電場(chǎng)中類單擺運(yùn)動(dòng)和彈簧的一維振動(dòng)類比

余晨華

類單擺運(yùn)動(dòng)是高中物理中常見(jiàn)的一種運(yùn)動(dòng)，由于多加了一些力，中學(xué)生經(jīng)常會(huì)感到無(wú)從下手，對(duì)過(guò)程分析感到比較迷茫，對(duì)問(wèn)題中的平衡位置不太清楚。為提高學(xué)生解決此類問(wèn)題的能力，我們以一道例題展開(kāi)分析，如下例題1。

例題1：如圖1所示，在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，用一絕緣細(xì)線懸掛一個(gè)帶電小球，其平衡位置為圖中a點(diǎn)，現(xiàn)把小球拉到最低點(diǎn)b靜止釋放，則小球 從b到a的過(guò)程中電勢(shì)能和重力勢(shì)能的改變量ΔE應(yīng)為（ ）A. ΔE>0 B. ΔE<0 C. ΔE=0 D. 無(wú)法確定

該題為“類單擺”運(yùn)動(dòng)的一種常見(jiàn)類型，即帶電小球在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)和單擺運(yùn)動(dòng)相似，但實(shí)際并不是單擺運(yùn)動(dòng)，它不符合單擺運(yùn)動(dòng)的條件，再加上電場(chǎng)環(huán)境，則解題難度增加。題上說(shuō)a點(diǎn)為平衡位置，中學(xué)生很容易錯(cuò)認(rèn)為小球到a點(diǎn)靜止，其實(shí)平衡位置是物體所受指合外力為零，加速度為零的位置，而不是物體靜止的位置，這時(shí)速度應(yīng)該是最大的。這是中學(xué)生容易混淆的知識(shí)點(diǎn)，是學(xué)生對(duì)小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析不透徹的體現(xiàn)。

從能量的角度來(lái)看，帶點(diǎn)小球從b到a運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，動(dòng)能、電勢(shì)能、重力勢(shì)能之和保持不變，從b到a運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，動(dòng)能增加，所以在此過(guò)程中，電勢(shì)能和重力勢(shì)能之和減少，即ΔE<0。關(guān)于“從b到a運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，動(dòng)能增加”可從受力和運(yùn)動(dòng)的角度分析，對(duì)小球進(jìn)行受力分析，小球受到重力，細(xì)線的拉力，以及水平向右的電場(chǎng)力，而重力與電場(chǎng)力的合力F是一個(gè)恒力，大小和方向是不會(huì)改變的，與類重力場(chǎng)相似，可以從合力F的角度看過(guò)去，與O與平衡位置a點(diǎn)連線是平行的。拉力的方向與速度的方向互相垂直，因此在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中拉力是不做功的，因此我們只需要看重力與電場(chǎng)力的合力F的做功情況，可以知道，小球在由b到達(dá)a的過(guò)程中，F(xiàn)與速度是銳角關(guān)系，故F做正功，小球的動(dòng)能一直增大，而到達(dá)平衡位置a的時(shí)候，小球受力平衡，即合外力為0，此時(shí)F與速度垂直，小球速度達(dá)到最大，接下來(lái)小球由于慣性將繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)，則速度方向與F成鈍角，F(xiàn)做負(fù)功，小球動(dòng)能隨著運(yùn)動(dòng)逐漸減小至b，再接下來(lái)，小球返回，依次經(jīng)過(guò)a和b，其中仍然在a點(diǎn)速度達(dá)到最大，小球就這樣做著往復(fù)運(yùn)動(dòng)，如圖2所示。

整個(gè)過(guò)程都是重力與電場(chǎng)力的合力F在做功，因此速度的變化具有對(duì)稱性，且平衡位置也是固定不變的，因此，筆者聯(lián)想到，這與彈簧振子的簡(jiǎn)諧振動(dòng)在速度上的變化特征相似，因此完全可以將本題套在彈簧振子模型上來(lái)分析、求解。只是彈簧振子在一維直線空間運(yùn)動(dòng)，而本題的小球在二維平面運(yùn)動(dòng)，這是與一維空間的不同之處。下圖3為一水平放置在桌面上的彈簧振子（桌面光滑）。

設(shè)O為彈簧振子的平衡位置，則O點(diǎn)相當(dāng)于上題中的a點(diǎn)，彈簧振子在平衡位置速度最大，由平衡位置向兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度均減小，由兩邊向平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí)速度均增大。因此，電場(chǎng)中的類單擺問(wèn)題，其實(shí)與簡(jiǎn)諧振動(dòng)中彈簧振子的運(yùn)動(dòng)特征相似，做題時(shí)，可以將小球的運(yùn)動(dòng)與彈簧振子的運(yùn)動(dòng)類比學(xué)習(xí)，他們對(duì)彈簧振子的運(yùn)動(dòng)較為熟悉，因此這樣對(duì)他們來(lái)說(shuō)，更容易理解一點(diǎn)。

靜電場(chǎng)中的小球和彈簧振子中的小球均為研究對(duì)象，a點(diǎn)和O點(diǎn)均為平衡位置，小球到達(dá)平衡位置時(shí)速度均為最大值，電場(chǎng)力和重力的合力F的作用和彈簧彈力的作用類似，類比彈簧振子中小球的運(yùn)動(dòng)，可知電場(chǎng)中小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。

這樣分析，將二維平面帶電小球的運(yùn)動(dòng)類比簡(jiǎn)化為一維直線上彈簧振子的運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)化了問(wèn)題情景的難度，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，理解起來(lái)更為容易，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)掌握能力，鍛煉學(xué)生的思維能力。