電子的非廣延分布對(duì)復(fù)雜多組分熱等離子體中(1+1)維非線性離子聲孤波的影響

林麥麥，杜海粟，龔 雪

(西北師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

近年來，復(fù)雜等離子體系統(tǒng)中的各種非線性波動(dòng)過程的研究已經(jīng)成為等離子體物理學(xué)的熱門研究課題之一.Sagdeev首次在理論上研究了非線性離子聲孤波的傳播特性[1]；后來，Ikezi等通過雙等離子體裝置觀測(cè)并且證實(shí)了離子聲孤波的存在[2].自此以后，人們對(duì)等離子體中重要的非線性結(jié)構(gòu)——非線性離子聲孤波的研究產(chǎn)生了極大的興趣.目前，人們從理論、實(shí)驗(yàn)和粒子模擬(PIC)等多方面對(duì)復(fù)雜等離子體中的一維離子聲孤波問題展開了較為深入和詳細(xì)的研究[3-11].早期對(duì)復(fù)雜等離子體中非線性離子聲孤波的各種研究課題，大多在理論上假設(shè)電子服從麥克斯韋分布.但實(shí)際上，對(duì)于具有遠(yuǎn)距離相互作用的系統(tǒng)，如等離子體和引力系統(tǒng)，其中可能存在非靜態(tài)平衡，麥克斯韋分布可能不足以描述系統(tǒng).例如，實(shí)驗(yàn)測(cè)得的離子聲波(IAW)的相速度比理論值高出70%左右，這個(gè)假設(shè)是等離子體中粒子數(shù)由麥克斯韋分布來描述的.在測(cè)量IAW的實(shí)驗(yàn)中，電子的能量分布實(shí)際上可能不服從麥克斯韋方程，因此很難確定有效的電子溫度.因此，電子的麥克斯韋分布在處理宏觀平衡系統(tǒng)時(shí)是有效的，卻對(duì)處理有長(zhǎng)程相互作用的復(fù)雜等離子體系統(tǒng)時(shí)會(huì)不太恰當(dāng)[12-13].

為克服以上困難，Tsallis將經(jīng)典統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)中的熵推廣至非廣延空間，并表達(dá)為[14]

其中,pi為第i個(gè)微觀態(tài)出現(xiàn)的概率;kB為玻爾茲曼常數(shù);q為非廣延性質(zhì)的參量.由于微觀態(tài)的兩個(gè)獨(dú)立非廣延系統(tǒng)，它們的熵具有偽疊加的性質(zhì)[14]：

Silva等根據(jù)這個(gè)性質(zhì)給出了非廣延速度分布函數(shù)[14].目前人們已經(jīng)成功利用非廣延統(tǒng)計(jì)理論解釋了諸多天體現(xiàn)象[15-16]，并對(duì)電子呈非廣延分布的等離子體中的孤立波問題進(jìn)行深入研究和討論.

文中主要針對(duì)多組分復(fù)雜熱等離子體中含有非廣延電子分布的(1+1)維離子聲孤波進(jìn)行了理論研究.長(zhǎng)波近似下，利用約化攝動(dòng)法推導(dǎo)得到可用來描述無碰撞、多組分的復(fù)雜熱等離子體中非線性離子聲孤波傳播行為的KdV方程.與此同時(shí)，通過數(shù)值模擬討論了復(fù)雜等離子體中的基本系統(tǒng)參數(shù)以及電子的非廣延分布對(duì)非線性離子聲孤波的傳播振幅、寬度以及孤立波波形的重要影響.

1 原始方程

依據(jù)磁流體力學(xué)理論，含有非廣延電子速度分布的復(fù)雜多組分熱等離子體中的(1+1)維非線性離子聲波的原始方程組經(jīng)過無量綱化過程后，簡(jiǎn)化為如下形式：

其中,

(8)

依照約化攝動(dòng)方法，首先,對(duì)方程(1)-(8)中的自變量x，t作坐標(biāo)伸展變換，即ξ=ε(x-v0t),τ=ε3t，其中ε是表征非線性強(qiáng)度的小參數(shù)，v0為線性波的速度.其次，對(duì)方程中出現(xiàn)的所有因變量，作如下形式的約化攝動(dòng)展開:

將以上展開式代入方程(1)～(7)，按ε的不同次冪展開，在ε的最低階近似下得到

在ε的較高階近似下

在ε的最高階近似下，獲得用來描述(1+1)維非線性離子聲波運(yùn)動(dòng)過程的KdV方程：

(20)

其中

2 數(shù)值模擬結(jié)果與討論分析

為了了解非線性離子聲孤波的傳播特征，圖1給出了等離子體的各種系統(tǒng)參數(shù)色散系數(shù)A隨系統(tǒng)參數(shù)q的變化規(guī)律.從圖1a可以看出，色散系數(shù)A隨著q的增大而增大,這說明非廣延對(duì)KdV方程的色散系數(shù)有影響.與此同時(shí)，色散系數(shù)A隨著q的增大而增大，由于μ=ne0/ni0，這表明平衡態(tài)時(shí)的電子的數(shù)密度增大，正離子數(shù)密度減小使色散系數(shù)A增大.從圖1b-d可以看出，色散系數(shù)A隨著q的增大而增大，且隨v和θn的增大而增大，但是，A隨θi的增大而減小.由于v=ne0/ni0,θn=Tn/Te,θi=Ti/Te，表明平衡態(tài)時(shí)隨著負(fù)離子的數(shù)密度和負(fù)離子的溫度的增大以及平衡態(tài)時(shí)正離子的數(shù)密度和正離子的溫度的減小而使色散系數(shù)A增大，從圖1中分析還可得滿足非廣延的電子分布也直接影響著色散系數(shù)A.所以，等離子體處于平衡狀態(tài)時(shí)的電子與正、負(fù)離子的數(shù)密度以及正、負(fù)離子與電子的溫度對(duì)色散系數(shù)A均存在重要影響.

圖2給出了當(dāng)v,θn,θi給定不同值時(shí)，非線性系數(shù)B隨著系統(tǒng)參數(shù)β的變化規(guī)律.從圖2a可以看出，系數(shù)B隨參數(shù)β的增大先減小再增大，且當(dāng)β=0.6時(shí)，系數(shù)B取得最小值0，當(dāng)β≠0.6時(shí)，系數(shù)B隨著v的增大而減??；從圖2b中可以看出，系數(shù)B隨著參數(shù)β的增大先減小到最小值0再增大，且系數(shù)B在取得最小值前隨參數(shù)θn的增大而減小，在取得最小值后隨θn的增大而增大；在圖2c中，系數(shù)B隨參數(shù)v的增大先減小再增大，且當(dāng)β=0.6時(shí)，系數(shù)B取得最小值0，當(dāng)β≠0.6時(shí)，系數(shù)B隨著υ的增大而減??；由于β=mi/mn,υ=nn0/ni0,θn=Tn/Te,θi=Ti/Te,所以，正、負(fù)離子的質(zhì)量，平衡態(tài)時(shí)正、負(fù)離子和電子的數(shù)密度以及正、負(fù)離子和電子的溫度對(duì)非線性系數(shù)B均有重要影響.

圖1 色散系數(shù)A隨參數(shù)q的變化

圖2 非線性系數(shù)B隨參數(shù)β的變化

為了研究孤立波的傳播特性，取如下孤立波解

(22)

圖3給出了孤波振幅φm隨非廣延的變化規(guī)律以及不同參數(shù)對(duì)孤立波振幅的影響.從圖3a中可以看出φm隨q的增大而減小，當(dāng)q一定時(shí)，φm隨μ的增大而減小，由此說明非廣延、平衡態(tài)時(shí)正離子和電子的數(shù)密度對(duì)孤波的振幅有影響.同理，從圖3b-d中可知，φm隨v,φn的增大而減小，隨θi的增大而增大.所以，非廣延參數(shù)、平衡態(tài)時(shí)正、負(fù)離子和電子的數(shù)密度以及正、負(fù)離子和電子的溫度對(duì)孤立波的振幅都有著重要的影響.綜合圖1和圖3可知，系統(tǒng)參數(shù)以及非廣延對(duì)系數(shù)A和振幅的影響相反，即振幅與色散系數(shù)成反比.

圖3 孤波振幅隨非廣延參數(shù)的變化規(guī)律

圖4給出了孤波寬度隨不同參數(shù)的變化.由圖2和圖4可知，系統(tǒng)參數(shù)對(duì)KdV方程的非線性系數(shù)和孤波寬度的影響相同.由此可知，系統(tǒng)參數(shù)對(duì)孤波的振幅和寬度均有影響.還可以看出，系統(tǒng)參數(shù)對(duì)KdV方程的非線性系數(shù)和孤波寬度的影響相同，即非線性系數(shù)與孤波寬度成正比.

圖5給出了孤立波的波形隨η的變化規(guī)律；從圖5a可以看出，孤立波的最大振幅隨著η的增大而減小，而且在圖5b-c中隨著v,θn的增大而減小，

圖4 孤波寬度隨β的變化規(guī)律

圖5 波隨系統(tǒng)參數(shù)的變化規(guī)律

圖6 孤波隨非廣延參數(shù)的變化規(guī)律

但是在圖5d中，孤波的最大振幅隨著θi的增大而增大.由此可知系統(tǒng)參數(shù)對(duì)孤立波的波形也有著非常重要的影響.圖6表示孤立波的波形隨q的變化規(guī)律.當(dāng)q增大時(shí)，孤立波的最大振幅減小，這說明非廣延參數(shù)的變化對(duì)孤波會(huì)產(chǎn)生影響.

3 結(jié)束語

文中研究了含有非廣延電子分布的復(fù)雜多組分熱等離子體中的(1+1)為非線性離子聲孤波.通過約化攝動(dòng)方法，得到可用來描述孤立波運(yùn)動(dòng)過程的(1+1)維KdV方程，并利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行數(shù)值模擬研究，從理論上分析得到等離子體的不同系統(tǒng)參數(shù)及非廣延電子速度分布對(duì)非線性離子聲孤波傳播振幅、寬度和孤立波波形的重要影響.研究結(jié)果表明，平衡態(tài)時(shí)的正、負(fù)離子和電子的數(shù)密度以及正、負(fù)離子和電子的溫度，電子的非廣延速度分布對(duì)KdV孤立波存在影響.