數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)在解題體驗(yàn)中“落地”
——以2018年江蘇卷第13題為例

☉江蘇省如東高級中學(xué) 郭 偉

數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)，它包含了：理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等數(shù)學(xué)能力.眾所周知，數(shù)學(xué)解題活動(dòng)需要通過計(jì)算、推理來實(shí)現(xiàn)，因此，解題教學(xué)是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的有效手段.顯然，那種“就題論題”、“題海戰(zhàn)術(shù)”式的解題教學(xué)是無法承載發(fā)展核心素養(yǎng)的重任，那么，數(shù)學(xué)運(yùn)算如何在解題教學(xué)中“落地”呢？

一、問題剖析：體驗(yàn)運(yùn)算之勢

題目（2018年江蘇卷第13題）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為______.

剖析：如圖1，此題以三角形邊角之間的關(guān)系為問題背景，考查學(xué)生綜合運(yùn)用各種知識解三角形的能力.由于本題要求的結(jié)果是4a+c的最小值，而最值的一般套路往往是轉(zhuǎn)化為函數(shù)或基本不等式來求解，因此，本題的解題方向是明確的，解題的難點(diǎn)在于找到一組關(guān)于a、c的等量關(guān)系式，這其實(shí)就是在考查學(xué)生的運(yùn)算能力，即把題目條件中的幾何關(guān)系式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，然后通過運(yùn)算來獲得關(guān)于a、c的等式.我們把題目中的幾何條件與可能對應(yīng)的代數(shù)表示用一張表格列出來，這樣容易找到解題的突破口.

圖1

幾何條件 可能的代數(shù)表示∠ABC=120° 用向量的夾角表示、用余弦定理或正弦定理表示∠ABC的平分線交AC于D用內(nèi)角平分線定理表示、用向量共線定理表示、利用面積關(guān)系進(jìn)行表示BD=1 作為三角形的一條邊，利用余弦定理、正弦定理的表示

通過上述表格分析，本題有兩種解答視角：幾何與向量.每種視角又可以細(xì)分為若干種方法.通過對問題進(jìn)行多重視角的分析與解答，學(xué)生經(jīng)歷不同的運(yùn)算表示，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)得到充分的發(fā)展.

二、幾何視角：體驗(yàn)運(yùn)算之巧

在數(shù)學(xué)知識中，幾何關(guān)系雖然直觀，但其內(nèi)部蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系卻比較復(fù)雜，往往相互依賴，共生共存，這就給問題的解決提供了多重思維視角.立足不同幾何關(guān)系獲得的解題思路，在運(yùn)算上看似大相徑庭，但到最后都會(huì)殊途同歸，讓人感到異曲同工之妙.

1.根據(jù)面積表示等量關(guān)系

角平分線BD把△ABC分成兩部分，因此整個(gè)三角形的面積就是兩個(gè)小三角形面積之和.如果能夠把這個(gè)兩個(gè)小三角形面積表示出來，就能得到一個(gè)等量關(guān)系.

解法一：因?yàn)镾△ABC=S△ABD+S△BCD，所以acsin120°=化簡得，ac=c+a?所以4a+c=（4a+c）當(dāng)且僅當(dāng)c=2a，即a=，c=3時(shí)等號成立，所以4a+c的最小值為9.

2.結(jié)合內(nèi)角平分線性質(zhì)利用正弦定理表示等量關(guān)系

解法二：因?yàn)锽D是角平分線，因此三角形滿足內(nèi)角平分線的性質(zhì)，即于是AD與DC就可以用三角形的邊a，b，c表示出來，接下去就可以利用正弦定理列出邊角之間的等量關(guān)系.

3.結(jié)合內(nèi)角平分線性質(zhì)利用余弦定理表示等量關(guān)系

解法三：其實(shí)，還可以用余弦定理表示邊角之間的等量關(guān)系.在△ABD與△CBD中，利用余弦定理得到因?yàn)樗园褍墒较喑没喌茫╝+c）（a-c）=（a-c）ac，即a=c或ac=c+a.

若a=c，因?yàn)锽D=1，所以a=c=2，則4a+c=10；若ac=c+a，后續(xù)的做法和前面一致.最后得到4a+c的最小值為9.

4.利用圖形隱藏的幾何性質(zhì)表示等量關(guān)系

解法四：如圖2，過D點(diǎn)作DE∥AB交BC于E.這樣作輔助線的好處有兩點(diǎn)，一是可以利用平行相似比列等式，二是把分散在不同位置的幾何性關(guān)系集中到一處，解法更加簡潔.

圖2

顯然，有∠DBE=∠BDE=60°，所以△BDE是正三角形，則BD=DE=EB=1，EC=a-1.由化簡得ac=c+a.

除了上述輔助線的畫法，我們還有其他的畫法，如圖3所示，過A作AE∥BC交BD延長線于點(diǎn)E.所以∠E=∠CBD=∠ABD=60°，所以∠BAC=60°，故△ABE為等邊三角形，所以AE=BE=AB=c.因?yàn)锽D=1，則DE=c-1.由AE∥BC得

圖3

綜上，盡管考慮問題是視角不同，運(yùn)算的式子不同，最后都能得到ac=c+a這一關(guān)鍵等式，“條條大路通羅馬”，這就是運(yùn)算的奧妙所在.

三、向量視角：體驗(yàn)運(yùn)算之法

向量是溝通代數(shù)、幾何、三角的橋梁，是重要的解題工具.相比于一般的幾何法，向量法的優(yōu)點(diǎn)在于運(yùn)算套路基本固定.它一般遵循兩大運(yùn)算法則：一是基向量法則，二是坐標(biāo)運(yùn)算法則.

1.運(yùn)用基向量運(yùn)算借助共線定理表示等量關(guān)系

2.運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算借助共線定理表示等量關(guān)系如圖4，以B為原點(diǎn)，BC為x軸建立直角坐標(biāo)系，

圖4

四、拓展變式：體驗(yàn)運(yùn)算之本

題目的拓展與變式對于發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算核心素養(yǎng)具有重要的作用，在類比中提煉出某類問題的通解通法，形成程序化的解題策略；在對比中完善和發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，培養(yǎng)科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇跃?，這才是運(yùn)算的根本價(jià)值之所在.本題的運(yùn)算主要涉及到“角平分線性質(zhì)”與“基本不等式求最值”兩個(gè)知識點(diǎn)，因此，可以圍繞著這兩個(gè)方面進(jìn)行拓展與變式.

【題組一】角平分線性質(zhì)的應(yīng)用

變式1：如圖5，在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且a2+c2=b2-ac，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，1，則cosC=______.

圖5

變式2：在△ABC中，AD是∠A的平分線，若則AD的取值范圍是______.

變式3：在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，∠A的平分線交BC于D，且則S△ABC=______.

意圖：通過多重視角挖掘角平分線的幾何性質(zhì)，把幾何性質(zhì)代數(shù)化，列出等量關(guān)系，通過運(yùn)算獲得相關(guān)的結(jié)論，從而掌握這一類問題的解題套路，提升學(xué)生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力.

【題組二】基本不等式的應(yīng)用

拓展1：已知A，B，C是平面上任意三點(diǎn)，BC=a，CA=b，AB=c，則的最小值是______.

解析：由b+c≥a，得

拓展2：已知正數(shù)x，y滿足的最小值為______.

解析：由得到x+y=xy，則所以9x+4y=（9x+

意圖：上述兩道求最值的拓展性問題用到了相對比較復(fù)雜的運(yùn)算技巧，這也是學(xué)生在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)需要掌握的.通過問題的解答，進(jìn)一步提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

學(xué)生通過不斷的解題體驗(yàn)，獲得情感體驗(yàn)，激活其數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)運(yùn)算的技巧在情感交融狀態(tài)中達(dá)到一種理解和心領(lǐng)神會(huì)，從而使數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的構(gòu)建由膚淺逐步走向深入.