高中數(shù)學(xué)教學(xué)中思維可視化的案例實(shí)踐

胡同文 張豪

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生思維生成、發(fā)展的過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，堅持以學(xué)生為主體，教師主導(dǎo)，使用實(shí)體模型、圖形演示軟件、思維類比、程序框圖、自適應(yīng)平臺等思維可視化工具，幫助學(xué)生抽象概念、提煉模型、深度體驗(yàn)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

思維可視化的概念

思維是指：在表象、概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析、綜合、判斷、推理等認(rèn)識活動的過程。思維是人類特有的一種精神活動，是從社會實(shí)踐中產(chǎn)生的。數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是思維生成、鞏固、和發(fā)展的過程，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生知識和技能趨于系統(tǒng)化的階段，塑造良好的數(shù)學(xué)思維能力，使其一生受益。高中數(shù)學(xué)知識體系龐大，運(yùn)算量大，思維容量大，思維嚴(yán)謹(jǐn)、系統(tǒng)，學(xué)生已有的知識不夠，需要對知識貯備、技能和方法的要求進(jìn)行掌握，從而造成學(xué)生學(xué)習(xí)起來困難重重，喪失學(xué)習(xí)的信心與動力。

數(shù)學(xué)教學(xué)要聯(lián)系學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，從已有的知識、技能出發(fā)，借助思維工具，將抽象的知識具象化、將生澀難懂的知識情境化、將相同類似的知識方法歸類化，教會學(xué)生思維可視化的方法，提供給學(xué)生思維可視化的工具，將學(xué)生帶入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂境中，巧妙合理地學(xué)習(xí)新知識。

思維可視化的案例

案例一：基于實(shí)際物體模型的思維可視化教學(xué)

在三視圖教學(xué)中，多利用實(shí)體模型進(jìn)行輔助教學(xué)。學(xué)生對于空間的理解多來源于現(xiàn)實(shí)生活，利用教具正方體、長方體、柱體、椎體，可以讓學(xué)生很直觀地觀察出表面積、體積，通過正面到側(cè)面再到頂面不同方位的觀察，可以增加學(xué)生對于三視圖的理解，對于線面垂直可以用轉(zhuǎn)動中的門始終與地面垂直，讓學(xué)生從動態(tài)過程中逐步提煉出結(jié)論：門軸線始終與地面垂直。同樣地，很多時候可以讓手指代替直線，讓手掌代替平面，從而形成動態(tài)的直線與平面間的位置關(guān)系。

在空間幾何體的表面積教學(xué)中，可以使用正方體、長方體、三棱柱、三棱錐的教學(xué)模型進(jìn)行演示教學(xué)，讓學(xué)生觀察實(shí)際的模型，積累經(jīng)驗(yàn)，腦海里抽象出空間幾何體的表面積計算模型。

案例二：借助于圖形演示軟件

在正弦型函數(shù)的圖像教學(xué)中，為了幫助學(xué)生認(rèn)識利用A、w、對圖像的影響，可以使用幾何畫板（圖形計算器、MATLAB等）進(jìn)行教學(xué)。

首先，構(gòu)建好函數(shù)模型，改變其中的一個變量，觀察該變量的變化對于三角函數(shù)圖像的影響，形成學(xué)生的直觀印象。

接著，讓學(xué)生歸納各個變量的影響情況：

1.A是振幅，會影響縱向的拉伸，A值越大縱向越長，A值越小縱向越小，A值與縱向拉伸成正比。

2.W值會影響橫向的拉伸，W值越大橫向越小，W值越小橫向越伸展，W值與橫向拉伸成反比。

3.φ值的改變會影響圖像的左右平移，結(jié)合學(xué)生經(jīng)驗(yàn)容易歸納出左加右減的規(guī)律。

最后，先提出預(yù)設(shè)的圖像變化，讓學(xué)生去設(shè)計函數(shù)變化情況，逐步讓學(xué)生脫離軟件模型，內(nèi)化為自己的知識。

案例三：利用多米諾骨牌游戲類比數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)

數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)中需要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)：一是首項(xiàng)n=n0時，必須成立；二是假設(shè)n=k時成立，推導(dǎo)出n=k+1時也成立；從而得出結(jié)論都成立。

在數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)過程中，先播放一段多米諾骨牌的視頻，學(xué)生很容易進(jìn)入情境中，然后對學(xué)生提問：

1.大家發(fā)現(xiàn)這里面的什么有趣之處？答：前一個倒下后，后一個接著倒下去，從而引起連鎖反應(yīng)，不斷地倒下去，從而全部都倒下去了。

2.如果從第二項(xiàng)開始推倒，那么所有的骨牌會倒下去嗎？答：不會，第一個不會倒下去；如果從某一個開始推倒呢？答：也不會，因?yàn)榍懊娴牟粫瓜氯ァ?/p>

3.如果從第一個開始推倒，但其中有兩個骨牌隔開，那所有的骨牌也不會推倒。

4.如果前幾個骨牌倒下去，能不能令所有的多米諾骨牌倒下去？也不行，因?yàn)橐械亩嫉瓜氯ァ?/p>

當(dāng)同學(xué)們還沉浸在多米諾骨牌的氛圍中，馬上切入類比數(shù)學(xué)歸納法：其實(shí)數(shù)學(xué)歸納法類似于多米諾骨牌的游戲，關(guān)鍵也在于引起連鎖反應(yīng)，假設(shè)n=k時成立推導(dǎo)出n=k+1也成立，就相當(dāng)于多米諾骨牌的相鄰兩塊，前面一塊倒下去可以導(dǎo)致后面一塊也倒下去，這樣就能引起連鎖反應(yīng)，并且是對任意連續(xù)兩項(xiàng)都可以，前提條件是第一項(xiàng)必須成立。

案例四：程序框圖軟件實(shí)現(xiàn)程序可視化

在程序框圖的教學(xué)中，學(xué)生認(rèn)知的一個誤區(qū)就是程序要運(yùn)行結(jié)束以后才會有結(jié)果，其實(shí)不然，一個程序設(shè)計好以后，程序運(yùn)行的結(jié)果已經(jīng)確定。借助程序框圖軟件可以輕松實(shí)現(xiàn)程序過程的間斷，使學(xué)生觀察到程序運(yùn)行中變量的變化情況，例如：

的程序設(shè)計中，使用Qbasic編程：

在程序運(yùn)行的過程當(dāng)中可以很容易地進(jìn)行程序的調(diào)試，通過對更改變量S起始值、I的終值引起S的最終變化；先運(yùn)行值的交換程序發(fā)現(xiàn)不能交換a、b的值，再通過引入c的值實(shí)現(xiàn)a、b值的交換。讓學(xué)生通過對結(jié)果變化的觀察，倒回去思考流程中的變化情況，從而得出電腦的運(yùn)行方式是很單一的，即嚴(yán)格地按照步驟執(zhí)行程序語言，也就要求學(xué)生特別注意程序語言的格式規(guī)范，通過編寫程序，體驗(yàn)電腦運(yùn)算的便捷，學(xué)會程序性思維方式。

案例五：借助自適應(yīng)平臺復(fù)習(xí)，構(gòu)建知識框架圖

數(shù)學(xué)的知識是體系化的，既有基本的知識點(diǎn)、概念的教學(xué)，又有方法類型的概括，通過思維導(dǎo)圖構(gòu)建知識框架圖，讓學(xué)生的知識形成體系，形成版塊性的知識點(diǎn)。借助每周在自適應(yīng)平臺的練習(xí)，可以生成全班的學(xué)習(xí)記錄，錯誤的題自動加入錯題庫，定期進(jìn)行清理，對每位同學(xué)的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行診斷，對于已經(jīng)學(xué)習(xí)好的知識點(diǎn)略講，未學(xué)透的知識點(diǎn)著重講。幫助教師掌握班級學(xué)習(xí)情況，制定適合的教學(xué)方案。通過思維導(dǎo)圖建立知識體系，自適應(yīng)平臺測評學(xué)習(xí)情況，使得教師和學(xué)生的學(xué)習(xí)針對性更強(qiáng)，學(xué)習(xí)效率得到提升。

思維可視化教學(xué)的原則

注重主體型思維，重視學(xué)生的主體性

主體型思維是以思維主題為標(biāo)準(zhǔn)，對思維進(jìn)行因素分析的分類而得到的因素類思維。注重學(xué)生的主體型思維，任何教學(xué)方式都要以學(xué)生為中心，以學(xué)生的思維為起點(diǎn)，以學(xué)生的活動為載體，以學(xué)生思維的發(fā)展為目的。

選擇思維工具教學(xué)時，要基于學(xué)生已有的知識體系、技能方法、思維層次，找到適合學(xué)生學(xué)習(xí)的方式類型。學(xué)生作為教學(xué)活動的主體，參與課堂的程度直接決定課堂的成效。

注重上升性思維，強(qiáng)化教師的引導(dǎo)力

教師要采取恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段和措施，從引導(dǎo)，到半扶持，再到放手，讓學(xué)生逐步從“學(xué)會”到 “會學(xué)”，真正成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人。教師對于整個章節(jié)的把握，直接影響到課程內(nèi)容設(shè)計、內(nèi)容選擇、課程實(shí)施，師生的思維的交互，提供在學(xué)生需要的時候。教師的個人風(fēng)格、自身的綜合素養(yǎng)也會對學(xué)生的學(xué)習(xí)造成影響，正所謂“親其師，信其道”。

注重探究式思維，強(qiáng)化課程內(nèi)容體驗(yàn)

注重探究式教學(xué)，強(qiáng)調(diào)深度學(xué)習(xí)。幫助學(xué)生理順?biāo)悸?，根?jù)馬斯洛的多元認(rèn)知理論，圖像的知識覆蓋比直接講解要多，可以適當(dāng)?shù)丶尤雸D片，函數(shù)圖像，實(shí)體模型等，符合學(xué)生的學(xué)習(xí)和認(rèn)知習(xí)慣，利用思維可視化工具可以幫助學(xué)生很容易地獲得直觀經(jīng)驗(yàn)，但是在教學(xué)活動中，學(xué)生學(xué)習(xí)的獲得在于思維活動的深度體驗(yàn)。既要有縱向知識點(diǎn)間的傳承，體會數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的發(fā)生與發(fā)展；又要有橫向知識版塊間的類比，發(fā)現(xiàn)知識版塊的共同之處，體會數(shù)學(xué)的方法論、數(shù)學(xué)化；更要對單個知識點(diǎn)進(jìn)行深挖，探究內(nèi)涵，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)與魅力。

板書是思維可視化的最根本途徑

一支粉筆最能展示數(shù)學(xué)的思維。一名數(shù)學(xué)教師可以不用電腦、PPT等輔助教學(xué)工具，但是卻不能少了教學(xué)演示，教學(xué)過程當(dāng)中最不可或缺的是教師的板書演示，好的板書能帶給學(xué)生好的演示，規(guī)范學(xué)生解答過程的同時，有效引導(dǎo)學(xué)生的思維過程。板書演示是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中運(yùn)用最多的方式，也是數(shù)學(xué)思維體現(xiàn)最多的過程，教師對數(shù)學(xué)問題的思考就蘊(yùn)藏在數(shù)學(xué)解題過程中，教師認(rèn)真板書，并配合適當(dāng)?shù)闹v解能有效展現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的思維過程。學(xué)生的解題過程反映了學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握情況，暴露出思維過程中有問題的地方，讓學(xué)生上臺板書可以有效了解學(xué)生的思維過程和學(xué)習(xí)的具體情況。PPT能提高課堂的有效性，但有時數(shù)學(xué)解題過程的呈現(xiàn)太直接，導(dǎo)致學(xué)生思維發(fā)生跳躍，無法跟上學(xué)習(xí)的節(jié)奏。

結(jié)語

數(shù)學(xué)是思維的學(xué)科，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是思維生成和發(fā)展的過程，借助數(shù)學(xué)工具進(jìn)行思維可視化的教學(xué)，可以幫助學(xué)生迅速融入數(shù)學(xué)的知識版塊體系中，融入數(shù)學(xué)思維的基本活動體驗(yàn)當(dāng)中，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，促進(jìn)學(xué)生思維更快更深地發(fā)展，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。