高中數學教學中“證偽”思想運用的思考

☉江蘇省宜興第一中學 陳 達

概念與正確命題的邏輯體系是數學在人們面前的最終展現(xiàn)，由此可見，嚴密論證在數學學科中是當仁不讓的中心，不過，我們也不難發(fā)現(xiàn)圍繞猜想性命題的數學活動始終指向了提出證明和進行“證偽”這兩個方向.數理邏輯與數學方法論從不同角度對前一個方向都進行了大量的研究并獲得了很多成果，相對而言，后一個方向的研究卻是比較鮮見的.事實上，“證偽”這一否定性思維能夠有效幫助學生科學超越自身并因此獲得新的生長點與突破口.

一、“證偽”思想的概述

1.來源和特點

證偽主義科學觀是英國哲學家卡爾·波普爾提出并發(fā)展起來的，他認為“提出假說——證偽——再提出假說——再證偽……”這一不斷循環(huán)的過程正是科學接近真理的道路，不僅如此，他還歸納了證偽主義的兩個優(yōu)點：（1）經驗具備一定的個別性，但科學理論卻是一個全稱判斷的準確表達，經驗可以用于科學理論的證偽；（2）證偽主義使人相信所有的科學都是一種猜測與假說并能避免對錯誤理論的辯護與教條.

2.“證偽”思想在解題中的運用

人們大膽提出假說與猜測并尋找和這一假說不符合的事例的方法就是證偽主義經常采用的試錯法.“證偽”思想運用于數學解題中一般遵循下圖中的流程.

二、“證偽”思想的運用價值

1.促進學生基本概念的掌握

反映數學對象本質屬性的概念是導出數學定理與法則的邏輯基礎，如何提升概念教學的效果是所有數學教師都非常關注的難題，數學概念的“證偽”進程對于概念掌握具有積極的意義.

案例1：概率的學習.

教師在概率這一概念的教學中可以舉出相關內容的正例以及容易與這一概念產生混淆的概念，使學生在進行“證偽”過程中對概念外延的關鍵詞形成更好的理解.比如：①所有頻率的平均值就是概率值；②當實驗次數夠大時，所有頻率的平均值就是概率值；③當實驗次數夠大時，所有頻率的近似值就是概率值；④當次數n→+∞時，頻率趨近的常數就是概率值.引導學生在這些實例中進行辨析、比較，并因此對概念、概念的適用對象與范圍形成真正的理解.

2.促進學生推理能力的提高

人們在學習與生活中經常會使用推理和證明這兩個基本的思維方式，“證偽”思想的應用能夠更好地鍛煉學生的推理能力.

案例2：運用數學歸納法證明任何兩個正整數都相等.

證明：設An表示命題：若a、b為任意兩個正整數，令max（a，b）=n，則a=b.

（1）當n=1時，命題A是真的，因若max（a，b）=1，a、b又均為正整數，故最大值是1，只能是a=b=1.

（2）假設命題Ak為真，設max（a，b）=k時，a=b為真（a、b為正整數），

考察兩個整數：α=a-1，β=b-1， ①

由于式子max（a，b）=k+1， ②

與max（a-1，b-1）=k， ③

明顯是等價的，即如果a、b的最大值是（k+1）的話，則（a-1）和（b-1）的最大值明顯就是k.因此，由①式得max（α，β）=max（a-1，b-1）=k.

而根據歸納法假設Ak為真，則得α=β.即（a-1）=（b-1），故a=B.但因為②和③的等價性，則證得Ak+1為真.

由（1）（2）可知，對一切自然數r，Ar為真，對特殊的n，An為真，因此有a=b.很多學生并不能一眼發(fā)現(xiàn)其中隱匿的問題，但也明白其中是有差錯的，經過仔細檢查與討論之后很快可以發(fā)現(xiàn)假設α=a-1、β=b-1時，α、β是包含零的，但要證明的起始數為1，問題也就凸顯出來了.

3.幫助學生校正問題的分析

波利亞強調過中學數學教學就是加強解題訓練這一觀點，高中數學新課標也明確提出了數學教學應培養(yǎng)學生分析、解決問題的能力這一具體的要求.

案例3：二次函數（fx）=ax2+bx+c的圖像經過點（-1，0），且對所有實數x均成立，求函數（fx）的解析式.

參考答案：對x∈R，均有故可設x、為數軸上的三點，（fx）分x所成的比是λ（λ≥0），根據定比分點公式可得：

一部分學生在課余仍對此題的新穎思路驚艷不已并產生了這一解法是否為此類問題的普遍解法的思考.筆者趁機引導學生對此進行了討論，大家很快發(fā)現(xiàn)這一解題具備一定的合理成分，最后的答案也與題目中的條件相吻合，不過并不能代表此題只有②這一個解，相對來說，有一定的失根風險，此題的唯一解也只是一種巧合.

筆者適時引導學生嘗試運用反例來對這一問題進行了驗證，具體如下：

反例：二次函數（fx）=ax2+bx+c的圖像經過點（-1，0），且對所有實數x均成立，求函數（fx）的解析式.

評注：②式很明顯也是這一反例的解，不過類似的定比分點卻難以求出.

因為根據上述解法可解得此題的答案為：

②、③兩式雖有不同但卻都符合題意，不僅如此，滿足條件的解還遠遠不止這兩個.另外，如果將反例中的點（-1，0）改成（1，1），運用之前的解法是無法求出（fx）的，但②式明顯是符合條件的，由此可見，上述解法在邏輯上是存在一定漏洞的.

4.催化學生的思維創(chuàng)新

數學教學自然包含培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維這一重要的課題，因此，教師在實際教學中引導學生發(fā)現(xiàn)新知并鼓勵創(chuàng)新也就變得尤為重要了，創(chuàng)設情境并引導學生進行探索性問題訓練、提出命題、改變命題、嘗試多種解題都是促進學生發(fā)現(xiàn)新知并獲得思維創(chuàng)新鍛煉的良好途徑，“證偽”思想在鍛煉學生創(chuàng)新思維的過程中也是極有意義的.

案例4：已知數列{an}為等比數列，Sn為其前n項之和，求證：S7，S14-S7，S21-S14成等比數列.

這是一節(jié)公開課上的例題，執(zhí)教老師在此題的解決上運用了兩種方法并對學生提問：“能不能不改變題目的前提并將其一般化，問：如果k∈N*，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k是否成等比數列呢？”

大部分的學生面對這一問題毫不猶豫：“成立！”

執(zhí)教老師：“如何解決這一問題呢？”

有學生踴躍舉手，但執(zhí)教老師感覺上課的主題還未接觸，唯恐學生的解題會耽誤課堂教學的進程而稍有猶豫，但很快考慮到學生積極性與探求欲望的保護便請該學生進行了解題描述.

該生表達比較清晰：“我認為這三項不一定能成等比數列，比如以下數列：1，-1，1，-1，1，-1，…是等比數列，不過S2=S4-S2=S6-S4=0卻不是等比數列！”

執(zhí)教老師和學生對該生的發(fā)言都很驚訝，教師對于該生的精彩發(fā)言進行了鼓勵并引導學生嘗試反例的列舉，學生經過一定的討論之后仍未有所收獲，執(zhí)教老師于是給出了自己的想法：“老師倒是有一個反例，不過同學們的知識水平或許有點跟不上，不過有興趣的同學在課后可以嘗試著琢磨琢磨.”例子如下：

等比數列{an}中，首項a1=1，公比但S7=S14-S7=S21-S14=0，因此，此時S7，S14-S7，S21-S14也不是等比數列.

總之，“證偽”思想在高中數學教學中的運用能夠更好地促進學生對知識的探求，不過，也不是所有的數學學習都必須運用這一思想，教師在一些較難掌握、容易混淆、容易造成迷惑的數學知識的教學中可以將“證偽”思想的實踐運用引進課堂，以促成學生更好地掌握知識.