淺談核心素養(yǎng)導向下“曲邊梯形的面積”的教學

甄榮

隨著課程改革的不斷深入，學生核心素養(yǎng)的培育越來越為人們所關注。提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)是高中數(shù)學教學活動的發(fā)展去向。提升數(shù)學核心素養(yǎng)是一個長期的、動態(tài)的、循序漸進的過程，不是一蹴而就的。作為高中一線教師，我們必須認真思考如何基于核心素養(yǎng)來設計和實施數(shù)學課程，深化學生的數(shù)學思維以及學生“用數(shù)學”的自覺性。本文以《曲邊梯形的面積》為例，從提升學生分析力、增強學生創(chuàng)造力、提升學生思考力、增強學生實踐力等方面闡述了對核心素養(yǎng)視角下高中數(shù)學教學的一些思考。

創(chuàng)設問題情境，提升學生的分析能力

一個好的問題情境可以開啟學生對新問題的研究，促使其用數(shù)學眼光觀察情境、用數(shù)學思維分析問題?！肚吿菪蔚拿娣e》一課可以設計如下問題情境：小方塊狀的瓷磚為什么能貼出拱形建筑？讓學生直觀感受“曲”與“直”的矛盾，感悟數(shù)學具有現(xiàn)實的性質，促使學生思考，為后續(xù)教學中“以直代曲”思想的形成做好鋪墊。

注重數(shù)學歷史，增強學生的創(chuàng)造能力

陳玉嬋在《如何讓數(shù)學文化在中學課堂中綻放魅力》一文中提到“科學只能給我們知識，而歷史卻能給我們智慧”，讓學生了解知識的產(chǎn)生、發(fā)展歷程，可以拓寬學生的視野。在此基礎上學生可以進行合理的借鑒和創(chuàng)新，建構新知，增強學生的創(chuàng)造能力。

《曲邊梯形的面積》一課中設計了這樣的數(shù)學史內容：一是，劉徽以極限思想為指導，提出用“割圓術”來求圓周率，既大膽創(chuàng)新，又嚴密論證，從而為圓周率的計算指出了一條科學的道路。

二是，古希臘數(shù)學家阿基米德通過計算邊數(shù)倍增的圓外切和內接正多邊形的周長來求圓周率的近似值，阿基米德用到了迭代算法和兩側數(shù)值逼近的概念，稱得上是“計算數(shù)學”的鼻祖。

講割圓術，讓學生初步體會“以直代曲”和“逼近”的思想。介紹圓內接和外切正多邊形逼近圓的過程，為后面提出“不足近似”和“過剩近似”埋下伏筆。

立足學生思維，提升學生的思考能力

教師要站在高觀點下進行數(shù)學教學設計，關注學生思維發(fā)展的特征，激發(fā)學生認知上的不平衡，把數(shù)學知識的建構活動不斷引向深入，引導學生用數(shù)學的方法和視角分析問題，解決問題，切實提高其思考能力。

《曲邊梯形的面積》一課為了幫助學生建立解決曲邊梯形面積問題的基本經(jīng)驗，先考慮一個特殊的問題：如何求由拋物線，直線，所圍成的平面圖形的面積？

針對這個特例，設計了以下幾個問題：

問題1 ：你打算怎樣計算這個曲邊圖形的面積？具體怎樣操作？（分割）

問題2 ：每個小曲邊梯形的面積如何計算，能用什么圖形代替？（以直代曲、近似代替）

問題3 ：如何得到整個曲邊三角形面積的近似值？（求和）

問題4 ：直邊圖形的面積怎樣才能越來越接近曲邊三角形面積的準確值？能否得到準確值？（取極限）

問題5： 用每個小區(qū)間的右端點的函數(shù)值作為近似值計算曲邊三角形的面積，結果是否一樣？（“不足近似”和“過剩近似”）

問題6 ：用每個小區(qū)間的左、右端點的函數(shù)值作為近似值計算曲邊三角形面積得到的結果相同，如果用每個小區(qū)間任意一點處的函數(shù)值作近似代替，是否也可以求出曲邊三角形的面積，結果是否一樣？（“左右夾逼”，合情推理與演繹推理）

問題7 ：回顧求這個曲邊三角形面積的整個過程，你能概括出求這個曲邊三角形面積的方法嗎？（分割→近似代替→求和→取極限）

問題8 ：以上過程都是基于等分區(qū)間的，如果不等分區(qū)間行嗎？保證什么就可以？（更深層次地理解這一算法，體會其數(shù)學本質）

問題9 ：對于一般的由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積你會求了嗎？（通過從特殊到一般的推廣，再一次強化求曲邊梯形面積的方法和步驟。同時 的出現(xiàn)為后續(xù)定積分的教學做了鋪墊。）

問題10： 任意曲線所圍成的曲邊圖形的面積怎么計算？（再次經(jīng)歷一般化的過程）

通過對問題由淺入深的層層遞進，學生的思維一直處于積極的思考狀態(tài)。學生在分析問題、解決問題的過程中提升了思考能力，理解了數(shù)學本質。課堂中充分向學生滲透觀察、分析、猜想、抽象、概括、歸納、類比等各種數(shù)學思想方法，從特殊到一般，讓學生的思維空間更為廣闊，學生逐步自主完成數(shù)學學習過程，使得學生能夠在數(shù)學活動中進行“再創(chuàng)造”，這都符合數(shù)學思維的建立。

關注探究活動，增強學生的實踐能力

《曲邊梯形的面積》一課還設計了這樣兩個課外探究活動：

活動1 ：嘗試用“分割→近似代替→求和→取極限”的四部曲，驗證球體的體積公式。

活動2 ：由拋物線，直線，所圍成的平面圖形的面積為，嘗試編寫算法求的近似值，畫出程序框圖，并寫出相應語句。

這節(jié)課讓學生經(jīng)歷了知識的孕育、形成、發(fā)展、運用與拓展等完整過程，讓學生嘗試用數(shù)學眼光觀察世界、用數(shù)學思維分析世界、用數(shù)學語言表達世界。

基金項目：甘肅省教育科學“十二五”規(guī)劃2015年度 “隴原名師”專項課題“基于合作的高中數(shù)學單元教學設計的實踐研究”的研究成果（項目編號：GSGB[2015]MSZX139）