自旋軌道耦合自旋1旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體中波的傳播

薛具奎，萬(wàn)年勝

(西北師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體(BEC)[1-3]中線性與非線性波研究一直是人們關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題.隨著科技發(fā)展與認(rèn)識(shí)水平的進(jìn)一步提高，標(biāo)量和旋量玻色系統(tǒng)中波的傳播特性得到了詳細(xì)的研究，取得了豐碩的成果[4-8].最近，美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)研究所完成了一項(xiàng)具有里程碑意義的實(shí)驗(yàn)，在87Rb原子的BEC中實(shí)現(xiàn)和觀測(cè)到了自旋軌道耦合現(xiàn)象[9].這一突破性的進(jìn)展又為此領(lǐng)域的研究打開(kāi)了一扇新的大門(mén).

一般來(lái)說(shuō)，沒(méi)有自旋軌道耦合時(shí)，玻色系統(tǒng)表現(xiàn)出各種各樣的磁現(xiàn)象，通過(guò)一個(gè)外部的塞曼場(chǎng)可以調(diào)控系統(tǒng)的磁化，從而觀測(cè)研究系統(tǒng)各類基態(tài).自旋軌道耦合的實(shí)現(xiàn)不僅帶來(lái)了許多可調(diào)的參數(shù)，還因其典型的非線性特性帶來(lái)更多更有趣的奇異基態(tài)，如平面波相[10]、駐波相[11]、三角晶格相[12]以及方格相[13].特別是自旋軌道耦合引起的非線性激發(fā)更是成為了人們研究的焦點(diǎn).許多新奇的拓?fù)湎喔山Y(jié)構(gòu)已經(jīng)成功找到并得到了詳細(xì)的研究.例如，斯格明子[14]、渦旋[15]、狄拉克單極[16]等，尤以孤子形式的非線性激發(fā)受到物理學(xué)家的青睞[17-20].大量的相干結(jié)構(gòu)被發(fā)現(xiàn)，例如暗-亮孤子復(fù)合體[21]、磁疇壁[22]、反渦旋偶極子[23]等.人們首先在兩組份BEC 中研究了自旋軌道耦合對(duì)孤子傳播特性的影響[24]，不久又在不同維度的自旋軌道耦合BEC 中展示了孤子的傳播特性[25].有趣的是，具有自旋軌道耦合的兩組份BEC 因其特有的激發(fā)能譜還存在正負(fù)質(zhì)量孤子.最近的研究又表明，自旋軌道耦合對(duì)自旋1旋量BEC的基態(tài)結(jié)構(gòu)[26]、相分離[27]、元激發(fā)[28]及量子相變[29]等各個(gè)方面都有十分重要的影響.然而關(guān)于該系統(tǒng)中孤立子波的研究由于其復(fù)雜性仍處于探索階段.

自旋軌道耦合效應(yīng)如此豐富的非線性特性對(duì)波傳播的影響必將非常顯著.因此，文中重點(diǎn)討論了具有自旋軌道耦合的自旋1旋量BEC系統(tǒng)中線性與非線性波的傳播特性.由描述該系統(tǒng)的三組份GP方程出發(fā)，首先考慮在弱擾動(dòng)情形下的線性波激發(fā)，解析地得到了平面波解及其存在的條件.其次，以平面波解分析為基礎(chǔ)，研究了強(qiáng)擾動(dòng)情形下的非線性波激發(fā)，即文中的孤子解.

1 模型

考慮自旋軌道耦合自旋1旋量BEC囚禁于準(zhǔn)一維勢(shì)阱中，此時(shí)囚禁勢(shì)沿著y軸和z軸方向的頻率要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于沿著x軸方向的頻率，即ωy,ωz?ωx[27].其次，考慮具有相同強(qiáng)度的Rashba和Dresselhaus型自旋軌道耦合，則系統(tǒng)單粒子哈密頓量可寫(xiě)為[29]

(1)

(2)

在平均場(chǎng)理論下，使用單粒子哈密頓量表達(dá)(1)式，并考慮Hartree 近似，則自旋軌道耦合自旋1旋量BEC 可被如下一組耦合GP方程描述

方程(3)～(5)式可被如下條件進(jìn)行無(wú)量綱化處理:

(8)

得到無(wú)量綱GP方程

值得注意的是，不考慮自旋軌道耦合時(shí)，也就是γ=0時(shí)，方程(9)～(11)在兩種特殊的參數(shù)條件下是可積的，這意味著可以寫(xiě)出其具體形式的解.第一種情況是c2=0，這時(shí)方程(9)～(11)是一組非線性薛定諤方程.第二種情況是c2=c0，此時(shí)方程(9)～(11)是一組可積的矩陣非線性薛定諤方程[4].而根據(jù)不同的參數(shù)關(guān)系，系統(tǒng)可能有亮孤子解、暗孤子解、亮-暗孤子解以及疇壁解[30].

當(dāng)外部囚禁勢(shì)非常弱的時(shí)候，可以將外部勢(shì)V(x)忽略，因此文中僅考慮均勻情況下系統(tǒng)的線性與非線性波解.此時(shí)系統(tǒng)的總能量可寫(xiě)為

基于上述能量函數(shù)的形式，很容易推導(dǎo)出系統(tǒng)各組份之間的相分離.

2 平面波解

下面討論系統(tǒng)在弱擾動(dòng)下的線性激發(fā)，由于三組份GP方程是一組不可積的偏微分方程，它沒(méi)有一個(gè)通解，因此以平面波解作為初始波函數(shù)進(jìn)行分析討論，假定其具有如下形式

其中,kj為波數(shù)；Ωj為頻率；θj為相位；Aj為振幅且取為正實(shí)數(shù).

將波函數(shù)(16)代入方程(9)～(11)，并考慮到波數(shù)、頻率都是實(shí)數(shù)，因此三組份參數(shù)應(yīng)滿足

這里n是任意整數(shù)，表示不同模式的平面波解，其具體的取值主要取決于系統(tǒng)的基態(tài)性質(zhì)，用來(lái)調(diào)控系統(tǒng)處于能量最低的態(tài)上，下文中用n=0和n=1分別代表n取偶數(shù)和奇數(shù).使用上述參數(shù)條件得到

需要注意的是方程(18)應(yīng)該是一致的，由相容性條件出發(fā)得到

(19)

將(19)式代入(18)式簡(jiǎn)化得到系統(tǒng)的色散關(guān)系

(20)

特別需要強(qiáng)調(diào)的是，平面波的頻率是表征系統(tǒng)色散情況的重要物理量之一，充分反映了系統(tǒng)的基態(tài)性質(zhì).這里頻率Ω由原子間相互作用、波數(shù)、自旋軌道耦合、參數(shù)n以及0組份原子數(shù)密度共同決定.有趣的是，不同參數(shù)下系統(tǒng)具有不同的色散行為，可以通過(guò)調(diào)控參數(shù)，研究系統(tǒng)的基態(tài)性質(zhì).圖1-2給出了不同參數(shù)下系統(tǒng)的色散關(guān)系，其中碰撞相互作用c0=2,A0=0.5.圖1a～c展示的是n取偶數(shù)時(shí)頻率Ω隨原子自旋交換相互作用c2的變化趨勢(shì).可以清晰的看到，無(wú)論是在鐵磁還是反鐵磁凝聚體中，不考慮自旋軌道耦合時(shí)，Ω是關(guān)于k對(duì)稱的，并且在k=0處取最小值對(duì)應(yīng)凝聚體的基態(tài).當(dāng)我們進(jìn)一步考慮自旋軌道耦合相互作用時(shí)，Ω取最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的k值發(fā)生了明顯的偏移，并由(20)式可知，此處k=-γ.圖1d～f展示的是n取奇數(shù)時(shí)頻率Ω隨原子自旋交換相互作用c2的變化趨勢(shì).顯然，不考慮自旋軌道耦合時(shí)的情況與n取偶數(shù)時(shí)一致，當(dāng)引入自旋軌道耦合后，此時(shí)Ω在k=γ處取得最小值對(duì)應(yīng)凝聚體的基態(tài).由上述討論得出平面波與n取奇數(shù)或偶數(shù)的關(guān)系，即k>0時(shí)，

圖1 頻率Ω隨原子自旋交換相互作用c2的變化規(guī)律

n取奇數(shù)；k<0時(shí)，n取偶數(shù).

此外，隨著自旋交換相互作用c2的增加，頻率Ω呈現(xiàn)增大的趨勢(shì)，也就是說(shuō)鐵磁凝聚體的基態(tài)能量要高于反鐵磁凝聚體的基態(tài)能量.圖2展示的是頻率隨波數(shù)的變化趨勢(shì).可以清晰的看到，色散關(guān)系表現(xiàn)為拋物型結(jié)構(gòu)，不考慮自旋軌道耦合的情況下在k=0處頻率Ω取得最小值，引入自旋軌道耦合后，n取奇數(shù)時(shí)頻率Ω在k=γ處取得最小值，n取偶數(shù)時(shí)頻率Ω在k=-γ處取得最小值，結(jié)果與圖1分析一致.

綜上所述，自旋軌道耦合顯著地改變系統(tǒng)色散關(guān)系，從而改變凝聚體基態(tài)及平面波的性質(zhì).

圖2 頻率Ω隨波數(shù)k的變化規(guī)律

3 孤子解

首先假定孤子具有如下形式:

將(29)式代入方程(9)～(11)得到

對(duì)于這樣一個(gè)復(fù)雜的三組份偏微分方程而言，要得到它的孤子解是困難的，而對(duì)于單組份的非線性薛定諤方程來(lái)說(shuō)，它的孤子解卻是為人們所熟知的，因此通過(guò)一些運(yùn)算使三組份的偏微分方程簡(jiǎn)化為一個(gè)單組份的非線性薛定諤方程，進(jìn)而得到系統(tǒng)的孤子解.為了達(dá)到這樣的目的，采用上一部分中類似的解法，并使用(19)式，則方程(30)簡(jiǎn)化為

然后利用變換Ψ=φexp(iγx+iγ2x/2)消除方程(31)中的最后一項(xiàng)得到非線性薛定諤方程

至此達(dá)到了將三組份的偏微分方程簡(jiǎn)化為單組份非線性薛定諤方程的目的，對(duì)于這樣一個(gè)熟知的非線性薛定諤方程來(lái)說(shuō)，當(dāng)c0+c2>0時(shí)可得到系統(tǒng)的暗孤子解

圖3 亮孤子隨波數(shù)k的變化規(guī)律

圖4 亮孤子隨自旋交換相互作用c2的變化規(guī)律

4 結(jié)束語(yǔ)

研究了自旋軌道耦合自旋1旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體中線性與非線性波的傳播特性.在平均場(chǎng)理論下，自旋軌道耦合自旋1旋量玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體可被三組份GP方程描述.研究了弱擾動(dòng)下系統(tǒng)激發(fā)的線性波解，獲得了系統(tǒng)的平面波解及其存在條件，并討論了自旋軌道耦合對(duì)系統(tǒng)基態(tài)性質(zhì)的影響，同時(shí)給出了兩種模式的平面波參數(shù)n的取值依據(jù).其次，考慮了強(qiáng)擾動(dòng)下系統(tǒng)激發(fā)的非線性孤子解.由于三組份GP方程是不可積的復(fù)雜偏微分方程，因此將其簡(jiǎn)化為一個(gè)等效的非線性薛定諤方程.通過(guò)這個(gè)非線性薛定諤方程，分析研究了系統(tǒng)的亮孤子解和暗孤子解，并給出了各參數(shù)對(duì)孤子振幅和寬度的影響趨勢(shì)，發(fā)現(xiàn)隨著原子間相互作用或波數(shù)的增加，孤子的振幅呈現(xiàn)增大的趨勢(shì)，而孤子的寬度呈現(xiàn)變窄的趨勢(shì).