2018年高考全國卷Ⅰ理科壓軸試題的解答及思考

李紅春　孔峰

高考一直肩負(fù)著服務(wù)選拔和導(dǎo)向教學(xué)的雙重功能，高考試題一直是人們熱議的話題，尤其是壓軸試題更是備受關(guān)注，本文談?wù)?018年全國卷1理科壓軸試題的解法及思考，希望對大家的教學(xué)有所啟發(fā).

1試題及解答

題目已知f（x）=1x-x+alnx.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：f（x1）-f（x2）x1-x2

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的證明，考查學(xué)生運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想.

解析（1）x∈0，+

SymboleB@ ，f′（x）=-x2+ax-1x2，設(shè)g（x）=-x2+ax-1，其Δ=a2-4，

討論當(dāng)Δ≤0，即-2≤a≤2時(shí)，g（x）≤0恒成立，則f′（x）≤0，故f（x）在（0，+

SymboleB@ ）遞減；

當(dāng)Δ>0，即a>2或a<-2時(shí)，由g（x）=0得x1=a-a2-42，x2=a+a2-42.

①若a>2，由x1+x2=a>0，x1·x=1>0知，x1，x2∈（0，+

SymboleB@ ），

當(dāng)x∈（0，x1），f′（x）<0，f（x）遞減；當(dāng)x∈（x1，x2），f′（x）>0，f（x）遞增；

當(dāng)x∈（x2，+

SymboleB@ ）時(shí)，f′（x）<0，f（x）遞減；

②若a<-2，x1+x2=a<0，x1·x=1>0知，x1，x2∈（-

SymboleB@ ，0），

則x∈（0，+

SymboleB@ ），f′（x）<0，f（x）遞減；

綜上所述：a≤2時(shí)，f（x）在（0，+

SymboleB@ ）遞減；當(dāng)a>2時(shí)，f（x）在（0，a-a2-42）遞減，在a-a2-42，a+a2-42遞增，在（a+a2-42，+

SymboleB@ ）遞減；

點(diǎn)評(píng)第（1）問關(guān)鍵之處在于分類討論標(biāo)準(zhǔn)的確定，難點(diǎn)在于結(jié)合韋達(dá)定理判斷出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)x1、x2的范圍，考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想.

本題關(guān)鍵在第（2）問，下面重點(diǎn)研究第（2）問的解答：

解法1重組換元

由（1）知，若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，則a>2，x1·x2=1，x1+x2=a，

f（x1）-f（x2）x1-x2=1x1-1x2-（x1-x2）+a（lnx1-lnx2）x1-x2=x2-x1x1x2+（x2-x1）+a（lnx1-lnx2）x1-x2=a（lnx1-lnx2）x1-x2-2.

故要證原不等式，只需證lnx1-lnx2x1-x2<1，

不妨設(shè)x1x1-x2，

由x1x2=1知，只需證：lnx1x2>x1-x2x1x2，即lnx1x2>x1x2-x2x1，設(shè)x1x2=t，t∈（0，1）.

則只需證：lnt2>t-1t，即2lnt-t+1t>0，設(shè)m（t）=2lnt-t+1t，t∈（0，1）.

則m′（t）=2t-1-1t2=-（t-1）2t2<0，故m（t）在t∈（0，1）遞減，所以m（t）>m（1）=0.

故原不等式成立.

解法2消元轉(zhuǎn)化

同上，要證原不等式，只需證lnx1-lnx2x1-x2<1，

不妨設(shè)x1

SymboleB@ ）及x1x2=1知x1∈（0，1），lnx1-lnx2x1-x2<1等價(jià)為lnx1-lnx2>x1-x2，則只需證：lnx1-ln1x1>x1-1x1，即2lnx1-x1+1x1>0.設(shè)m（t）=2lnt-t+1t，t∈（0，1），則m′（t）=2t-1-1t2=-（t-1）2t2<0，故m（t）在t∈（0，1）遞減，所以m（t）>m（1）=0，故原不等式成立.

解法3分散構(gòu)造

不妨設(shè)x1>x2，則f（x1）-f（x2）x1-x2

f（x1）-（a-2）x1

即t（x）=1x-x+alnx-（a-2）x，t′（x）=-（a-1）x2+ax-1x2，

由f′（x）=0得-x2+ax-1=0，即ax-1=x2，故t′（x）=-（a-1）x2+x2x2=-a+2.

由a>2得t′（x）<0，故t（x）在（0，+

SymboleB@ ）遞減，由x1>x2知，t（x1）

點(diǎn)評(píng)對于多元不等式證明問題，重組換元、消元轉(zhuǎn)化和分散構(gòu)造是三種基本方法.

2追本溯源

本題取材于對數(shù)平均值不等式：x1x2≤x1-x2lnx1-lnx2≤x1+x22，這個(gè)不等式有著豐富的幾何直觀：

圖1

一方面，如圖1，設(shè)點(diǎn)

M（x1，ex1）、N（x2，ex2）為函數(shù)y=ex上的兩點(diǎn)，ME、NF分別垂直于x軸于E、F兩點(diǎn)，點(diǎn)Q（x1+x22，ex1+x22）處的切線與ME、NF交于A、B兩點(diǎn)，S四邊形AEFB=（x2-x1）·ex1+x22，S曲邊形MEFN=∫x2x1exdx=ex2-ex1，顯然，

（x2-x1）e[SX（]x1+x2[]2[SX）]

即ex1+x22

即x1·x2

圖2

另一方面，如圖2，設(shè)點(diǎn)M（x1，1x1），N（x2，1x2）為函數(shù)y=1x上的兩點(diǎn)，

ME、NF分別垂直于x軸于E、F兩點(diǎn)，

曲線在點(diǎn)Q（x1+x22，2x1+x2）處的切線與ME、NF交于A、B兩點(diǎn)，S四邊形AEFB=（x2-x1）·2x1+x2，

S曲邊形MEFN=∫x2x11xdx=lnx2-lnx1，

如圖形可知：S四邊形AEFB

即x2-x1lnx2-lnx1≤x1+x22.②

結(jié)合①②對數(shù)不等式x1x2≤x2-x1lnx2-lnx1≤x1+x22成立.

對數(shù)平均值不等式：x1x2≤x1-x2lnx1-lnx2≤x1+x22，由x1x2=1，知

x1-x2lnx1-lnx2≥x1x2=1，掌握這個(gè)結(jié)論，求解何其簡單！

其實(shí)，對數(shù)平均值不等式是許多不等式的生成之源，可由y=lnx的單調(diào)性及上凸性質(zhì)并借助拉格朗日中值定理或者直接構(gòu)造函數(shù)證明，易得如下不等式關(guān)系：lnx>12（x-1x），x∈（0，1）；lnx<12（x-1x），x∈（1，+

SymboleB@ ）；lnx>2（x-1）x+1，x∈（1，+

SymboleB@ ）；lnx<2（x-1）x+1，x∈（0，1）；a-bab>0）.

另外，本題和2011年高考數(shù)學(xué)湖南卷文科壓軸試題極其相似：

設(shè)函數(shù)f（x）=x-1x-alnx（a∈[WTHZ]R[WTBX]），

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1和x2，記過點(diǎn)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直線斜率為k，問是否存在a使得k=2-a？若存在，求a的值，若不存在，說明理由.

3解題感悟

3.1教學(xué)要立足基礎(chǔ)，遵循教育規(guī)律

作為壓軸試題，本題題干簡潔，問題樸實(shí)無華，難度不大，受到廣大師生的普遍歡迎.本題立足于培育學(xué)生支撐終身發(fā)展和適應(yīng)時(shí)代要求的獨(dú)立思考和邏輯推理等關(guān)鍵能力，力求多考一點(diǎn)想，少考一點(diǎn)算，積極引導(dǎo)廣大教師，杜絕偏題、怪題和繁難試題，引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)遵循教育規(guī)律、回歸課堂，用好教材，避免超綱學(xué)、超量學(xué).

3.2數(shù)學(xué)教學(xué)要注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透

數(shù)學(xué)思想方法是獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的主要手段，具有很大的智力價(jià)值，掌握了數(shù)學(xué)思想方法，就能透徹地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，有助于創(chuàng)造能力的培養(yǎng).本題深度考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，尤其第（1）問，結(jié)合二次函數(shù)的系數(shù)特征，從圖形出發(fā)，分析出導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間.

3.3數(shù)學(xué)解題要注重問題本質(zhì)的揭示

本題依托對數(shù)平均值不等式命制而成，背景深刻.其實(shí)很多高考試題有著深刻的背景，不少都是從初等數(shù)學(xué)研究的成果中選取的素材，以此為基礎(chǔ)將其變抽象為具體，加工與調(diào)整形成，這是常見的一種命題途徑.在教學(xué)過程中，要揭去它們的“面紗”，揭示它們的背景及本質(zhì)，這樣既能縮短解決同類問題的思維流程，更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)他們深入思考問題，鉆研問題的習(xí)慣.3.4復(fù)習(xí)備考要加強(qiáng)對高考試題的研究

高考試題是命題專家精心命制而成，設(shè)計(jì)新穎，構(gòu)思巧妙，集中體現(xiàn)了命題專家的智慧，往屆高考試題一直是新高考試題的重要來源，命題專家一直重視傳承和相互借鑒，本題和湖南省高考試題相似度如此之高充分說明了這一點(diǎn).作為教師要努力從歷年高考題的整體研究中找到共性，從近幾年高考題中找到高考的變化趨勢，從對同類試題的研究中找到變化，不斷提升復(fù)習(xí)效率.

作者簡介

李紅春，中學(xué)高級(jí)教師，武漢市高中命題庫核心成員.“全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽優(yōu)秀教練員”“武漢市優(yōu)秀青年教師”、“武漢市優(yōu)秀備課組長”，近5年在專業(yè)期刊上發(fā)表論文200余篇.

孔峰，中學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師，武漢市教科院數(shù)學(xué)教研員，長期致力于數(shù)學(xué)競賽自主招生試題的命制和研究.公開發(fā)表教育教學(xué)論文多篇，出版專著多部.