基于數(shù)學(xué)“問題引領(lǐng)”下的教學(xué)設(shè)計
——以 “函數(shù)的單調(diào)性”新授課為例

□朱善聰

2016年以來，教育界言必 “核心素養(yǎng)”。如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，成為當(dāng)前高中數(shù)學(xué)課堂改革的一個焦點。章建躍博士在 《樹立課程意識，落實核心素養(yǎng)》一文中提出：數(shù)學(xué)育人要用數(shù)學(xué)的方式，把數(shù)學(xué)教好是落實核心素養(yǎng)的前提，在課堂教學(xué)中要示以學(xué)生思維之道，讓學(xué)生能運用數(shù)學(xué)的思維和語言進行閱讀、運算、推理和表達(dá)，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的獲得對象——研究性質(zhì)——應(yīng)用拓展的過程。[1]由此可見，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)必須要落實在課堂教學(xué)中，而關(guān)鍵在于提升教師核心素養(yǎng)引領(lǐng)下的教學(xué)設(shè)計水平。

思考是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本方式，學(xué)生能否在學(xué)的過程中突顯主體性與問題的設(shè)計緊密相關(guān)，“思維”是需要問題來引領(lǐng)的。教師對數(shù)學(xué)對象的理解把握，通過自己的方式轉(zhuǎn)化為一個個問題，通過問題設(shè)計與學(xué)生形成交流，這是一堂數(shù)學(xué)課的價值所在。下文以 “函數(shù)的單調(diào)性”新授課為例，分享筆者的實踐與經(jīng)驗。

一、教學(xué)內(nèi)容解析

函數(shù)的單調(diào)性是研究隨自變量的不斷增大，它的函數(shù)值是增大還是減小的性質(zhì)。這是學(xué)生繼了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)函數(shù)的第一個性質(zhì)，對后續(xù)研究具體的初等基本函數(shù)如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等單調(diào)性起著引領(lǐng)作用，具有典型意義，體現(xiàn)了對函數(shù)研究的普遍的方法。教材中函數(shù)單調(diào)性概念的形成歷經(jīng)了“形”到 “數(shù)”，“特殊”到 “一般”，“直觀”到“抽象”的認(rèn)知過程，先是由初中學(xué)過的一次、二次、反比例函數(shù)，直觀感知函數(shù)的特征，接著結(jié)合二次函數(shù)圖象的觀察、分析、歸納，發(fā)現(xiàn)增、減變化的數(shù)字特征，進一步定量精確描述上述特征，這樣學(xué)生就實現(xiàn)了圖形語言、自然語言到符號語言的三種語言的轉(zhuǎn)換學(xué)習(xí)。在這個過程中，借助圖象或結(jié)合圖象進行思考推理，體現(xiàn)了 “數(shù)形結(jié)合”的思想方法，因而本節(jié)課在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有核心地位。

教學(xué)重點：引導(dǎo)對函數(shù)增、減性進行抽象的符號描述，函數(shù)單調(diào)性形式化定義的形成。

教學(xué)難點：形成增 （減）函數(shù)概念的過程中，用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性。

二、學(xué)生學(xué)情分析

通過初中學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，初步認(rèn)識到函數(shù)是一個刻畫某些運動變化關(guān)系的數(shù)學(xué)概念，進入高中后，又進一步學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，認(rèn)識到函數(shù)是兩個數(shù)集之間的一種對應(yīng)。學(xué)生還知道函數(shù)有三種表示方法，具備了可以借助圖象直觀得出函數(shù)部分性質(zhì)的能力，尤其是有了利用函數(shù)圖象進行兩個數(shù)的大小比較的經(jīng)驗。從知識層面看，學(xué)生已對函數(shù)的單調(diào)性有了初步的直觀感知與定性描述。但學(xué)生缺少對用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言刻畫函數(shù)圖象的上升與下降，實現(xiàn)從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變，從形到數(shù)的翻譯，這是他們認(rèn)知上的一個困難點。因此，函數(shù)的單調(diào)性概念學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于如何將圖形直觀中的上升、下降改用數(shù)學(xué)中的比較大小來表達(dá)。

三、教學(xué)目標(biāo)解析

基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)分解如下：

1.通過觀察一次、二次、反比例函數(shù)圖象，形成增 （減）函數(shù)的直觀認(rèn)識，再借助二次函數(shù)圖象及函數(shù)值大小比較，認(rèn)識函數(shù)值隨自變量的增大而增大 （減?。┑囊?guī)律，因此形成函數(shù)增減性的定義。

2.能夠舉例說明函數(shù)在定義域的某個區(qū)間上具有單調(diào)性，而在整個定義域上不一定具有單調(diào)性，認(rèn)識到函數(shù)單調(diào)性是個局部概念。

3.能借助函數(shù)圖象的直觀性得出一些簡單函數(shù)的單調(diào)性，能夠用定義證明一些函數(shù)的單調(diào)性，熟悉證明的基本思路和步驟。

四、教學(xué)策略分析

教師的教學(xué)應(yīng)從目標(biāo)出發(fā)設(shè)計 “核心問題”，核心問題應(yīng)能引起學(xué)生的 “認(rèn)知沖突”。為了自然生成單調(diào)性概念，克服形式化定義給學(xué)生帶來的理解上的不到位，教學(xué)中教師應(yīng)以問題為導(dǎo)向，圍繞核心內(nèi)容進行問題深度設(shè)計，以三、四層次的問題，層層逼近數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)，引起學(xué)生共鳴，提升思維質(zhì)量。

五、教學(xué)過程設(shè)計分析

本課的設(shè)計分為以下6個環(huán)節(jié)：觀察圖象，引入新課——合作探究、形成概念——動手實踐、建構(gòu)概念——初步應(yīng)用、鞏固概念——總結(jié)反思、精準(zhǔn)概括——目標(biāo)測評、獲得經(jīng)驗。圍繞核心問題組成 “問題串”，強調(diào) “問題引領(lǐng)”學(xué)生學(xué)習(xí)，拉長學(xué)生的思考過程及改變學(xué)生學(xué)習(xí)方式中的重要作用。

1.觀察圖象，引入新課。

接著讓學(xué)生自己完成課本例題1。

（學(xué)生都可以從圖象上直觀得到結(jié)論）

【設(shè)計意圖】

讓學(xué)生直觀感知函數(shù)圖象，通過學(xué)生的觀察，發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象的 “上升” “下降”的特征。

在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上教師可直接給出增 （減）函數(shù)的一個 （圖形語言）定義：設(shè)函數(shù)的定義域為 I，區(qū)間D?I。在區(qū)間D上，若函數(shù)的圖象 （從左至右）看總是上升的，則稱函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)，區(qū)間D稱為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；在區(qū)間D上，若函數(shù)的圖象 （從左自右看）總是下降的，則稱函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間D稱為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，從課堂提問到新概念的形成與確立，新知識的鞏固與應(yīng)用，學(xué)生思維方法的訓(xùn)練與提高，以及實際應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力的增強，均從 “問題”開始。所謂 “問題串”，就是由一連串具有邏輯聯(lián)系的問題構(gòu)成的問題系列。

2.合作探究，形成概念。

問題2：當(dāng)一個函數(shù)在某一個區(qū)間上是單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）的時候，相應(yīng)的自變量的值與對應(yīng)的函數(shù)值的變化規(guī)律是怎樣的呢？也就是如何從數(shù)量關(guān)系來刻畫函數(shù)的這種性質(zhì)。

【設(shè)計意圖】

從圖象直觀到定性描述，是本節(jié)課的任務(wù)驅(qū)動，也是承上啟下的關(guān)鍵一步。教師引導(dǎo)學(xué)生合作交流，自主探究獲得增函數(shù)、減函數(shù)的描述性定義 （自然語言）：若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上隨的增大而增大，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)；若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上隨的增大而減小，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)。

3.動手實踐，建構(gòu)概念。

問題3：我們?nèi)绾斡么鷶?shù)方法證明函數(shù)y=x2在區(qū)間 [0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)？

【設(shè)計意圖】

問題設(shè)計引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，有同學(xué)提出來用兩個特殊值來檢驗，有同學(xué)因為表格中的數(shù)據(jù)直觀地顯示出隨x的增大y越來越大，可能把區(qū)間 [0，+∞）上 “所有的”實數(shù)都一一列舉驗證，有的則考慮用字母符號表述。

問題4：如果對于區(qū)間 （a，b）上任意x有f（x）＞f（a），則函數(shù) f（x） 在區(qū)間 （a，b） 上單調(diào)遞增。這個說法對嗎？請舉例或者畫圖說明。

問題5：設(shè)函數(shù)在區(qū)間 （a，b）上，有無數(shù)個自變量，使得當(dāng)時 a＜x1＜x2＜…＜b，有 f （a） ＜f （x1）＜f （x2） ＜…＜f （b），可不可以說它在 （a，b） 上單調(diào)遞增？請舉例或者畫圖說明。

【設(shè)計意圖】

“許多個”不能代表 “全部”，逐漸引出定量定義，讓學(xué)生獲得必須是兩個變化的量的比較。

問題6：在函數(shù)f（x）=x2，x∈ [0，+∞）的圖象上任意取兩點，自變量大的函數(shù)值也一定大，能否說明函數(shù)f（x）=x2在 [0，+∞）上單調(diào)遞增？

【設(shè)計意圖】

在前兩個問題的分析之后回到提出一個具體函數(shù)f（x）=x2，x∈ [0，+∞），比較它們的函數(shù)值，進而提出 “怎樣用符號來表示”的問題。在區(qū)間 [0，+∞），f（x）隨x的增大而增大的符號化：對任意的兩個自變量 x1，x2∈ [0，+∞），當(dāng) x1＜x2時，都有 f （x1）＜f（x2）。通過函數(shù)y=x2圖象的直接觀察，產(chǎn)生了增、減函數(shù)的生活語言的描述性定義。

問題7：若對于一般的函數(shù)f（x）在定義域I內(nèi)某個區(qū)間D如圖所示 （1）或 （2），你能用符號語言表示函數(shù)f（x）的變化趨勢嗎？

【設(shè)計意圖】

讓學(xué)生由特殊到一般，通過類比，嘗試抽象概括函數(shù)的單調(diào)性的形式化定義。

一般地，如果函數(shù)y=f（x）對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1、x2，當(dāng)時x1＜x2，都有 f （x1）＜f （x2），那么就說函數(shù) f （x）在區(qū)間 D 上是增函數(shù)。

如果函數(shù)y=f（x）對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)D間內(nèi)的任意兩個自變量x1、x2，當(dāng)x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2），那么就說f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)。

如果函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D具有 （嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫作函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間。

【設(shè)計意圖】

為什么要用任意兩點的變化來刻畫函數(shù)增減性這種變化特征，這是本節(jié)課的難點所在。我們通過問題導(dǎo)向，設(shè)計 “問題串”不斷啟發(fā)學(xué)生思考；在問題引領(lǐng)下不斷拉長學(xué)生的思考過程，從而深刻理解單調(diào)性概念形式化的本質(zhì)。當(dāng)然，企圖在一節(jié)課中完成學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的真正理解是不現(xiàn)實的。在概念教學(xué)中，要從感性認(rèn)識開始，使學(xué)生對概念表象，再上升到理性認(rèn)識。這就要求教師不僅要把數(shù)學(xué)原理講細(xì)講透，還必須精準(zhǔn)設(shè)計問題，使學(xué)生加深對數(shù)學(xué)原理的理解，拓展學(xué)生的思維。[2]

4.初步應(yīng)用，鞏固概念

問題8：你能判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并運用定義證明你的結(jié)論嗎？

【設(shè)計意圖】

問題8先從 “形”上去判斷單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性，再從 “數(shù)”的角度去證明；問題9運用概念解題，強化函數(shù)的單調(diào)性的形式化定義。提供反面例證，辨析概念，鞏固理解。

5.總結(jié)反思，精準(zhǔn)概括。

問題10：學(xué)習(xí)了 “函數(shù)的單調(diào)性”，如果一個函數(shù)是單調(diào)遞減的，那么這個函數(shù)有什么特征？能從“數(shù)”和 “形”兩個角度說一說嗎？

【設(shè)計意圖】

總結(jié)研究問題的過程，從直觀圖形、定性刻畫到定量刻畫，最后轉(zhuǎn)化為用不等式的方式通過 “大小比較”的方法刻畫了函數(shù)的變化特征，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“精準(zhǔn)”本質(zhì)。[3]

6.目標(biāo)測評，獲得經(jīng)驗。

（1）畫出下列函數(shù)的圖象，并指出單調(diào)區(qū)間：

【設(shè)計意圖】

新授課的測評，目的在于讓學(xué)生在運用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的過程中，體驗代數(shù)論證的邏輯思維。對于高一的學(xué)生來說，在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的。通過問題 （1）進一步強化函數(shù)單調(diào)性的形式化定義；通過問題 （2）可以引起認(rèn)知沖突，可以看作是 （1）的變式訓(xùn)練；通過問題 （3）提高學(xué)生的代數(shù)邏輯推理能力。測評既是對習(xí)得知識能力的反饋回應(yīng)，也為教師進行下一個教學(xué)設(shè)計提供了方向。因此，教師在 “問題串”的設(shè)計上應(yīng)體現(xiàn)梯度性和過渡性，備課時要在精細(xì)化上下功夫，使學(xué)生在“問題串”的引導(dǎo)下，通過自身積極主動的探索，實現(xiàn)由未知向已知的轉(zhuǎn)變。在本質(zhì)上就是促使學(xué)生自己提出問題并想方設(shè)法解決問題，提高他們分析問題和解決問題的能力。

六、教學(xué)反思

德國教育家第斯多惠給了我們一個忠告：“一名壞的教師奉送真理，一名好的教師教人發(fā)現(xiàn)真理?！?“以生為本”是新課程改革的核心理念，更是課堂教學(xué)的出發(fā)點和歸宿點。由于數(shù)學(xué)思維就是解決數(shù)學(xué)問題的心智活動，所以數(shù)學(xué)思維是由問題引起的，總是指向問題的變換，總是表現(xiàn)為不斷地提出問題、分析問題和解決問題。上述教學(xué)過程設(shè)計，讓學(xué)生歷經(jīng)從圖形語言、文字語言向符號語言轉(zhuǎn)換的過程，讓學(xué)生體會從具體到抽象、從特殊到一般、從定性到定量的數(shù)學(xué)思想方法，以問題為導(dǎo)向啟發(fā)學(xué)生獨立思考，引領(lǐng)學(xué)生合作交流，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

正如南京大學(xué)鄭毓信教授所說，確實應(yīng)當(dāng)將 “善于提問”看成數(shù)學(xué)教師最重要的一項能力，即如何能由具體教學(xué)內(nèi)容提煉出相應(yīng)的 “本源性問題”，又如何能夠通過進一步的加工很好地發(fā)揮 “問題”的 “驅(qū)動作用”。[4]綜上所述，“問題引領(lǐng)”下的課堂教學(xué)設(shè)計是數(shù)學(xué)教學(xué)實現(xiàn)學(xué)生與教師 “雙中心”的一個有效手段。