策略得當(dāng)，大小PK
——函數(shù)值大小比較的方法技巧

☉安徽省安慶市第二中學(xué)東區(qū) 汪學(xué)思

函數(shù)值的大小比較問題，往往涉及指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，以及對(duì)應(yīng)的指數(shù)運(yùn)算、冪運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算等相關(guān)內(nèi)容，融合“函數(shù)”與“圖像”加以數(shù)形結(jié)合，是高考中比較熱點(diǎn)的一類常見題型.此類問題經(jīng)常出現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)值或三個(gè)函數(shù)值的大小比較問題，有時(shí)以指數(shù)式形式出現(xiàn)，有時(shí)以對(duì)數(shù)式形式出現(xiàn)，有時(shí)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式混合出現(xiàn)，類型眾多.下面結(jié)合函數(shù)值大小比較的一些常見的思維方法加以實(shí)例剖析.

一、同底法

在判斷全部涉及指數(shù)式或?qū)?shù)式的函數(shù)值的大小關(guān)系時(shí)，往往把相應(yīng)的指數(shù)式或?qū)?shù)式化為同底，再結(jié)合相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷函數(shù)值的大小關(guān)系即可.

例1已知a=log23.6，b=log43.2，c=log43.6，則（ ）.

A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞a＞c D.c＞a＞b

解析：化同底得a=log23.6=log43.62，b=log43.2，c=log43.6，

而對(duì)數(shù)函數(shù)y=log4x在（0，+∞）上是增函數(shù)，又3.2＜3.6＜3.62，則有l(wèi)og43.2＜log43.6＜log43.62，即log43.2＜log43.6＜log23.6，那么有a＞c＞b.故選B.

點(diǎn)評(píng)：由于化同底后即可運(yùn)用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，所以能夠化同底的盡可能化同底.解決問題的關(guān)鍵是正確判斷對(duì)應(yīng)的指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合相應(yīng)的指數(shù)或真數(shù)的大小關(guān)系加以分析.

二、圖像法

在解決一些指數(shù)式或?qū)?shù)式的函數(shù)值的大小關(guān)系時(shí)，經(jīng)常通過轉(zhuǎn)化，作出對(duì)應(yīng)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及相關(guān)函數(shù)的圖像，利用圖像的交點(diǎn)及相應(yīng)的函數(shù)圖像的性質(zhì)來確定對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小問題.

例2已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式下列五個(gè)關(guān)系式：

①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b.

其中不可能成立的關(guān)系式有（ ）.

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

其他三個(gè)關(guān)系式即成立.故選B.

點(diǎn)評(píng)：正確掌握指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.這里關(guān)鍵在于掌握不同底的對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的規(guī)律：（1）底都大于1時(shí)，底大圖低（即在x＞1的部分底越大圖像就越接近x軸）；（2）底都小于1時(shí)，底大圖高（即在0＜x＜1的部分底越大圖像就越遠(yuǎn)離x軸）.

三、特殊值法

用特殊值代替題設(shè)普遍條件，得出特殊結(jié)論，再回歸一般情況，從而作出正確的判斷.使用特殊值法的關(guān)鍵就在于巧妙確定特殊值，往往能簡(jiǎn)縮思維過程，降低答題難度，從而迅速得解.

例3 （2017年山東卷理7）若a＞b＞0，且ab=1，則下列不等式成立的是（ ）.

點(diǎn)評(píng)：通過特殊值的選取可以比較方便快捷地處理此類問題.在解決函數(shù)中的大小比較問題，往往優(yōu)先考慮特殊值法，操作比較簡(jiǎn)單，且容易判斷.通過特殊值的選取來解決往往比采用相關(guān)知識(shí)的概念、定理、性質(zhì)、公式等來處理更顯得簡(jiǎn)單易操作.

四、估算法

估算法是函數(shù)值的大小比較中最常見的一類方法，往往通過指數(shù)式、對(duì)數(shù)式所對(duì)應(yīng)的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)單調(diào)性估計(jì)出相應(yīng)的代數(shù)值的正負(fù)情況，以及與0、1等相關(guān)數(shù)字的大小關(guān)系，進(jìn)而得以完美、準(zhǔn)確、迅速地確定答案.

例4（2015年山東卷文2）設(shè)a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）.

A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.b＜c＜a

分析：先估算出a，b，c三個(gè)值的變化范圍，再根據(jù)取值范圍來比較三者的大小關(guān)系.

解：由于0＜0.61.5＜0.60.6＜0.60=1，1.50.6＞1.50=1，所以b＜a＜c.故選C.

點(diǎn)評(píng)：解答此類比較代數(shù)式的大小問題，不方便直接求出各代數(shù)式的值，而是通過估算得到該代數(shù)式的變化范圍，通過不同范圍的關(guān)系來比較.在近幾年高考的“多想少算”命題思想中，“估算法”更是解決此類問題的有效途徑，關(guān)鍵是正確借助特殊值（如0，1等）來進(jìn)行分析、估算與比較.

五、排除法

在解決函數(shù)值的大小關(guān)系時(shí)，有時(shí)可以通過排除不滿足條件的大小關(guān)系，進(jìn)而去偽存真，達(dá)到正確確定大小關(guān)系的目的.采用排除法處理思路較為簡(jiǎn)單，經(jīng)常要多次選取不同的特殊值加以多次排除.

例5 設(shè)x，y，z為大于1的正數(shù)，且log2x=log3y=log5z，則的大小關(guān)系中不可能的是（ ）.

解析：取x=2，則由log2x=log3y=log5z，得y=3，z=5，此時(shí)易知成立，則選項(xiàng)C成立；

取x=4，則由log2x=log3y=log5z，得y=9，z=25，此時(shí)易知成立，則選項(xiàng)A成立；

點(diǎn)評(píng)：排除法一般用于定性型或不易直接求解的選擇題中的函數(shù)值的大小比較問題，且往往與特殊值法等方法結(jié)合使用，是解答此類選擇題的常用方法之一.解決問題時(shí)，往往通過多次特殊值的選取，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算、冪運(yùn)算或?qū)?shù)運(yùn)算，根據(jù)“四選一”的指令，逐步剔除干擾項(xiàng)，從而得出正確的判斷.

六、差（商）比法

不同底但可以化為同指數(shù)（或真數(shù)）的兩指數(shù)式（或?qū)?shù)式）比較大小時(shí)，往往可以采用商（或差）比法，通過兩數(shù)作商（或差），結(jié)合指數(shù)冪（或?qū)?shù)）運(yùn)算，確定其商（或差）式與1（或0）的大小關(guān)系，即可判斷大小關(guān)系.

例6（2017年全國(guó)Ⅰ卷理11）設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x=3y=5z，則（ ）.

A.2x＜3y＜5z B.5z＜2x＜3y

C.3y＜5z＜2x D.3y＜2x＜5z

綜上分析可得3y＜2x＜5z.故選D.

點(diǎn)評(píng)：不同底但可以化為同指數(shù)的兩數(shù)比較大小，往往先對(duì)其加以作商，用商比法即可迎刃而解，判斷相應(yīng)的商式與1的大小關(guān)系.而不同底但可以化為同真數(shù)的兩數(shù)比較大小，往往先對(duì)其加以作差，用差比法即可迎刃而解，判斷相應(yīng)的差式與0的大小關(guān)系即可.

其實(shí)，解決函數(shù)值大小的比較問題，思維各異，方法眾多.通過不同的方法，著重展示如何靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)、方法，求解與指數(shù)式、對(duì)數(shù)式等有關(guān)的函數(shù)值的大小比較問題，進(jìn)而理清解題思維，提升分析、解決問題的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，拓展數(shù)學(xué)品質(zhì).