注重寬度輕于深度基礎(chǔ)常規(guī)考查本質(zhì)

【摘要】2018年高考數(shù)學(xué)北京理科卷和文科卷都有“注重寬度、輕于深度、基礎(chǔ)常規(guī)、考查本質(zhì)”的鮮明特色.文章給出了部分試題的別解和建議，及若干高考復(fù)習(xí)備考建議.

【關(guān)鍵詞】2018年；高考；數(shù)學(xué)；北京卷；寬度；基礎(chǔ)；本質(zhì)；備考

1試卷的最大特色是“注重寬度、輕于深度”

2018年的全國普通高考已落下帷幕，筆者在第一時間認真鉆研了2018年高考數(shù)學(xué)北京理科卷和文科卷，發(fā)現(xiàn)它們的最大特色是“注重寬度、輕于深度”.

1.1為2020年的高考數(shù)學(xué)文理合卷平穩(wěn)過渡

文科第1-3、8題與理科對應(yīng)的題（題號也相同）均是同一道題，文科第5題與理科第4題、文科第6題與理科第5題也完全相同，文科第13題與理科第12題相同（分值是35），占總題數(shù)20的35.0%（占總分數(shù)150的23.3%）.

文科第17題與理科第17題（題干一致，概率統(tǒng)計），文科第4題與理科第6題（充分、必要條件），文科第11題與理科第13題（邏輯，舉反例），文科第19題與理科第18題（導(dǎo)數(shù)）均是相似度很大的姊妹題（分值是文科36，理科35），占總題數(shù)20的20.0%（約占總分數(shù)的24.0%）.

除理科第20題外，其余的文科試題與理科試題差異也均不大.因為到2020年全國各?。ㄊ?、自治區(qū)）的高考數(shù)學(xué)試卷都會文理合卷，所以2018，2019這兩年的高考數(shù)學(xué)北京卷會起到平穩(wěn)過渡的作用.

1.2注重寬度

文科、理科第2題在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)11-i的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

文科第10題已知直線l過點（1，0）且垂直于x軸.若l被拋物線y2=4ax截得的線段長為4，則拋物線的焦點坐標為.

第一道題考查了復(fù)數(shù)的運算（主要是除法）、共軛復(fù)數(shù)的概念及在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點，第二道題考查了特殊直線的方程、解方程組、特殊的兩點間距離公式、拋物線的方程及焦點坐標.它們分別是選擇題、填空題第2題，交匯的知識卻不少.這說明試題有“注重寬度、輕于深度”的特點.

理科第11題設(shè)函數(shù)fx=cosωx-π6ω>0.若fx≤fπ4對任意的實數(shù)x都成立，則ω的最小值為[CD#3].

解答本題的難點及切入點都是得出“題設(shè)即x=π4是fx的一個最大值點”——理解概念尤其重要.

1.3頻繁考查邏輯

文科、理科第8題設(shè)集合A={（x，y）|x-y≥1，ax+y>4，x-ay≤2}，則（）.

A.對任意實數(shù)a，2，1∈AB.對任意實數(shù)a，2，1A

C.當且僅當a<0時，2，1AD.當且僅當a≤32時，2，1A

解法1D.由題設(shè)，可得

2，1∈A2-1≥12a+1>42-a≤2a>32

即當且僅當a>32時，2，1∈A；當且僅當a≤32時，2，1A.

所以選項A，B，C均錯誤，選項D正確.

解法2D.當a=0或a→-

SymboleB@ 時，2，1A，由此可排除選項A，C.當a=0或a→+

SymboleB@ 時，2，1∈A，由此可排除選項B.所以選D.

文科第11題能說明“若a>b，則1a<1b”為假命題的一組a，b的值依次為

.

解1，0等等（答案不唯一）.由函數(shù)y=1x在（-

SymboleB@ ，0），（0，+

SymboleB@ ）上均是減函數(shù)，可得所有答案是：不滿足a>b>0或者是不滿足0>a>b的實數(shù)a，b，也即滿足a=0>b或a>b=0或a>0>b的實數(shù)a，b.

理科第13題能說明“若fx>f0對任意的x∈0，2都成立，則fx在0，2上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是.

解f（x）=sinx，f（x）=sin45x，f（x）=-cos2x，f（x）=0，x=03-x，0

（1）當x∈[0，2]時，f（x）min=f（0）且x=0是唯一的最小值點；

（2）fx在0，2上不是增函數(shù).

注文科、理科第8題考查“常用邏輯用語（命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件、簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞）及集合、線性規(guī)劃知識”，題目重在寬度、輕于深度，是符合時代特征的一道好題.

文科第11題及理科第13題，還包括理科第16題第（3）問“證明：直線FG與平面BCD相交”，也都是考查邏輯知識，當然還考查了函數(shù)的單調(diào)性.

解答此類題目（舉反例）的前提是透徹理解題意.

1.4考查數(shù)學(xué)文化

理科第4題即文科第5題是一道很好的數(shù)學(xué)文化高考題：難度不大但考查了考生的閱讀理解能力（數(shù)學(xué)建模）及等比數(shù)列的通項公式，且體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在音樂中的應(yīng)用價值，還宣傳、弘揚了中國古代取得的科學(xué)成就，國人當自豪且受到了極大的鞭策：吾輩當自強！

2對部分試題的別解

理科第7題在平面直角坐標系中，記d為點Pcosθ，sinθ到直線x-my-2=0的距離.當θ，m變化時，d的最大值為（）.

A.1B.2C.3D.4

圖1

解C.如圖1所示，當θ變化時，點Pcosθ，sinθ的軌跡是圓x2+y2=1；當m變化時，動直線x-my-2=0可表示坐標平面xOy上過定點A（2，0）且不是x軸的任一直線.

作OH⊥直線x-my-2=0于H，可得OH≤OA=2，得點O到直線x-my-2=0的距離OHmax=2，因而單位圓上的動點Pcosθ，sinθ到直線x-my-2=0的距離d的最大值為BA=3.

理科第14題已知橢圓M：x2a2+y2b2=1（a>b>0），雙曲線N：x2m2-y2n2=1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為[CD#3]；雙曲線N的離心率為.

解3-1，2.可不妨設(shè)m>0，n>0.如圖2所示，設(shè)橢圓M的左、右焦點分別是D，A；設(shè)雙曲線N的兩條漸近線y=nmx，y=-nmx與橢圓M的四個交點分別是B，C，E，F(xiàn).得正六邊形ABCDEF，∠AOB=60°，OA=OB.

可得nm=tan60°=3，所以雙曲線N的離心率為m2+n2m2=1+nm2=2.

如圖2所示，可不妨設(shè)OA=OB=2，進而可得點B（1，3）在橢圓M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上，所以12a2+（3）2b2=1，a2=b2+22，因而1b2+4+3b2=1，b2=23，

a2=b2+22=23+4=（3+1）2，a=3+1.

因此，橢圓M的離心率為2a=23+1=3-1.

下面再給出橢圓M的離心率的一種簡潔求法：

圖2

如圖2所示，連結(jié)BD.在正六邊形ABCDEF中，可不妨設(shè)OA=OB=BA=OD=1.在△OBD中，由余弦定理，可求得BD=3.

所以2a=BD+BA=3+1，因而橢圓M的離心率為2·12a=23+1=3-1.

文科第16題已知函數(shù)f（x）=sin2x+3sinxcosx.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）若f（x）在區(qū)間-π3，m上的最大值為32，求m的最小值.

解可得

f（x）=1-cos2x2+32sin2x=32sin2x-12cos2x+12=sin2x-π6+12.

（1）所以f（x）的最小正周期為T=2π2=π.

（2）由x∈-π3，m，可得2x-π6∈-5π6，2m-π6.

題設(shè)“f（x）在區(qū)間-π3，m上的最大值為32”即“函數(shù)y=sint-5π6≤t≤2m-π6的最大值為1”，也即

2m-π6=π2+2kπ（k∈[WTHZ]Z[WTBX]）且m>-π3，

m=π3+kπ（k∈[WTHZ]N[WTBX]），

所以所求m的最小值是π3.

注筆者認為，官方（北京教育考試院）給出的第（2）問的參考答案不嚴謹：

……

要使得f（x）在-π3，m上的最大值為32，即sin2x-π6在-π3，m上的最大值為1，

所以2m-π6≥π2，即m≥π3.

所以m的最小值為π3.

因為得到的“2m-π6≥π2”即“m≥π3”只是“f（x）在[-π3，m]

上的最大值為32”的一個必要條件，所以還須驗證“當m=π3時，

f（x）在[-π3，m]上的最大值為32”.

理科第18題設(shè)函數(shù)fx=ax2-4a+1x+4a+3ex.

（1）若曲線y=fx在點1，f1處的切線與x軸平行，求a；

（2）若fx在x=2處取得極小值，求a的取值范圍.

解可得f′x=ax2-2a+1x+2ex=ax-1x-2ex.

（1）由題設(shè)，可得f′1=1-ae=0，a=1.

當a=1時，可得f1=3e≠0，說明切點1，f1不在x軸上，滿足題設(shè)“曲線y=fx在點1，f1處的切線與x軸平行”，所以所求a的值是1.

（2）若a>12，則當x∈12，2時，f′x<0；當x∈2，+

SymboleB@ 時，f′x>0.所以fx在x=2處取得極小值.

若a≤12，則當x∈0，2時，x–2<0，ax-1≤12x–1<0，所以f′x>0.得x=2不是fx的極小值點.

綜上所述，可得所求a的取值范圍是（12，+

SymboleB@ ）.

注本題第（1）問考查考生的嚴謹細致以及對概念“平行”的理解.

我們要注意“直線平行于x軸”與“直線垂直于y軸”的含義并不相同：前者不含x軸，而后者包含x軸.但這一點，并未引起重視.我們來看下面一道高考題及其解法：

（2012年高考福建卷理科第20題）已知函數(shù)f（x）=ex+ax2-ex，a∈[WTHZ]R[WTBX].

（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）略.

第（1）問的參考答案：可得f′（x）=ex+2ax-e.由題設(shè)得f′（1）=2a=0，a=0，所以f′（x）=ex-e.

得f′（x）>0x>1，f′（x）<0x<1，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1）.

對參考答案的分析（1）f′（1）=0即a=0只是“切線平行于x軸”的必要條件，并不是充要條件，所以還須檢驗.而當a=0時，可得曲線y=f（x）在點（1，f（1））即（1，0）處的切線就是x軸，并不滿足“平行于x軸”，所以所求的a不存在，即本題是一道錯題（見文獻[1]第164-166頁）.

建議把題中的“平行于x軸”改為“垂直于y軸”（改動后原參考答案無誤）.

（2）解答本題第（2）問時，可能考生由題設(shè)“fx在x=2處取得極小值”首先想到的是由其必要條件“f′（2）=0”求出參數(shù)a的值，再由“導(dǎo)數(shù)值左負右正”對所求a的值給予驗證.難道是如此簡單？殊不知，f′（2）=0是恒成立的！以上解法是“先充分后必要”，當然也可對參數(shù)a進行分類討論來求解.

實際上，這種類型的高考題可見：

（2016年高考山東卷文科第20題）設(shè)fx=xlnx-ax2+2a-1x，a∈[WTHZ]R[WTBX].

（1）令gx=f′x，求gx的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知fx在x=1處取得極大值，求實數(shù)a的取值范圍.

理科第19題已知拋物線C：y2=2px經(jīng)過點P1，2.過點Q0，1的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A、B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.

（1）求直線l的斜率的取值范圍；

（2）設(shè)O為原點，OM=λQO，QN=μQO，求證1λ+1μ為定值.

解（1）……可求得拋物線C的方程為y2=4x，可設(shè)直線l的方程為y=kx+1k≠0.

由y2=4x，y=kx+1，可得y=k·y24+1，即ky2-4y+4=0（k≠0）.

由Δ=（-4）2-4×k×4>0，解得k<0或0

又因為直線PA，PB均與y軸相交，所以直線l不過點1，-2，從而k≠-3.

所以直線l斜率的取值范圍是-

SymboleB@ ，-3∪-3，0∪0，1.

（2）設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2.

由（1）的解答，可得y1+y2=y1y2=4k.

可得直線PA的方程為y-2=y1-2x1-1（x-1）.令x=0后，可得點M的縱坐標為yM=-y1+2x1-1+2=2-y1y124-1+2=2-4y1+2.

同理，可求得點N的縱坐標為yN=2-4y2+2.

由QM=λQO，QN=μQO，可得λ=1-yM=2-y12+y1，μ=1-yN=2-y22+y2.

所以

1λ+1μ=2+y12-y1+2+y22-y2=8-2y1y24-2（y1+y2）+y1y2=8-2y1y24-2y1y2+y1y2=2.

得1λ+1μ為定值.

注（1）解答本題第（1）問時，務(wù)必仔細認真，要注意“因為直線PA，PB均與y軸相交，所以直線l不過點1，-2，從而k≠-3”.求取值范圍的問題，所求得的范圍不能多也不能少，這就要把題目中的條件（包括隱含條件）用干凈用徹底，有時還需要檢驗.

（2）解答本題第（2）問時，以上解法好：（?。┯袝r用y的一元二次方程來求解，很簡潔；（ⅱ）在解決直線與圓錐曲線相交的問題時，通常是把點的坐標代入直線方程比如y=kx+m中，由點的橫坐標就可以表示出該點的縱坐標，但在解決直線與拋物線相交的問題時，有時把點的坐標不代入直線方程而代入拋物線的方程比如y2=2px，得到x=y22p，因為是一個單項式y(tǒng)22p，往往可以減少運算量，詳見文獻[2].

文科第20題已知橢圓M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為63，焦距為22.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個不同的交點A，B.

（1）求橢圓M的方程；

（2）若k=1，求AB的最大值；

（3）設(shè)P-2，0，直線PA與橢圓M的另一個交點為C，直線PB與橢圓M的另一個交點為D.若C，D和點Q-74，14共線，求k.

注（1）本題第（2）問的一般結(jié)論是“定橢圓的平行弦中的最長者過該橢圓的中心”（見文獻[1]第135-136頁）.

（2）在解答第（3）問中，求點C的坐標時，可用韋達定理中的兩根之和來求解.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）.若用兩根之積的話得到的等式是x1x3=-7x12-12x14x1+7，接下來需對

x1的值是否為0進行討論.

解答第（3）問的方法與下面這道高考題第（2）問的解法實質(zhì)相同：

（2009年高考遼寧卷理科第20題即文科第22題）已知橢圓C經(jīng)過點A1，32，兩個焦點為（-1，0），（1，0）.

（1）求橢圓C的方程；

（2）E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值.

另外，用下面的定理1可簡解理科第17（3）題（它與2017年高考浙江卷第8題如出一轍），用下面的定理2可簡解理科第20題.

定理1二項分布ξ～B（1，p）就是兩點分布，且E（ξ）=p，D（ξ）=p（1-p）；當p∈0，12時，E（ξ），D（ξ）的值均隨p的增加而增加.

定理212[a+b-a-b]=mina，b（a，b∈[WTHZ]R[WTBX]）.

3幾條建議

（1）建議把文科、理科第8題中的“A=x，yx-y≥1，ax+y>4，x-ay≤2”改為“A=x，yx-y≥1ax+y>4x-ay≤2”.

（2）建議把文科第17題及理科第17題中的兩處“電影公司”均改為“某電影公司”；把理科第17題中的“第一類、第二類、第三類、第四類、第五類、第六類”分別改為“第1類、第2類、第3類、第4類、第5類、第6類”，否則第（3）問中的“第k類電影沒有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）”與題設(shè)不符.

4高考復(fù)習(xí)備考建議

關(guān)于高三復(fù)習(xí)備考，筆者在文獻中已闡述了一些有益的建議；關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)，筆者在其他文獻中也作了較為詳盡的論述.讀者研讀它們后（特別是筆者近期發(fā)表的文獻[3]），可能會有所裨益.下面再強調(diào)四點：

（1）高一、高二的新課教學(xué)務(wù)必扎實認真，否則造成的失誤在高三復(fù)習(xí)中無法彌補.比如解答文科第7題所涉及的三角函數(shù)線、解答理科第16（3）題所涉及的線面位置關(guān)系，這些在高三復(fù)習(xí)時往往很少涉及.

（2）培養(yǎng)學(xué)生嚴謹細致的答題習(xí)慣，比如考生解答文科第14題第二空、第16題、第18題及理科第18（1）題及第19（1）題時，極易造成扣分現(xiàn)象.

規(guī)范表達不僅僅是態(tài)度，更多的是能力和實力，老師在教學(xué)中要有針對性的培養(yǎng)和訓(xùn)練.

（3）要把培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)貫穿教學(xué)的始終，包括重視閱讀、實踐操作，講解新知識（理解概念、證明定理、推導(dǎo)公式）時要注意知識的發(fā)生發(fā)展過程，切不可輕過程重結(jié)果再用大量的刷題來彌補教學(xué)的嚴重缺失.

（4）盡可能地培養(yǎng)學(xué)生較寬知識面（包括了解科技前沿），深度可以降低一些.因為這是未來（特別是近幾年）高考命題的趨勢.

參考文獻

[1]甘志國.數(shù)學(xué)高考參考[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2016.

[2]甘志國.平面解析幾何[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2014：122-125.

[3]甘志國.從解題教學(xué)談高效課堂[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊（下旬），2018（1）：6-12.