的量子關聯進行量化和表征已經成為研究熱點之一.隨著量子信息的發(fā)展,一些量子信息的概念被移植到凝聚態(tài)領域,如量子糾纏、量子失諧、保真率也被用來描述量子相變[41?43].自然而然,量子相干性是一種典型的量子關聯的刻度.

其中

值得一提的是,很多先前的研究[44,45]在考慮(13)式和(14)式時默認了= 0和=0,這與圖4的結論是不符合的.這里要強調=0和=0只在純實數哈密頓量的條件下才成立,對于哈密頓量中含有DM相互作用或者XZY-YZX類三體相互作用是不成立的[31,46,47],甚至一些文獻[48]忽略了此時計算要利用原始公式(A10)(見附錄A),而不是(A13)式.

相對熵是Baumgratz等[49]依據資源理論引入的相干性的量化指標,其計算公式為

其中S(ρ)= ?Tr(ρlog2ρ).S(ρ)代表密度矩陣ρ的馮·諾依曼熵,S(ρdiag)則代表密度矩陣清除非對角項之后得到的新密度矩陣的馮·諾依曼熵.研究表明,XY模型的量子相變臨界點可以用量子相干率(coherence susceptibility)的奇異性來描述[50],其定義為相對熵的一階導數

圖6顯示了在不同γ的情況下不同近鄰程度的相對熵CRE以及相干率χRE隨著磁場h變化的情況.當γ=0的時候,不同距離的兩量子比特的相對熵具有相似的變化趨勢(見圖6(a)).隨著h的增加,它們都呈現出減小的趨勢.距離r越大,相對熵越小.不同的是,最近鄰的相對熵衰減相對比較明顯,次近鄰以及更遠近鄰的相對熵起初保持一定的魯棒性.當h靠近1的時候,所有距離的兩量子比特相對熵都急劇衰減為0.在順磁相中相對熵一直保持為0.圖6(c)中,當γ=1時兩量子比特的相對熵隨著h的增長而減小,由于長程序的存在,不同距離r差別不大.同樣在h=1處CRE有一個急劇的下降.與γ=0的情況不同,進入順磁相后χRE仍然存在,且絕對值隨著h的增加而減小.從圖6(b)和圖6(d)中可以看出,在h=1處,量子相干率χRE出現了一個奇點,表明在此處體系的相干性有一個劇烈的變化,即發(fā)生了量子相變.

圖6 D=0時相對熵CRE和量子相干率χRE隨h的變化 (a)γ=0時的CRE;(b)γ=0時的χRE;(c)γ=1時的CRE;(d)γ=1時的χREFig.6.The relative entropy CREand the quantum coherence susceptibility χREfor D=0:(a)CREfor γ =0;(b) χREfor γ =0;(c)CREfor γ =1;(d) χREfor γ =1.

圖7 D=0時Jensen-Shannon熵CJS和量子相干率χJS隨h的變化 (a)γ=0時的CJS;(b)γ=0時的χJS;(c)γ=1時的CJS;(d)γ=1時的χJSFig.7.Jensen-Shannon entropy CJSand the quantum coherence susceptibility χJSfor D=0:(a)CJSfor γ =0;(b) χJSfor γ =0;(c)CJSfor γ =1;(d) χJSfor γ =1.

圖8 γ=0時不同D的情況下相對熵CRE和量子相干率χRE隨著h的變化 (a)最近鄰情況下的CRE;(b)最近鄰情況下的χRE;(c)D=1時不同近鄰情況下的CRE;(d)D=1時不同近鄰情況下的χREFig.8.The relative entropy CREand the quantum coherence susceptibility χREwith respect to D for γ =0:(a)CREfor the nearest-neighbor qubits;(b)χREfor the nearest-neighbor qubits;(c)CREfor Different distances r between two qubits with D=1;(d)χREfor Different distances r between two qubits with D=1.

除利用相對熵以外,還可利用Jensen-Shannon熵討論XY模型的量子相干性[51].Jensen-Shannon熵的定義與相對熵類似:

同樣,其相干率亦定義為

圖7顯示了在不同γ的情況下Jensen-Shannon熵CJS以及所對應的相干率χJS隨著磁場h變化的情況.Jensen-Shannon熵所表現的行為與相對熵定性上十分類似,都可以體現出在h=1處,系統(tǒng)發(fā)生了量子相變,所以接下來主要通過相對熵來研究量子相干性.

圖8展示了γ=0時兩量子比特的相對熵在不同DM相互作用下的情況,同時給出了各自對應的量子相干率的變化規(guī)律.結果表明有限的D只能改變臨界磁場hc的大小,而不改變臨界行為.圖8(a)中最近鄰兩量子比特的相對熵CRE隨著h的增加而單調減少.從圖8(c)可以看出D=1時,不同近鄰程度的兩量子比特的相對熵CRE有著十分類似的變化趨勢,都是先隨著磁場的增加緩慢下降,然后在相變點的位置急速下降.在遠離相變點的位置,最近鄰情況下的相對熵隨磁場的變化相對比較明顯,而次近鄰和次次近鄰則相對比較緩慢.當磁場h驅使系統(tǒng)進入順磁相,CRE都消失為0.圖9展示了γ=1時與圖8相對應的情況,同樣可以看出,兩量子比特的相對熵CRE隨著h的增加而減少.令人驚訝的是,當D=0時,CRE與h的依賴關系和D=0.4時重合.確切地說,非螺旋相中CRE不依賴D.而在螺旋相中,D對CRE有顯著影響,見圖8(a).

圖9 γ=1時不同D的情況下相對熵CRE和量子相干率χRE隨著h的變化 (a)最近鄰情況下的CRE;(b)最近鄰情況下的χRE;(c)D=1時不同近鄰情況下的CRE;(d)D=1時不同近鄰情況下的χREFig.9.The relative entropy CREand the quantum coherence susceptibility χREwith respect to D for γ =1:(a)CREfor the nearest-neighbor qubits;(b)χREfor the nearest-neighbor qubits;(c)CREfor Different distances r between two qubits with D=1;(d)χREfor Different distances r between two qubits with D=1.

5 結 論

本文研究了含有DM相互作用的一維XY模型.嚴格求解出了此模型的基態(tài)和關聯函數,給出了它的相圖,發(fā)現關聯函數和量子相干性可以很好地標志出量子相變臨界點的位置.量子相干性不僅僅存在于最近鄰格點之間,也存在距離更遠的兩格點之間.發(fā)現DM相互作用會移動量子相變臨界點的位置,甚至誘發(fā)無能隙螺旋相.指出了一些計算細節(jié),這些細節(jié)在很多文獻里沒有得到適當的處理,本文對此做了進一步的補充和詮釋.

附錄A 自旋關聯函數

這里引入兩個新的算符,

它們滿足如下代數關系:

類似地,y分量和z分量的關聯可以表示為：

根據維克定理,可以對多算符連乘的平均值進行分解,變成二次形算符平均值的連乘,不難發(fā)現,對于展開形式可以表示為法夫式(Pfaffian)[38],即=pf(),其中α,β=x,y.換句話說,其可以寫成2n×2n(n≡|j?i|)維反對稱矩陣的行列式,即

而對于z分量,

可以發(fā)現,對于任意k,當其電子能譜?k總是正的時候,準粒子bk表象下基態(tài)沒有元激發(fā),即=0.此時,換句話說,不同格點i和j上的同種算符期待值為零,即于是,關聯函數可以簡化成n×n維Toeplitz矩陣的行列式表示: