基于GM(1,1)模型的我國人口老齡化預(yù)測

李 明

（蘇州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程與藝術(shù)設(shè)計系，江蘇 蘇州 215104）

0引 言

我國作為人口大國，人口數(shù)量和結(jié)構(gòu)的變化直接影響經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)程。改革開放30年，人口紅利為經(jīng)濟(jì)注入了一劑強(qiáng)心劑，使得我國經(jīng)濟(jì)快速增長[1]。但隨著世界經(jīng)濟(jì)環(huán)境的變化，我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入了新常態(tài)，人口紅利優(yōu)勢正逐漸減弱，并且很快將由人口紅利轉(zhuǎn)變?yōu)槿丝谪?fù)擔(dān)?；诖耍疚耐ㄟ^建立GM（1, 1）預(yù)測模型，觀察我國人口老齡化趨勢，探究有效緩解人口老齡化危機(jī)的方法。

1人口老齡化標(biāo)準(zhǔn)及特點(diǎn)

人口老齡化是指人口生育率降低和人均壽命延長導(dǎo)致的總?cè)丝谥幸蚰贻p人口數(shù)量減少、年長人口數(shù)量增加而導(dǎo)致的老年人口比例相應(yīng)增長的動態(tài)變化過程。人口老齡化有兩個含義：一是指老年人口相對增多，在總?cè)丝谥兴急壤粩嗌仙倪^程。二是指社會人口結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)老年?duì)顟B(tài)，進(jìn)入老齡化社會。在國際上通常認(rèn)為，當(dāng)一個國家或地區(qū)60歲以上老年人口占人口總數(shù)的10%，或65歲以上老年人口占人口總數(shù)的7%，就意味著這個國家或地區(qū)的人口處于老齡化社會[2]。一般人口老齡化狀況會呈現(xiàn)出兩大特征：一是人口老齡化狀況會提前出現(xiàn)高峰。各國為了控制人口增長過快，國家層面會推行計劃生育政策干預(yù)人口出生率，人口生育率下降，不可避免地使國家提早出現(xiàn)人口老齡化高峰。二是在經(jīng)濟(jì)不夠發(fā)達(dá)狀態(tài)下進(jìn)入人口老齡化，會出現(xiàn)“未富先老”的狀況，延緩解決人口老齡化問題的進(jìn)程。據(jù)國家統(tǒng)計局官網(wǎng)數(shù)據(jù)顯示，2015年我國65歲及以上的老年人口達(dá)1.4386億人，相比2014年增長4.1%，老年人口撫養(yǎng)比已達(dá)14.3%[3]。預(yù)測人口老齡化進(jìn)程可為我國采取相應(yīng)對策提供可參考的依據(jù)。

2數(shù)學(xué)模型的選擇

人口問題是由眾多因素諸如生育、死亡、社會、經(jīng)濟(jì)、疾病、災(zāi)害、環(huán)境等共同影響和制約的結(jié)果。人口問題的眾多制約因素，無法僅通過幾個指標(biāo)進(jìn)行表達(dá)和量化，更無法進(jìn)行精確計算得出一個結(jié)果。它所反映的情況具有明顯的灰色性質(zhì)，即以貧信息、不確定性系統(tǒng)為研究對象，介于白色系統(tǒng)和黑箱系統(tǒng)之間的過渡系統(tǒng)。如果某一系統(tǒng)全部信息都是已知的稱為白色系統(tǒng)；全部信息都是未知的稱為黑箱系統(tǒng)；部分信息已知、部分信息未知的稱為灰色系統(tǒng)?；疑到y(tǒng)適合用灰色模型去發(fā)掘和認(rèn)識其原始時間序列綜合灰色量所包含的內(nèi)在規(guī)律，因而選擇灰色模型對人口老齡化進(jìn)行預(yù)測。

3 GM（1, 1）模型的構(gòu)建

3.1 基本數(shù)學(xué)思想

將已知的原始數(shù)據(jù)序列按照某種規(guī)律進(jìn)行累加，構(gòu)成動態(tài)或非動態(tài)新的數(shù)據(jù)序列，新的數(shù)據(jù)序列呈現(xiàn)的規(guī)律可用一階線性微分方程的解進(jìn)行逼近。GM（1,1）模型構(gòu)建不需要許多原始數(shù)據(jù)，能將無規(guī)律的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行重新處理后得到規(guī)律性很強(qiáng)的生成數(shù)列，運(yùn)算簡單，易于檢驗(yàn)，不用考慮數(shù)據(jù)分布規(guī)律，預(yù)測精度較高[4]。

3.2 模型構(gòu)建的基本原理

常規(guī)的GM（1, 1）模型是灰色預(yù)測模型的基礎(chǔ)，通常稱為單序列一階線性動態(tài)模型。設(shè)X(0)為非負(fù)的原始時間序列數(shù)據(jù)，X(1)為X(0)的一次累加生成數(shù)據(jù)數(shù)列，即：

其中X(1)( k )=x(0)(m), k=1, 2, …, n，而其對應(yīng)的灰導(dǎo)數(shù)序列的緊鄰序列可用均值方式表示為：

其對應(yīng)的分序列為：

而其對應(yīng)的GM（1, 1）灰微分方程可歸納為：

此為GM（1, 1）模型的基本形式，其中，a, b分別為發(fā)展灰數(shù)和內(nèi)生控制灰數(shù)，為待辨識的參數(shù)。

令k=2, 3, …, n，可將模型進(jìn)一步表示為：

利用最小二乘法可求得參數(shù)結(jié)果為= ( BTB)-1BTY。若將x(0)( k )的時刻視為連續(xù)，則灰微分方程相應(yīng)的白化方程為：

將a, b代入可得到其解為時間響應(yīng)函數(shù)為：

則GM（1, 1）模型的時間響應(yīng)序列為：

則其還原值為：

3.3 模型精度檢驗(yàn)

模型建立后，需要通過檢驗(yàn)才能判斷選取模型是否合理，只有通過檢驗(yàn)的模型才能用于預(yù)測。GM（1,1）模型精度檢驗(yàn)方法有殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)和后驗(yàn)差檢驗(yàn)。

（1）殘差檢驗(yàn)。殘差檢驗(yàn)是一種逐點(diǎn)檢驗(yàn)方法，按預(yù)測模型計算(1)( k )，進(jìn)行累減生成(0)( k )，然后求原始序列x(0)( k )與(0)( k )的殘差序列Δ(0)( k ) =X(0)(k)-(0)(k)φ(k) =，相對誤差序列×100%，平均相對誤差φ(k)，精度θ=(1-)×100%。對于相對誤差φ(k)，一般要求φ(k) ＜ 20%，最好φ(k) ＜ 10%；對于精度要求θ＞ 80%，最好θ＞ 90%。

（2）關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)。計算X(0)(k)與(0)(k)的關(guān)聯(lián)系數(shù)η(0)(k)，即η(k)=，一般ρ=0.5，再求出關(guān)聯(lián)度rη(k)。若關(guān)聯(lián)度r＞ 0.6，則通過檢驗(yàn)。

表1 擬合精度等級

4我國人口老齡化預(yù)測

4.1 數(shù)據(jù)來源

原始數(shù)據(jù)來自國家統(tǒng)計局官網(wǎng)1996—2015年人口年齡結(jié)構(gòu)和撫養(yǎng)比統(tǒng)計數(shù)據(jù)（見表2），利用原始數(shù)據(jù)對建立的GM（1, 1）模型進(jìn)行檢測，如果檢測精度較高，那么該模型對未來五年內(nèi)的我國65歲及以上老年人口數(shù)和撫養(yǎng)比做出的預(yù)測值才具有更高的可信度。

4.2 針對老年人口建立GM（1, 1）預(yù)測模型

根據(jù)表2數(shù)據(jù)建立GM（1, 1）預(yù)測模型的灰微分方程為：

表2 1996—2015年我國65歲及以上老年人口數(shù)和撫養(yǎng)比

根據(jù)最小二乘法求得上式方程的參數(shù)值為：a=-0.0316,b=7578.3，其對應(yīng)的白化方程為：

則對應(yīng)的時間響應(yīng)式為：

由表3計算出平均相對殘差=1.23%，精度較高；關(guān)聯(lián)度r=0.6264＞0.6，模型比較滿意；方差比C=4.1528×10-6＜0.35，小誤差概率P=1≥0.095，預(yù)測精度等級為最好。因此，該模型結(jié)果可信度高，可用于老齡化預(yù)測，從而得到2016—2020年我國65歲及以上老年人口數(shù)平均預(yù)測值（見表4）。

4.3 針對老年人口撫養(yǎng)比建立GM（1, 1）預(yù)測模型

采用4.2類似的方法可對我國65歲及以上老年人口撫養(yǎng)比進(jìn)行預(yù)測，得到老年人口撫養(yǎng)比的白化方程為：

則對應(yīng)的時間響應(yīng)式為：

表3 1996—2015年我國65歲及以上老年人口數(shù)模擬值

表4 2016—2020年我國65歲及以上老年人口數(shù)預(yù)測值

表5 1996—2015年我國65歲及以上老年人口撫養(yǎng)比模擬值

5結(jié)論與建議

2016—2020年我國65歲及以上老年人口數(shù)和撫養(yǎng)比整體都呈上升趨勢，到2020年，我國65歲及以上老年人口數(shù)達(dá)1.6427億人（見表4），撫養(yǎng)比高達(dá)15.0336%（見表6），沒有下降的趨勢，形勢非常嚴(yán)峻。為有效緩解人口老齡化危機(jī)，應(yīng)采取有效應(yīng)對措施。

（1）加強(qiáng)頂層設(shè)計，大力發(fā)展老齡化產(chǎn)業(yè)。主要是對市場進(jìn)行細(xì)分，滿足老年消費(fèi)者的個性化需求。人口老齡化蘊(yùn)藏著巨大的商機(jī)，需要充分挖掘其潛力，推動老齡化產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，變被動承受為主動積極參與[5]。

（2）積極研制養(yǎng)老金制度和退休制度的改革，構(gòu)建社區(qū)老年人服務(wù)體系。讓老年人處于一個心理健康、生活充實(shí)而愉快的環(huán)境，增加老年人晚年生活的健康和幸福指數(shù)，減少依賴，降低國家人力資源的浪費(fèi)。

（3）辦好老年人的教育與就業(yè)。通過辦好老年大學(xué)或社區(qū)活動，給老年人提供繼續(xù)學(xué)習(xí)的機(jī)會，促進(jìn)老年人保持積極向上的心態(tài)，提升老年人的認(rèn)知、情感和社交能力，從而提高老年人的生活質(zhì)量。同時可提供老年人發(fā)揮余熱的機(jī)會，增加老年人的收入，促進(jìn)國家經(jīng)濟(jì)全面增長。

（4）繼續(xù)開放生育政策，吸納外來人口以降低老齡撫養(yǎng)壓力。充分發(fā)揮人才優(yōu)勢，加大技術(shù)創(chuàng)新能力，提高生產(chǎn)效率，擴(kuò)大人口紅利，穩(wěn)固發(fā)展經(jīng)濟(jì)實(shí)力，以適應(yīng)我國老齡化趨勢[6]。

表6 2016—2020年我國65歲及以上老年人口撫養(yǎng)比預(yù)測值

我國人口老齡化問題影響著老齡化事業(yè)的發(fā)展及養(yǎng)老服務(wù)和養(yǎng)老產(chǎn)業(yè)的發(fā)展方向。為有效緩解我國日益嚴(yán)峻的人口老齡化危機(jī)，不僅要關(guān)注老年人的身心健康，還要關(guān)注老年人的需求、情感、社交、服務(wù)、社會參與程度等方面，制定和推行積極的人口老齡化政策。