例談對數(shù)學(xué)歸納法局限性的認(rèn)識誤區(qū)

朱 榮

（甘肅省康樂一中，甘肅 臨夏州）

數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種重要方法，在各級各類考試中有廣泛應(yīng)用。使用數(shù)學(xué)歸納法證題必須要有兩個(gè)步驟，一是作為歸納的基礎(chǔ)，二是歸納遞推，即對某些與正整數(shù)有關(guān)的命題常采用下面的方法來證明它們的正確性：①當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)，命題成立；②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*且k≥n0）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立，這種方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)命題的基本結(jié)構(gòu)是“兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論”。這種方法粗看起來好像是一種萬能的，只要是與正整數(shù)有關(guān)的命題都能證明，但實(shí)際操作起來并非易事，學(xué)生經(jīng)常犯以下錯(cuò)誤，有的不重視第一步的驗(yàn)證，有的對n的第一個(gè)值不仔細(xì)研究誤認(rèn)為是1；有的只是形式上用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行了照葫蘆畫瓢式的書寫，其實(shí)由于沒有使用歸納假設(shè)或根本不會變形使用歸納假設(shè)，而繞開最關(guān)鍵的步驟，致使形式上好像進(jìn)行了證明，其實(shí)并沒有證明，造成錯(cuò)誤，因此，證明時(shí)①和②這兩個(gè)步驟缺一不可，步驟①是步驟②的基礎(chǔ)，步驟②是遞推的依據(jù)。關(guān)鍵是第二步：怎樣由假設(shè)n=k成立，推證出n=k+1時(shí)，命題成立，以及如何根據(jù)題目條件，再創(chuàng)造條件，巧妙使用歸納假設(shè)是證明的難點(diǎn)。

數(shù)學(xué)歸納法雖然自有其局限性，但學(xué)生往往由于對以上情況的理解不透，把握不準(zhǔn)，功力不夠，使用不當(dāng)，在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)常常感覺數(shù)學(xué)歸納法好像很容易但又常常出錯(cuò)，有時(shí)又覺得對有些與正整數(shù)有關(guān)的題目數(shù)學(xué)歸納法是失效的，而陷入迷茫，甚至感到走入絕境而不知所措的誤區(qū)，致使對數(shù)學(xué)歸納法本身產(chǎn)生懷疑?，F(xiàn)筆者用例題加以說明，供同行參考，愿與同行探究.

一、使用不當(dāng)

例1用數(shù)學(xué)歸納法證明

思考 顯然當(dāng)n=1時(shí)有1＜2，命題成立

當(dāng)n=1時(shí)有1＜2，命題成立

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，有

命題成立，由數(shù)學(xué)歸納法得，原命題成立。

顯然，造成學(xué)生認(rèn)為該題不能用數(shù)學(xué)歸納法的原因是，功力不夠，對數(shù)學(xué)歸納法使用不當(dāng)。

二、設(shè)計(jì)加強(qiáng)命題

例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明

思考 顯然，當(dāng)n=1時(shí)，有1＜2，命題成立

則當(dāng)n=k+1時(shí)

當(dāng)n=1時(shí)，命題顯然成立

則當(dāng)n=k+1時(shí),有