一種新型光學微腔的理論分析?

谷紅明 黃永清 王歡歡 武剛 段曉峰 劉凱 任曉敏

(北京郵電大學,信息光子學與光通信國家重點實驗室,北京 100876)

(2018年1月10日收到;2018年3月21日收到修改稿)

應用波動光學理論,分析了一種新型錐頂柱狀光學微腔的本征模式,得到了諧振腔的諧振波長表達式.在諧振波長1550 nm附近進行了設計與仿真優(yōu)化,優(yōu)化結果顯示新型諧振腔與傳統(tǒng)平行腔相比,在腔長為4512.5 nm,直徑為3134.4 nm時,其品質因數(shù)可以提高22.4%,達到了49928.5,同時諧振腔的有效模式體積減小了47.8%.

1 引 言

隨著激光技術的不斷發(fā)展,高品質因數(shù)(Q)光學微腔受到了廣泛關注,其應用不僅適用于傳統(tǒng)光學領域,在量子信息和集成光電子芯片方面更是有著廣闊的應用前景[1].單光子源是量子通信系統(tǒng)中的關鍵性器件,其可以通過量子點與光學微腔強耦合的方式得到.高Q值與小模式體積光學微腔的Purcell效應因子[2]較大,可以實現(xiàn)量子點與光學微腔的強耦合.

光學微腔結構多種多樣,法布里-珀羅(F-P)型微腔是光學微腔的一種,其由兩個平行放置的高反射鏡組成,結構較為簡單,在光學濾波器[3]、諧振腔增強型(RCE)光探測器等[4]光電子器件中已經(jīng)得到了較為廣泛的應用.柱狀F-P型微腔有著較小的模式體積,可以應用于電抽運單光子發(fā)射[5].1999年,Yamamoto研究組的Kim等[6]采用柱狀F-P型微腔,在溫度50 mK下,首先實現(xiàn)了GaAs/AlGaAs量子阱三明治結構的單光子發(fā)射.近年來,國內在單光子發(fā)射方面也取得了較大進展.2013年,陸朝陽等[7]利用頂部5周期與底部24周期分布布拉格反射鏡(DBR)結構的柱狀微腔,提高了共振熒光的收集效率,實現(xiàn)了近似不可區(qū)分全同單光子源,其測量得到光子的相似度為0.97.為了提高F-P型柱狀微腔的Q值,科研人員進行了深入研究.2005年,Forchel研究組L?ffler等[8]在960 nm附近諧振波長處,實現(xiàn)了直徑為4μm,Q值高達27700的微柱.2007年,Strauf等[9]采用預插入鋁氧化物層的方法,對大尺寸DBR諧振腔進行挖孔,利用該孔洞對DBR中光場的限制,減少了普通柱狀微腔表面的散射損耗,從而形成了高Q值(Q=50000)的微腔.與微盤諧振腔[10?12]類似,在F-P型柱狀微腔中引入回音壁模式(WGMs)也可以增加柱狀光學微腔的Q值,2012年,Albert等[13]采用直徑為4.5μm,品質因數(shù)為40000的柱狀微腔實現(xiàn)了量子點激光器WGMs的定向激射.

本文設計了一種新型非平行的錐頂柱狀光學微腔,其結構特點是諧振腔頂部為錐面反射鏡,底部為平面反射鏡,頂部反射鏡與底部反射鏡之間構成腔體.理論分析表明,這種結構的光學諧振腔能夠產(chǎn)生穩(wěn)定的振蕩,且能將光場有效地控制在腔內較窄的區(qū)域從而增加諧振腔的Q值并減小諧振腔的模式體積.本文分析了此種新型諧振腔的本征模式,采用COMSOL軟件對腔體結構進行了仿真,仿真結果顯示此種諧振腔與同等尺寸的F-P型微腔相比具有較高的Q值與較小的模式體積.

2 錐頂柱狀諧振腔結構與基本原理

2.1 錐頂柱狀諧振腔結構

圖1為新型錐頂柱狀諧振腔結構示意圖及其軸線剖面圖,由圖1可見,新型諧振腔底鏡是高反平面鏡,記為M1;頂鏡為高反錐面鏡,記為M2;圓錐底角為α;腔長為H;腔內填充介質的折射率為n1;腔外介質的折射率為n2.

圖1 (a)新型諧振腔結構示意圖和(b)軸線剖面圖Fig.1.(a)Schematic of a new asymmetric resonator structure and(b)resonator axial section.

2.2 錐頂柱狀諧振腔諧振的基本原理

圖2為新型諧振腔內光線傳播示意圖,圖中A點處垂直于底部反射鏡的入射光線經(jīng)路徑AB—BC—CD—DE(紅色箭頭所示),在頂部反射鏡與底部反射鏡各發(fā)生兩次反射之后,再經(jīng)ED—DC—CB—BA到達A點;類似地,任選一條由底部入射的光線(藍色實線)在頂部反射鏡的左側和右側各反射一次之后,垂直入射到底部反射鏡,再由原路返回至初始位置,容易證明藍色和紅色實線所示的光束在折射率為n1的腔體中往返的總路程L0是相等的,均為L0=8H cos2α.因此,由反射鏡M1與M2構成的腔體可以形成穩(wěn)定的諧振.紅色虛線所示為光線在頂部反射鏡左側和右側各有一個交點的極限情況.經(jīng)幾何證明,線段可取得的最大值為2H sin(2α),此時A′點與E點重合于O點,令其為圓柱底面的半徑,即b=2H sin(2α).

圖2 諧振腔內光線傳播示意圖Fig.2.Schematic of light propagation in the resonant cavity.

3 理論分析

圖1(a)所示的新型錐頂柱狀諧振腔由圖1(b)的剖面圖沿軸線旋轉得到,因此其諧振的場分布等特征與二維平面下的情況相類似.

在二維平面內諧振腔的偏振模式可以分為兩類TE模與TM模,TE模(H波)非零向量為Ey,Hx和Hz,TM模(E波)非零向量為Hy,Ex和Ez.假定腔內填充各向同性的理想介質,其折射率為n1,諧振腔外圍介質折射率為n2.將TE模(TM模)的電場(磁場)Ey(Hy)用Fy(x,z)表示,則光場的波動方程為

式中k0為真空中的傳播常數(shù).將諧振腔中折疊傳播的光線展開,可以發(fā)現(xiàn)這種諧振腔可以等效為一個變形的介質矩形腔,其條寬為2b,等效腔長為L=L0/2.新型諧振腔的模式特征可以通過分析等效后的介質矩形諧振腔來得到.

介質矩形諧振腔即在介質波導的兩端分別添加高反射率的反射鏡,則在自然坐標系下沿光線傳輸方向的模場分布的一般形式為

式中km與βl分別為橫向和縱向的傳播常數(shù),且有

其橫向可以看作對稱的平板波導,其模式的本征值方程為

式中m為等效介質腔的橫模數(shù),φ12為邊界的全反射位相角,大小為[14]

縱模方向主要受到高反射率鏡的限制,可以得到縱模的本征值方程為

式中l(wèi)為等效介質腔的縱模數(shù);2φ為光線往返一周經(jīng)過反射鏡時總的反射相位角.設反射鏡M1,M2反射相移為φj(θ),(j=1,2),其中θ為入射光線與反射鏡的夾角.則總反射相位角大小為

由(3)式、(4)式與(6)式可得諧振腔的諧振波長為

式中2b為諧振腔的寬度4Hsin(2α);L為等效介質腔的長度4Hcos2(α).

由(8)式可以看出,諧振腔的二維剖面下諧振波長表達式的形式與理想介質矩形腔的形式相同,因此新型錐頂柱狀諧振腔可以等效為一個半徑為b,腔長為L的圓柱形諧振腔.其諧振波長為

式中

其中μmn為m階貝塞爾函數(shù)導數(shù)的第n個根,νmn為m階貝塞爾函數(shù)的第n個根.

4 計算仿真

4.1 仿真結構參數(shù)

仿真時高反鏡M1,M2采用DBR,反射率譜譜寬約為1μm,中心波長為λ0=1550 nm,其由4對Si/SiO2材料薄膜[15,16]構成,折射率分別為3.47與1.47,各單層膜的光學厚度分別為λ0/4.腔內的填充介質為硅,折射率為3.47,即n1=3.47,腔外為空氣,折射率為1,即n2=1.選取諧振腔的橫向與縱向尺寸均在微米量級,此時橫向界面對諧振腔有較強的限制作用,因此2φ12=π.沿光傳播方向的反射相移,可以由矩陣光學的方法來計算,令DBR的等效光學導納γ=a(θ)+ib(θ),于是當襯底的光學導納為實數(shù),即襯底對入射光無吸收時,DBR反射鏡的M1,M2的反射相移[17]為

式中η0為斜入射時入射介質的光學導納.對于λ0/4無吸收材料的光學薄膜,波長λ0處的等效導納為實數(shù),由(10)式可以計算出,在波長λ0處φj(θ)=0.在波長λ0附近諧振時,可以忽略DBR反射相移的影響,從而(8)式可以簡化為

因此,要使諧振腔在中心波長處諧振,則簡化后的腔長表達式為

取m=0,l=80,α =3?,當諧振腔在波長λ0處諧振,即λm,l=λ0時,通過(12)式可以計算出腔長H=4510.9 nm,2b=1886.1 nm.同理,可以計算出不同傾角α時,諧振腔的結構參數(shù)如表1所列.

表1 不同傾角下諧振腔的結構參數(shù)Table1. Structural parameters of resonators with Different angles.

4.2 仿真結果

4.2.1 寬譜掃描

對角度為3?的仿真結構進行了寬譜掃描,掃描的能量譜如圖3所示.

諧振腔Q值的計算公式為

式中f0為諧振中心波長;?f為諧振峰的半高全寬(FWHM).通過(13)式計算TE偏振下,傾角為3?諧振腔的Q值如表2所列.

圖3 不同入射波長時諧振腔的能量譜(α=3?)Fig.3.Energy spectra of resonators with Different incident wavelengths(α =3?).

表2 傾角為3?時,TE偏振光下諧振腔的Q值Table2.Q values of asymmetric resonator under TE polarized light at an angle of 3?.

4.2.2 不同角度α下的掃描

對于諧振波長為1550 nm的TE0,80諧振模式,通過改變頂鏡圓錐底角α (α =2?,3?,4?,5?,6?,7?),探究了頂鏡傾角變化對諧振腔Q值的影響.圖4為不同圓錐底角下諧振腔TE0,80模的諧振能量譜.圖5為TE0,80諧振模式的Q值隨圓錐底角α變化的折線圖.

圖4 不同圓錐底角下諧振腔TE0,80模的諧振能量譜Fig.4.Resonance energy spectra of TE0,80mode in Different cavity with Different angle.

圖5 TE0,80諧振模式的Q值隨頂鏡圓錐底角的變化Fig.5.Q value of TE0,80mode changes with the cone bottom angle.

4.2.3 有效模式體積與場分布

有效模式體積是微型諧振腔的重要參數(shù)之一.有效模式體積的定義為

式中ε(r)為介電常數(shù);E(r)為腔內光場的電場分布.

圖6 傾角5?,諧振波長1547.781 nm時,諧振腔內的電場分布(a)和能量密度分布(b);同尺寸下諧振波長1549.763 nm時,平行諧振腔內的電場分布(c)和能量密度分布(d)Fig.6.Electric field distribution(a)and energy density distribution(b)when inclination angle is 5?and resonance wavelength is 1547.781 nm;electric field distribution(c)and energy density distribution(d)for the same size of the parallel resonant when wavelength is 1549.763 nm.

針對角度優(yōu)化的結構,將傾角為5?時新型諧振腔的模式體積與相同尺寸矩形腔的作對比.設諧振腔的厚度為?d0.對于填充各項同性介質的諧振腔,(14)式可以變形為

圖6展示了傾角為5?與同等尺寸平腔時,腔內的電場分布與能量密度分布.

5 討論分析

由圖3可以看出新型諧振腔在短波長處的自由譜域比長波長處的要窄,這主要是由提出的錐頂柱狀微腔為介質諧振腔存在頻譜濃縮[18]導致的.對比表1與圖3中的諧振波長可以發(fā)現(xiàn),通過(11)式計算TE0,80與TM0,80模式處的諧振波長與仿真的諧振波長較為符合分別為1550.2 nm和1547.4 nm.而且可以看出TE0,80與TM0,80的諧振波長并不完全重合,這是由于簡化后的(11)式未考慮橫向邊界對偏振的影響而導致的.由于通過(11)式計算時也未考慮DBR色散的影響,因此計算其他遠離中心波長模式的諧振波長與仿真的諧振波長有略微的偏差,DBR的色散偏差導致邊模諧振波長偏移8 nm左右.

圖5為TE0,80諧振模式的Q值隨圓錐底角α變化的折線圖,由圖5可以看出對于DBR中心波長1550 nm的諧振腔,在傾角α為5?附近TE0,80諧振模式的Q值取得掃描范圍內的最大值.此時線寬為0.031 nm,通過(13)式計算的Q值為49928.5,同尺寸的介質矩形腔的線寬為0.038 nm,Q值為40783.2,由此可以看出Q值提高了22.4%.而且,可以看到當圓錐底角增大到7?時,主要由于DBR的傾角較大造成其反射率下降[19],從而諧振腔的Q值出現(xiàn)了較大的下降.

圖6為傾角5?的新型諧振腔與同等尺寸平腔腔內的電場分布與能量密度分布,對比圖6(b)與圖6(d)可以定性看出圖6(b)的能量分布較為集中.通過(15)式計算可得圖6(b)的模式體積為3.5μm2·?d0,圖6(d)的模式體積為6.7μm2·?d0.也就是說,傾角為5?的新型諧振腔的模式體積與傳統(tǒng)平腔的模式體積減小了47.8%.

高Q值與小模式體積的微腔在單光子發(fā)射方面有著廣泛的應用.另外,在微粒探測以及生物大分子檢測等方面,高Q值微腔同樣發(fā)揮著較大的作用.在以往利用動態(tài)掩膜濕法腐蝕制作一鏡斜置三鏡腔光探測器[20,21]的過程中,曾對不同角度斜面鏡的制作有著較為深入的研究,因此新型錐頂柱狀光學微腔在制備方面有著較好的可行性.

6 結 論

應用波動光學理論,分析了錐頂柱狀光學微腔的本征模式,得到了諧振腔的諧振波長表達式.并應用COMSOL軟件采用有限元的方法,對不同傾角DBR反射鏡構成的諧振腔結構進行了仿真,仿真的諧振波長與求解出的基本符合.另外,對諧振腔的傾角進行了仿真優(yōu)化,優(yōu)化結果顯示在掃描范圍內對于諧振腔的TE0,80模式,當傾角為5?,即腔長為4512.5 nm,直徑為3134.4 nm時,諧振腔的品質因數(shù)最大,達到49928.5.最后,將新型諧振腔在5?傾角時的結構與同等尺寸下平腔進行了對比,結果顯示新型諧振腔的Q值提高了22.4%,同時模式體積減小了47.8%.