球心位置在哪？

陳啟南

球問題是立體幾何的重要知識和常見考點(diǎn)，與球相關(guān)的計算問題在高考和各類模擬題中屢見不鮮，尤其是以三棱錐作為背景設(shè)置外接球問題較多，三棱錐外接球問題靈活多變，確定球心的位置是解決此類問題的切入點(diǎn)，也是解題的難點(diǎn)，本文從三個視角探究三棱錐外接球問題的求解方法，以供參考.

視角一底面外心沿垂線方向確定球心位置

由外接球性質(zhì)，球心到各頂點(diǎn)距離相等，三棱錐外接球的球心在底面投影即為底面三角形的外心，由此可知，球心位置可在底面三角形的外心沿垂線方向來確定.

類型1底面特殊三角形外心沿垂線方向確定球心位置

例1正四面體P-ABC邊長為a，求其外接球的表面積為.

解析如圖1，正四面體PA=PB=PC，點(diǎn)P在底面等邊△ABC投影為△ABC的重心，設(shè)球心為O，球半徑為R，球心O在垂線PG上，在Rt△PGA中，易得AG=33a，PG=63a，在Rt△OGA中，AG2+OG2=OA2，即33a2+63a-R2=R2，解得R=64a，所以球的表面積為S=4πR2=32πa2.

例2三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AB=23，AC=4，∠BAC=30°，求該三棱錐外接球的表面積為.

解析如圖2，因?yàn)锳B=23，AC=4，∠BAC=30°，所以△ABC是直角三角形，其外心為斜邊AC中點(diǎn)D點(diǎn)，即DA=DB=DC，因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC，PA=PC，所以PD⊥平面ABC，易得PD=22，球心在PD上.設(shè)球心為O，球半徑為R，因?yàn)镺A=OP=OB=OC，所以在Rt△ODA中，AD2+OD2=OA2，即22+（22-R）2=R2，解得R=322，球的表面積為S=4πR2=18π.

拓展練習(xí)三棱錐O-ABC底面ABC的頂點(diǎn)在半徑為4的球O表面上，AB=6，BC=23，AC=43，則三棱錐O-ABC的體積為.

解析因?yàn)榈酌鍭BC的頂點(diǎn)在球O表面上，所以O(shè)A=OB=OC，所以點(diǎn)O在底面ABC射影為△ABC的外心，因?yàn)锳B2+BC2=AC2，所以△ABC是直角三角形，斜邊AC中點(diǎn)D點(diǎn)為點(diǎn)O在底面ABC投影點(diǎn)，所以O(shè)D⊥平面ABC，即OD為三棱錐底面ABC的高，易得三棱錐體積為43.

類型2底面一般三角形求外心（外接圓半徑）沿垂線方向確定球心位置

例3三棱錐P-ABC中，底面△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2，PA⊥平面ABC，若三棱錐P-ABC外接球的表面積為8π，則該三棱錐的體積為.

解析如圖3，底面△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2，不妨設(shè)△ABC外心為D點(diǎn)，由正弦定理得：DA=DB=DC=12·BCsin∠BAC，所以△ABC外接圓半徑DA=233，因?yàn)镻A⊥平面ABC，過D作PA的平行線與PA的中垂線交于點(diǎn)O，

因?yàn)镺A=OP=OB=OC，點(diǎn)O為外接球的球心，因?yàn)橥饨忧虮砻娣e為8π，所以外接球半徑為2.在Rt△ODA中，OD=OA2-DA2=63，易得三棱錐體高PA=2OD=263，可計算出三棱錐的體積為229.

評注視角一在確定球心位置需滿足兩個條件：1.確定底面特殊三角形外心位置或一般三角形求出其外接圓半徑（正弦定理）；2.明確底面三角形的垂線方向，這兩條件缺一不可.

視角二特殊三棱錐構(gòu)造長方體確定球心位置

對于一些特殊三棱錐可將其置于長方體內(nèi)，三棱錐外接球即為長方體的外接球，球心位于長方體的體對角線的中點(diǎn)，由此確定外接球球心位置，常見可置于長方體內(nèi)的特殊三棱錐主要有以下三種：

類型3兩條棱相互垂直且其公垂線位于棱端點(diǎn)上

例4三棱錐P-ABC的四個頂點(diǎn)都在一個球面上，PA，PB，PC兩兩垂直，PA=3，PB=4，PC=5，則該球的表面積為.圖4

解析如圖4，三條側(cè)棱兩兩垂直，可考慮將三棱錐P-ABC置于長方體一角，三條側(cè)棱分別為長方體的長、寬、高，三棱錐P-ABC外接球即為長方體的外接球，球心位于體對角線的中點(diǎn)，球的直徑2R=32+42+52，所以球的半徑R=522，易得球的表面積為50π.

例5三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，PA=12，PA⊥平面ABC，則球O的半徑等于.

解析如圖5，由題意可知，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，PA為棱AB，BC的公垂線，可考慮將三棱錐P-ABC置于長方體一角，已知棱BC，BA，AP分別為長方體的長、寬、高，三棱錐P-ABC外接球即為長方體的外接球，球心位于體對角線的中點(diǎn)，球的直徑2R=32+42+122，所以球的半徑R=132.

類型4棱面三棱錐

例6三棱錐P-ABC中，AB=BC=1，AB⊥BC，BC⊥CP，PA⊥AB，∠CPA=60°，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為.圖6

解析由長方體一條棱和一條對角線所形成的三棱錐為棱面三棱錐，其四個頂點(diǎn)所組成空間四邊形恰有三個角為直角，由其特殊性不難發(fā)現(xiàn)三棱錐P-ABC為棱面三棱錐，如圖6構(gòu)造長方體，AC，PA，PC為長方體的面對角線，AB，BC為長方體棱，依題意得△PAC為等邊三角形，AC=PA=PC=2，設(shè)長方體的長、寬、高分別為a，b，c，由題意得：a=1，b=1，c=1，所以2R=12+12+12，球的半徑R=32，計算出外接球的表面積為3π.

此題另解：設(shè)PB中點(diǎn)為O，由于PA⊥AB，PC⊥BC，則點(diǎn)O為Rt△PAB和Rt△PCB外心，所以O(shè)到點(diǎn)P，A，B，C距離相等，所以PB為外接球的直徑，由題意AC=2，△PAC是等邊三角形，易得PB=3，球的半徑R=32.

類型5對棱相等三棱錐

例7三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)在半徑為522的球面上，AC=BP=5，AP=BC=41，AB=CP，則三棱錐P-ABC的體積是.圖7

解析此三棱錐有三組對棱相等，可利用長方體面對角線相等，將三棱錐置于長方體內(nèi)，三組對棱即為長方體三組面對角線.如圖7，外接球心為體對角線中點(diǎn)，三棱錐體積為長方體體積截去四個三棱錐體積.設(shè)長方體的長、寬、高分別為a，b，c，由題意得：a2+b2+c2=50，a2+b2=25，a2+c2=41，解得：a=4，b=3，c=5，所以三棱錐體積是V=5×3×4-4×13×12×4×3×5=20.

視角三利用空間向量確定球心位置

確定三棱錐外接球的球心位置，亦可以用建立空間直角坐標(biāo)系，利用球心到各頂點(diǎn)距離相等，得出球心空間坐標(biāo)，確定球心位置，計算出外接球的半徑求解問題.圖8

例8三棱錐P-ABC，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，∠BAC=120°，求三棱錐外接球的半徑.

解析依題意，在平面ABC內(nèi)過A作AD⊥AB，不妨以AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，A0，0，0，B2，0，0，C-1，3，0，P0，0，2，設(shè)球心O點(diǎn)坐標(biāo)為a，b，c，由OA=OB=OC=OP可得：

a-22+b2+c2=a2+b2+c2，a+12+b-32+c2=a2+b2+c2，a2+b2+c-22=a2+b2+c2.

解得：球心O坐標(biāo)為1，3，1，所以外接球的半徑R=OA=12+32+12=5.