一個(gè)函數(shù)問題的對(duì)稱性的發(fā)現(xiàn)與推廣*

☉四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 胡生兵 趙思林

發(fā)現(xiàn)教學(xué)法是指在教師的啟發(fā)下，使學(xué)生主動(dòng)地探索數(shù)學(xué)知識(shí)和解決數(shù)學(xué)問題的一種教學(xué)方法.發(fā)現(xiàn)教學(xué)法應(yīng)用到數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師不是將問題的結(jié)論直接告訴給學(xué)生，而是向?qū)W生提供一系列問題，讓學(xué)生積極思考，獨(dú)立探索，自行發(fā)現(xiàn)這些問題的結(jié)論.解題思路的探索與發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)問題解決的關(guān)鍵，數(shù)學(xué)解題思路的發(fā)現(xiàn)常常需要敏銳的觀察，廣泛的聯(lián)想，大膽的猜想，也需要嘗試與預(yù)估、經(jīng)驗(yàn)與頓悟、機(jī)遇與靈感［1］.發(fā)現(xiàn)教學(xué)法是培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的重要方式，發(fā)現(xiàn)教學(xué)法的關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生思考與發(fā)現(xiàn).2016年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅱ理科第12題是一個(gè)適合發(fā)現(xiàn)教學(xué)的好問題，也是數(shù)學(xué)探究的好問題.下面對(duì)該題從對(duì)稱性的發(fā)現(xiàn)、結(jié)論的證明、問題的推廣等角度作了探究.

題目 （2016年全國卷Ⅱ理科第12題）已知函數(shù)（fx）（x∈R）滿足（f-x）=2-（fx），若函數(shù)圖像的交點(diǎn)為（x1，y）1，（x2，y）2，…，（xm，ym），則

A.0 B.m C.2m D.3m

解析：根據(jù)題意可知，（f-x）+（fx）=2，所以函數(shù)（fx）的圖像關(guān)于點(diǎn)（0，1）成中心對(duì)稱.

此題情境新穎、內(nèi)涵深刻、富含思考價(jià)值和數(shù)學(xué)探究價(jià)值.解答本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)函數(shù)方程f（-x）=2-f（x）的對(duì)稱性.據(jù)統(tǒng)計(jì)，本題的得分率為0.44，大部分同學(xué)無法解決此題的原因在于不能發(fā)現(xiàn)原函數(shù)的對(duì)稱性.本文擬從探索和發(fā)現(xiàn)函數(shù)方程f（-x）=2-f（x）的對(duì)稱性出發(fā)，對(duì)這個(gè)函數(shù)方程的對(duì)稱性的思路探索、結(jié)論發(fā)現(xiàn)、證明、推廣等角度作一些探究.

一、對(duì)稱性的發(fā)現(xiàn)

思路1.退中求進(jìn)

在解決問題過程中，有時(shí)退一步，將原問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題，再通過類比就很容易發(fā)現(xiàn)解題思路，找到問題的解決策略.而聯(lián)想與猜想是引導(dǎo)我們?nèi)绾无D(zhuǎn)化的關(guān)鍵.無論是在教學(xué)中，還是在解決問題過程中，最近發(fā)展區(qū)都可以幫助我們學(xué)習(xí)知識(shí)和解決問題.

首先對(duì)原方程進(jìn)行移項(xiàng)，得到f（x）+f（-x）=2，通過聯(lián)想把“2”變?yōu)椤?”從而得到f（x）+f（-x）=0，通過回顧發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程是奇函數(shù)的表達(dá)式，奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)圖像也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.此時(shí)通過猜想，原來函數(shù)f（x）的圖像可能也關(guān)于某個(gè)點(diǎn)對(duì)稱.

評(píng)注：在此探究思路過程中，通過退一步將“2”變?yōu)椤?”，從而得到學(xué)生熟悉的表達(dá)式，學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)很容易想到奇函數(shù)的表達(dá)式，通過大膽的猜想與類比很快就可以想到原函數(shù)f（x）可能也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.

思路2.構(gòu)造函數(shù)

根據(jù)原方程f（-x）=2-f（x），原方程兩邊同時(shí)減去1可以得到f（-x）-1=1-f（x）.

觀察此方程發(fā)現(xiàn)，將-x代入等式的右邊得1-f（-x），剛好與左邊相差一個(gè)負(fù)號(hào)，所以令g（x）=1-f（x），則有g(shù)（x）=1-f（x）=f（-x）-1.

因?yàn)間（-x）=1-f（-x），所以g（-x）=-g（x），從而g（x）是奇函數(shù)，所以g（x）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

通過解題回顧知，函數(shù)g（x）是由函數(shù)f（x）作x軸的對(duì)稱曲線再向上平移1個(gè)單位得到的，而函數(shù)g（x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，平移不改變函數(shù)的對(duì)稱性，所以可以得到函數(shù)f（x）的圖像也關(guān)于某個(gè)點(diǎn)對(duì)稱.

評(píng)注：此思路的發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵在于觀察，通過觀察很容易發(fā)現(xiàn)等式兩邊的關(guān)系，從而快捷地想到構(gòu)造函數(shù).此思路發(fā)現(xiàn)過程中充分展示了觀察聯(lián)想的重要性，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)美、對(duì)稱美.

二、對(duì)稱中心的發(fā)現(xiàn)

1.由思路1發(fā)現(xiàn)對(duì)稱中心

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是一個(gè)抽象函數(shù)，為了簡化解題思路，所以將f（x）令成熟悉的具體函數(shù).令f（x）=kx+b，因?yàn)閒（x）+f（-x）=2，所以kx+b+（-kx）+b=2，即2b=2，故b=1.所以f（x）=kx+1（k∈R），該函數(shù)圖像是一條經(jīng)過定點(diǎn)（0，1）的直線.再作具體化處理，取k=1，得f1（x）=x+1，而直線是關(guān)于在直線上的任意一點(diǎn)對(duì)稱，所以一個(gè)函數(shù)無法確定對(duì)稱點(diǎn).再取k=-1，得f2（x）=-x+1.f1（x），f2（x）都滿足抽象函數(shù)f（x）的對(duì)稱性，而f1（x）與f2（x）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（0，1），所以函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱.

評(píng)注：在此探索過程中運(yùn)用了解決函數(shù)問題的一種常用方法——“特殊化”.在特殊化的過程中體現(xiàn)了化抽象為具體的思想.此過程中是將原函數(shù)特殊化為一次函數(shù)，其實(shí)也可以將原函數(shù)特殊化為三次函數(shù)、正弦函數(shù)等.具體能化為哪種特殊函數(shù)可以根據(jù)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的熟悉程度來確定.

2.由思路2發(fā)現(xiàn)對(duì)稱中心

根據(jù)函數(shù)g（x）=1-f（x），可以得到f（x）=1-g（x）.由f（x）=1-g（x）可知，g（x）先作關(guān)于x軸的對(duì)稱曲線，再向上平移一個(gè)單位長度可以得到f（x）.因?yàn)楹瘮?shù)g（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，所以函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于（0，1）對(duì)稱.因?yàn)槠揭坪蛯?duì)稱變換不改變函數(shù)圖像的對(duì)稱性的，所以此過程也即是證明過程.

評(píng)注：此過程充分運(yùn)用了函數(shù)的表達(dá)式和函數(shù)圖像變換的性質(zhì).運(yùn)用直觀想象讓解題思路變得簡捷，計(jì)算過程簡單，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象能力.

三、結(jié)論的證明

結(jié)論：函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（-x）=2-f（x），則函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱.

證明：設(shè)點(diǎn)（m，n）在函數(shù)y=f（x）的圖像上，則f（m）=n.

因?yàn)閒（-x）=2-f（x），所以f（-m）=2-f（m），即2-m=f（-m），故點(diǎn)（-m，2-n）也在函數(shù)f（x）的圖像上.

而點(diǎn)（m，n）與點(diǎn)（-m，2-n）恒關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，所以f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱.

四、問題的推廣

推廣是指對(duì)結(jié)論進(jìn)行拓展、加強(qiáng)與深化.對(duì)結(jié)論的推廣，有利于學(xué)生知識(shí)的拓展，開拓學(xué)生的思維視野，并能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，還能培養(yǎng)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的能力.

下面我們對(duì)對(duì)稱點(diǎn)進(jìn)行推廣.

推廣1：設(shè)函數(shù)（fx）的定義域?yàn)镽，函數(shù)（fx）滿足（fx）+（fb-x）=2，則函數(shù)（fx）的圖像關(guān)于點(diǎn)， 1）對(duì)稱.

推廣2：設(shè)函數(shù)（fx）的定義域?yàn)镽，函數(shù)（fx）滿足（fx）+（fb-x）=0，則函數(shù)（fx）的圖像關(guān)于點(diǎn)， 0）對(duì)稱.

推廣3：設(shè)函數(shù)（fx）的定義域?yàn)镽，函數(shù)（fx）滿足（fx）+（f-x）=m，則函數(shù)（fx）的圖像關(guān)于點(diǎn)（0）對(duì)稱.

推廣4：設(shè)函數(shù)（fx）的定義域?yàn)镽，函數(shù)（fx）滿足（fx）+（fb-x）=m，則函數(shù)（fx）的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.

推廣5：設(shè)函數(shù)（fx）的定義域?yàn)镽，函數(shù)（fx）滿足（fa+x）+（fb-x）=0，則函數(shù)（fx）的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.

推廣6：設(shè)函數(shù)（fx）的定義域?yàn)镽，函數(shù)（fx）滿足（fa+x）+（fb-x）=m，則函數(shù)（fx）的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.

證明：設(shè)點(diǎn)（x0，y0）在函數(shù)（fx）的圖像上，則有（fx）0=y0.

因?yàn)椋╢a+x）+（fb-x）=m，所以（fa+x0）+（fb-x0）=m.

從而（fb-x0）=m-（fa+x0），所以點(diǎn)（a+x0，（fa+x0））和點(diǎn)（b-x0，（fb-x0））都在函數(shù)（fx）的圖像上.又點(diǎn)（a+x0，（fa+x0））和點(diǎn)（b-x0，（fb-x0））關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)（fx）的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.

推廣7：設(shè)函數(shù)（fx）的定義域?yàn)镽，函數(shù)（fx）滿足（fa+x）-（fb-x）=0，則函數(shù)（fx）的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.

證明：設(shè)點(diǎn)（x1，y1）在函數(shù)（fx）的圖像上，則（fx1）=y1.

因?yàn)椋╢a+x）-（fb-x）=0，所以（fa+x1）-（fb-x1）=0.

所以（fa+x1）=（fb-x1），而點(diǎn)（a+x1，（fa+x1））和點(diǎn)（bx1，（fb-x1））關(guān)于，所以函數(shù)（fx）的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.

推廣8：設(shè)函數(shù)（fx）的定義域?yàn)镽，函數(shù)y=（fx）與函數(shù)y=-（f-x）關(guān)于點(diǎn)（0，0）中心對(duì)稱.

推廣9：設(shè)函數(shù)（fx）的定義域?yàn)镽，函數(shù)y=（fx）與函數(shù)y=-（fm-x）關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.

推廣10：設(shè)a，b，c為常數(shù)，函數(shù)y=（fx）與函數(shù)y=g（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)?x∈R，均有（fc+x）+g（a-x）=b，則函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.

證明：設(shè)點(diǎn)P（c+x0，（fc+x0））是函數(shù)y=（fx）圖像上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q（a-x，

0b-（fc+x0）），且（fc+x0）+g（a-x0）=b，所以g（a-x0）=b-（fc+x0），故點(diǎn)Q（a-x0，b-（fc+x0））是函數(shù)圖像上的一點(diǎn)，也即函數(shù)y=（fx）圖像上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)都在函數(shù)y=g（x）的圖像上，所以函數(shù)y=（fx）與函數(shù)y=g（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.

評(píng)注：前面幾個(gè)推廣是經(jīng)?？嫉降模詈笕齻€(gè)有一定的難度，比較少用.函數(shù)在高考中占有較大比例，同時(shí)函數(shù)對(duì)稱性是高考的熱點(diǎn)，通過對(duì)這些推廣的理解與記憶，能夠深化學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解，能夠快捷、準(zhǔn)確地解決高考中的函數(shù)對(duì)稱問題.