例談冪級(jí)數(shù)及其和函數(shù)的幾種應(yīng)用

沈柳平 楊繼昌

摘要：冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式以及它的和函數(shù)是高等數(shù)學(xué)理論體系和實(shí)踐聯(lián)系非常緊密的內(nèi)容之一。為了能更清晰地認(rèn)識(shí)冪級(jí)數(shù)的形式及其和函數(shù)的一些用途，本文根據(jù)冪級(jí)數(shù)的特有形式及其和函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合當(dāng)前很多對(duì)冪級(jí)數(shù)理論的相關(guān)研究，用實(shí)例闡述和歸納了它們?cè)诒硎竞瘮?shù)、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和、極限計(jì)算、解微分方程等方面的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：冪級(jí)數(shù)；和函數(shù)；應(yīng)用

無(wú)窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，它在數(shù)學(xué)理論研究、工程實(shí)際應(yīng)用和市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)分析等方面起著舉足輕重的作用。無(wú)窮級(jí)數(shù)的主要內(nèi)容有常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)和傅利葉級(jí)數(shù)等，其中冪級(jí)數(shù)以及冪級(jí)數(shù)求和是教學(xué)中的重點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。因?yàn)閮缂?jí)數(shù)的各項(xiàng)都是冪函數(shù)，它可以形象地被看作是按自變量升冪排列的“無(wú)窮次多項(xiàng)式”。另外，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)有很重要的連續(xù)、可微、可積等分析性質(zhì)，并且它總可以用冪級(jí)數(shù)的部分和近似代替后仍可達(dá)到較高精度。對(duì)學(xué)生而言，在高等數(shù)學(xué)中接觸到的逐項(xiàng)求導(dǎo)法和逐項(xiàng)求積法求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)確實(shí)有些困難。目前，已有很多文獻(xiàn)研究?jī)缂?jí)數(shù)的求和方法正好可以解學(xué)生的燃眉之急。本文著重列舉一些關(guān)于冪級(jí)數(shù)及其和函數(shù)的應(yīng)用，讓學(xué)生進(jìn)一步意識(shí)到冪級(jí)數(shù)可以學(xué)以致用以激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也為讀者后續(xù)的討論和研究拋磚引玉。

5 結(jié)束語(yǔ)

關(guān)于冪級(jí)數(shù)及其和函數(shù)的應(yīng)用絕對(duì)不止上述幾種，它們還可以用于近似計(jì)算、定積分的計(jì)算，等等，在此不作完備歸納。但是對(duì)于冪級(jí)數(shù)及其和函數(shù)的研究是永無(wú)止境的，如果高校師生能夠參與這些研究，對(duì)教師教學(xué)重點(diǎn)的把控和教學(xué)科研水平的提高、對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)和學(xué)習(xí)興趣的提高等都大有裨益。

參考文獻(xiàn)：

[1]方艷，程航.冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的幾種常見(jiàn)解法[J].海峽科學(xué)，2018（2）：87-88.

[2]劉春連.冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)的方法及應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究，2016（3）：42-44.

[3]蔡高明，黃天富.淺析冪級(jí)數(shù)在函數(shù)方面的幾點(diǎn)應(yīng)用[J].數(shù)理化研究，2016（1）：293.

[4]黃飛，鐘家偉.泰勒公式及泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)，2016（6）：1029-1032.

[5]石秀文.模式思維方法在數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和中的應(yīng)用[J].邢臺(tái)學(xué)院學(xué)報(bào)，2015（2）：170-172.

[6]張建軍，宋業(yè)新，瞿勇.從兩道競(jìng)賽題看冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的應(yīng)用[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2017（30）：224-225.

[7]劉小蘭，鄧雪.考研數(shù)學(xué)中的冪級(jí)數(shù)求和一題多解[J].南昌師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2014（6）：1-4.

[8]易曲.探求無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的幾種常用方法[J].科技傳播，2011.1（下）：91-92.

[9]陳志華，楊繼明.化歸思想在冪級(jí)數(shù)求和中的應(yīng)用[J].玉溪師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2007（8）：78-82.

[10]王帥，許秀娟.高等數(shù)學(xué)[M].同濟(jì)大學(xué)出版社，2015.

[11]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社，2005.

[12]盧家林，李大林.應(yīng)用數(shù)學(xué)[M].清華大學(xué)出版社，2009.

第一作者簡(jiǎn)介：

沈柳平（1968-），女，廣西融安人，副教授，研究方向：微分方程。