高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何有效應(yīng)用數(shù)形結(jié)合初探

李新繼

一、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位

從高考命題中來(lái)看，近幾年來(lái)，高考命題朝著多樣性和多變性的方向發(fā)展，增加了一些轉(zhuǎn)化的題型，重在考查學(xué)生對(duì)知識(shí)理解的準(zhǔn)確性、深刻性、重在考查知識(shí)的綜合應(yīng)用，著眼于對(duì)數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考查。高考試題這種以能力立意的積極向?qū)?，決定了數(shù)學(xué)教學(xué)中必須以數(shù)形結(jié)合思想指導(dǎo)知識(shí)、方法的應(yīng)用，整體把握各部分的知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。數(shù)形結(jié)合在每年的高考中應(yīng)用比較多，如能從中發(fā)現(xiàn)圖形和數(shù)量之間存在的關(guān)系，并準(zhǔn)確畫(huà)圖，那么就能很快得出正確答案。

從知識(shí)形成的角度來(lái)看，利用數(shù)形結(jié)合，能夠化抽象為具體，有利于數(shù)學(xué)概念的理解和記憶。主要體現(xiàn)為：

（1）利用數(shù)形結(jié)合，容易揭示數(shù)學(xué)概念的來(lái)龍去脈。

（2）利用數(shù)形結(jié)合有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解。

（3）利用數(shù)形結(jié)合，為概念賦予圖形信息，幫助學(xué)生利用圖形信息來(lái)理解記憶概念以及相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行應(yīng)用。如：在對(duì)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行理解和記憶時(shí)，就在圖象的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，由圖象的位置、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)、對(duì)稱性、上升、下降等，就能說(shuō)出相關(guān)的定義域、值域、最大植、最小值、極值點(diǎn)、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)。

二、常用的幾種數(shù)形結(jié)合方式

通過(guò)總結(jié)，常用的數(shù)形結(jié)合方式主要有一下幾種：

（1）利用函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合

對(duì)于求不等式的解、關(guān)于三角函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的值域、最值問(wèn)題等類型的題多采用此種數(shù)形結(jié)合方式。

（2）利用方程的圖形數(shù)形結(jié)合

常見(jiàn)于求方程解的個(gè)數(shù)，不等式的解集以及滿足某一不等式的自變量的取值范圍等題型中。

（3）利用幾何意義轉(zhuǎn)化構(gòu)造

以幾何元素為背景建立起來(lái)的概念，如：復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等，通常根據(jù)其幾何意義轉(zhuǎn)化構(gòu)造。關(guān)鍵要善于用幾何的眼光來(lái)觀察分析代數(shù)式。

（4）利用集合的關(guān)系數(shù)形結(jié)合

對(duì)于一些集合的題目，通?？山柚氖蠄D來(lái)求解。

（5）利用向量的知識(shí)數(shù)形結(jié)合

對(duì)于一些空間幾何的題，通常建立直角坐標(biāo)系來(lái)幫助求解。

因此，數(shù)形結(jié)合的方式有多種，可能對(duì)于有些題目可以用不同的方式來(lái)解，在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)怎樣有效應(yīng)用數(shù)形結(jié)合呢？

三、在教學(xué)過(guò)程中什么時(shí)候該采用數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合方法雖然是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法，但在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)在適合的時(shí)候采用。因此，教師在講授數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合，要把數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)精心設(shè)計(jì)在教學(xué)的適當(dāng)環(huán)節(jié)中，如：在知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程中、立體教學(xué)過(guò)程中，解題訓(xùn)練過(guò)程中，復(fù)習(xí)舊知的過(guò)程中等。

1.在概念的教學(xué)過(guò)程中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合

對(duì)于一些有幾何背景的復(fù)雜概念，如果能充分利用數(shù)形結(jié)合，有助于概念的理解的記憶。

2.在解題教學(xué)中充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合

（1）函數(shù)方面應(yīng)用數(shù)形結(jié)合

在解題教學(xué)中，很多類型的題都可以用數(shù)形結(jié)合來(lái)解，而且速度快，效率比較高。在一般函數(shù)中，求函數(shù)的值域、最值問(wèn)題中應(yīng)用比較多，在這類題型中，多是給出了一些函數(shù)解析式或者自變量滿足的某個(gè)方程等，求某一函數(shù)的最值。其中函數(shù)和方程大多都有明顯的幾何意義，作出它的圖象，從圖象中觀察求出最值（其中最常見(jiàn)的是將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為某一直線的斜率）。在三角函數(shù)中應(yīng)用主要是從圖象中來(lái)分析函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性.

（2）在不等式方面應(yīng)用數(shù)形結(jié)合

在求一元二次不等式的解中，一般是由相應(yīng)的一元二次方程的根確定函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，通過(guò)觀察圖象得出其解。如果不應(yīng)用這種方法，就要用取點(diǎn)法判斷不等式的解集是取兩邊還是中間。

對(duì)于滿足某一不等式的自變量的取值范圍（如： ）這種形式的，通常把不等號(hào)左右兩邊的設(shè)為兩個(gè)函數(shù)，根據(jù)圖象中兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)來(lái)確定自變量的取值范圍。

（3）在集合方面應(yīng)用數(shù)形結(jié)合

對(duì)于一些題型，其中有幾個(gè)事件同時(shí)包含一個(gè)事物，如：“35個(gè)同學(xué)同時(shí)有A、B兩種書(shū)”等的問(wèn)題，涉及到集合的關(guān)系，通?？梢杂梦氖蠄D來(lái)表示集合之間的關(guān)系。

小結(jié)：實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：

（1）實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

（2）實(shí)現(xiàn)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系，常見(jiàn)于求函數(shù)的值域、最值問(wèn)題中，其中三角函數(shù)是常見(jiàn)的一種；

（3）曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，常用于求方程的解的個(gè)數(shù)，不等式的解集以及滿足某一不等式的自變量的取值范圍等。

（4）以幾何元素為背景建立起來(lái)的概念，如：復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等，通常根據(jù)其幾何意義轉(zhuǎn)化構(gòu)造。關(guān)鍵要善于用幾何的眼光來(lái)觀察分析代數(shù)式。如：將 與距離轉(zhuǎn)化，將 或 與面積轉(zhuǎn)化，將 與兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理溝通等等。如此看到所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，要能想象它是否具有明顯的幾何意義。

但是，數(shù)形結(jié)合的方法不是萬(wàn)能的，它也有一定的局限性：（1）在數(shù)形結(jié)合的使用過(guò)程中，圖形描繪的顯然不能達(dá)到百分百的精確，特別是較為復(fù)雜的圖形，給人造成一定的錯(cuò)覺(jué)，容易將我們局限在幾何的圈子里，這樣在解題時(shí)就很容易出錯(cuò)；（2）數(shù)式問(wèn)題不一定存在簡(jiǎn)潔的圖形背景，數(shù)形轉(zhuǎn)化的技巧性較高，這對(duì)于在講授課程中是一個(gè)難點(diǎn)；（3）并非每道題都可應(yīng)用數(shù)形結(jié)合來(lái)求解，對(duì)于一些簡(jiǎn)單的題目如果采用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解，可能會(huì)因?yàn)閳D形畫(huà)得不精確等而出錯(cuò)。

因此，在面對(duì)具體的題目時(shí)，是用代數(shù)法還是用數(shù)形結(jié)合法，要進(jìn)行具體分析，靈活運(yùn)用，但一定要把數(shù)形結(jié)合法作為一種基本思路。主要考慮以下幾個(gè)問(wèn)題：（1）該題可以用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解嗎？（2）如果不用數(shù)形結(jié)合能不能簡(jiǎn)單的解決？（3）那種方法更簡(jiǎn)單？通過(guò)比較后選擇比較簡(jiǎn)單的一種方法。

四、回顧與展望

這篇文章主要從概念教學(xué)、解題教學(xué)以及數(shù)形結(jié)合的五種方式來(lái)闡述高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何有效應(yīng)用數(shù)形結(jié)合。通過(guò)這篇文章，在今后的數(shù)學(xué)教學(xué)中大體知道哪種類型的題適合用數(shù)形結(jié)合方法以及采用怎樣的數(shù)形結(jié)合方式；當(dāng)一道題可以用幾種方法來(lái)解時(shí)，能快速的找到比較簡(jiǎn)單的方法，使得在今后的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中合理、有效的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合。

由于種種原因，這篇論文寫(xiě)的不夠深入，細(xì)致，還存在很多不足的地方，比如：對(duì)題型的歸類不是很嚴(yán)謹(jǐn)；在數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用過(guò)程中，如何避免因它的局限性所帶來(lái)的誤導(dǎo)；在教學(xué)過(guò)程中如何將數(shù)形結(jié)合與教學(xué)內(nèi)容銜接起來(lái)等問(wèn)題。