有限元法在斷裂力學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：斷裂力學(xué)是研究帶缺陷或裂紋的物體或構(gòu)件強(qiáng)度的學(xué)科，是力學(xué)的一個(gè)分支。本文主要講述了斷裂力學(xué)的發(fā)展、有限元應(yīng)用于斷裂力學(xué)所做的研究。

關(guān)鍵詞：斷裂力學(xué)；有限元法；應(yīng)用

1 緒論

斷裂力學(xué)是固體力學(xué)的一個(gè)分支，將缺陷模型簡(jiǎn)化為裂紋，研究裂紋對(duì)物體或構(gòu)件強(qiáng)度的影響，即討論裂紋體的強(qiáng)度規(guī)律和裂紋在物體中運(yùn)動(dòng)規(guī)律。它研究裂紋的起裂條件、擴(kuò)展過(guò)程以及擴(kuò)展到什么程度時(shí)物體會(huì)發(fā)生斷裂。彌補(bǔ)了常規(guī)強(qiáng)度設(shè)計(jì)方法不能處理裂紋的不足。[1]

歷史上，因斷裂發(fā)生的工程事故不在少數(shù)。因此，在傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)思路中加入了斷裂的概念，宏觀的斷裂力學(xué)孕育而生。

2 斷裂力學(xué)的發(fā)展

1921年，Griffith 的脆性斷裂理論問(wèn)世，是斷裂力學(xué)的先導(dǎo)。后經(jīng)Irwen、Orowan等人的修改之后也能適用于鋼材了。[2]1957年，Irwin提出了應(yīng)力強(qiáng)度因子理論，形成了線性斷裂力學(xué)的體系。1965年，Wells根據(jù)大量實(shí)驗(yàn)提出了裂紋尖端開位移準(zhǔn)則。1968年，Rice和Cherepanov提出了路徑無(wú)關(guān)的J積分。同年Hutchinson等人建立了著名的HRR奇性場(chǎng)，為彈塑性斷裂力學(xué)奠定了重要的理論基礎(chǔ)。1972年，Begley和Landes基于塊體試樣的彈塑性斷裂實(shí)驗(yàn)，提出了以J積分為控制參量的斷裂準(zhǔn)則。1974年，Sih提出了能量密度因子理論。1994年，ODowd等人提出了J.Q雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則。1995年，魏悅廣和王自強(qiáng)基于斷裂尖端高階場(chǎng)分析提出J.k斷裂準(zhǔn)則。[3]

斷裂力學(xué)起步的晚，目前仍在發(fā)展階段。發(fā)展方向從線彈性到彈塑性；從靜態(tài)斷裂到動(dòng)態(tài)斷裂；從宏觀微觀分離到宏觀與微觀結(jié)合；從確定性方法到概率統(tǒng)計(jì)性方法。[4]

3 有限元法在斷裂力學(xué)中的應(yīng)用

有限元法是解決斷裂力學(xué)中裂紋問(wèn)題的最有力的數(shù)值工具之一。

Hrennikoff于1941年，McHenry于1943年用線（一維）單元（桿和梁）求解了連續(xù)體中的應(yīng)力，從而在20世紀(jì)40年代開始了有限元在結(jié)構(gòu)化工程領(lǐng)域的現(xiàn)代發(fā)展。更多有限元的發(fā)展情況，文獻(xiàn)[5]做了詳述。

Christen，Denke等人在60年代初用常規(guī)元計(jì)算二維裂紋尖端的應(yīng)力和位移場(chǎng)。60年代末以后，Kobayashi，Wilson等人用有限元法模擬了二維裂紋尖端的奇異場(chǎng)。

從70年代初到80年代初有限元法主要集中用于研究裂紋尖端奇異場(chǎng)的模擬。國(guó)際上許多斷裂力學(xué)工作者提出了各種類型的奇異單元。例如Barsoum等人將八節(jié)點(diǎn)四邊形單元的中間節(jié)點(diǎn)移動(dòng)到四分之一位置提出了四分之一節(jié)點(diǎn)奇異等參元，獲得了裂紋尖端的精確解。1974年，Blenzley提出了一種包含角點(diǎn)奇異點(diǎn)的廣義四邊形有限元方法，并給出了裂紋尖端奇異性的例子。[6]在這之后，應(yīng)力雜交奇異元、唯一雜交奇異元、雜交混合奇異元等單元相繼被提出。

對(duì)于斷裂動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，動(dòng)態(tài)裂紋的傳播問(wèn)題最早由Kobayshi等人在70年代中期用有限元法進(jìn)行計(jì)算并得以解決，Anderson又將奇異單元用在了該問(wèn)題的分析上。80年代中期，國(guó)際上有許多的學(xué)者用有限元法對(duì)各種二維裂紋問(wèn)題進(jìn)行了精確的分析。

對(duì)于韌性斷裂問(wèn)題，在60年代中期，Swedlow等人用有限元法計(jì)算裂紋尖端的塑性流動(dòng)和裂紋對(duì)板厚的影響。在70年代初到80年代末將近20年的時(shí)間里，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)對(duì)裂紋問(wèn)題進(jìn)行了大量的有限元分析，包括裂紋尖端的塑性區(qū)、裂紋尖端的HRR場(chǎng)、J積分、裂紋尖端的張開位移、裂紋的尖端鈍化、有限變形的影響、裂紋的韌性擴(kuò)展和蠕變斷裂等問(wèn)題。[7]

而對(duì)于三維斷裂問(wèn)題，有限元法的主要思想就是二維方法進(jìn)行了推廣。

由此可見(jiàn)，有限元方法已廣泛用于彈性斷裂問(wèn)題、斷裂動(dòng)力學(xué)問(wèn)題、韌性斷裂問(wèn)題和裂紋擴(kuò)展等斷裂問(wèn)題的研究。

在用常規(guī)有限元為斷裂問(wèn)題打下基礎(chǔ)后，在此基礎(chǔ)上發(fā)展出了很多新的有限元方法用來(lái)更好地解決斷裂問(wèn)題。例如，20世紀(jì)末被提出的擴(kuò)展有限元法（XFEM），它允許你可以在不重新劃分網(wǎng)格的情況下計(jì)算裂紋擴(kuò)展。還有解決特殊問(wèn)題的ICCI M方法，超網(wǎng)格法，混合有限元法；用于動(dòng)態(tài)斷裂問(wèn)題的時(shí)域有限元法，用于細(xì)觀問(wèn)題的單元消失法、自洽有限元法、隨機(jī)有限元法和有限樣條法；用于三維裂紋問(wèn)題以及用于界面裂紋問(wèn)題的各種新型單元及單元法等等。[8]

4 結(jié)語(yǔ)

從發(fā)展來(lái)看，線彈性斷裂問(wèn)題和二維斷裂問(wèn)題都已研究的很成熟，彈塑性、塑性和三維斷裂問(wèn)題中數(shù)值研究正在邁向更為成熟的階段。因?yàn)橛邢拊治鼍哂型ㄓ眯詮?qiáng)、有效性高、易于實(shí)現(xiàn)的性質(zhì)，所以在工程中被廣泛應(yīng)用。而有限元法作為一種技術(shù)更多的是與有限元軟件的發(fā)展緊密的結(jié)合起來(lái)，例如現(xiàn)下大型的商業(yè)有限元軟件ABAQUS、ANSYS等等，對(duì)于很多工程問(wèn)題能夠很好的進(jìn)行分析。而且，現(xiàn)在為了更好地解決斷裂問(wèn)題，有限元軟件的二次開發(fā)領(lǐng)域的強(qiáng)大功能在被不斷地開發(fā)出來(lái)，并成為斷裂問(wèn)題分析應(yīng)用的一大主流方向。

參考文獻(xiàn)：

[1]張曉敏，等.斷裂力學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2012.

[2]岡村弘之.線性斷裂力學(xué)入門[M].南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，1981.

[3]王自強(qiáng)，等.高等斷裂力學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2009.

[4]單丙娟.淺談斷裂力學(xué)的發(fā)展與研究現(xiàn)狀[J].內(nèi)蒙古石油化工，2007.（7）：55.56.

[5]DaryI L.Logan.有限元方法基礎(chǔ)教程（第五版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2014.

[6]Naoto Sakakibara.Finite Element Method in Fracture Mechanics.2008.

[7]黃玲珍，等.計(jì)算斷裂力學(xué)研究的現(xiàn)狀與進(jìn)展[J].吉林工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1995（1）：120.124.

[8]周愛(ài)細(xì)，等.計(jì)算斷裂力學(xué)進(jìn)展[J].甘肅工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1998.24（1）：111.116.

作者簡(jiǎn)介：肖玥（1992.），女，碩士，研究方向：結(jié)構(gòu)工程。