數(shù)學(xué)建模下的高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)探討

楊帆 湖南省懷化市新晃一中 419200

運用數(shù)學(xué)建模解決高中函數(shù),將數(shù)學(xué)建模方式納入到函數(shù)教學(xué)設(shè)計中,是一個把實際問題進行抽象,化繁為簡,用數(shù)學(xué)語言描述問題,進而建立數(shù)學(xué)模型,解決問題的過程.

一、數(shù)學(xué)建模是函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

按照新課程對高中函數(shù)的要求,是要掌握基本概念和理論知識,并且解決相關(guān)應(yīng)用問題,如,分段函數(shù)、二次函數(shù)和三角函數(shù).另外要學(xué)會將函數(shù)和實際相結(jié)合,通過函數(shù)模型解決現(xiàn)實生活問題,同時建立函數(shù)和其他數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系.

因此在高中函數(shù)教學(xué)課堂中教師要根據(jù)課程要求,對函數(shù)教學(xué)進行相應(yīng)的改進和完善,從實踐角度對函數(shù)教學(xué)進行不斷優(yōu)化和革新.

使用數(shù)學(xué)建模進行高中函數(shù)教學(xué)就是其中一種比較實用的方法,用建模解決高中函數(shù)問題,主要途徑包括利用基本函數(shù)模型解決復(fù)合函數(shù)模型,通過現(xiàn)實背景抽象函數(shù)模型,利用換元解決數(shù)形結(jié)合問題等.利用數(shù)學(xué)建模進行教學(xué)設(shè)計還能有效提升教學(xué)效率,提升課堂授課質(zhì)量,更新師生教學(xué)觀念,滿足新課程下的課堂教學(xué)需求,同時綜合提高學(xué)生的創(chuàng)新能力和應(yīng)用能力.

二、數(shù)學(xué)建模下的高中函數(shù)教學(xué)設(shè)計具體內(nèi)容

(一)根據(jù)現(xiàn)實生活情境構(gòu)建函數(shù)模型

函數(shù)是描述變量之間的一種數(shù)學(xué)模型,在解決相關(guān)應(yīng)用問題時,利用數(shù)學(xué)建模,把實際生活情境抽象化,掌握基本的函數(shù)模型,利用數(shù)學(xué)建模方法的基本步驟解決實際問題.而二次函數(shù)的實際應(yīng)用是比較常見的,其描述的是兩個變量的關(guān)系,在現(xiàn)實生活中主要是結(jié)合圖形解決面積、產(chǎn)量等問題.

例一、某商場購進一批玩具,每個20元,每天銷量是100個,后因為購進成本提升,要對店內(nèi)玩具進行提價,經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)每提價2元,則日銷量減少10個,如果不考慮其他因素,那么要想使每天的銷售額達到最高,則玩具的價格應(yīng)當是多少元?

分析:在實際生活中這類問題是很常見的,而用數(shù)學(xué)思維來思考,這道題考察的是銷售總額和單價的函數(shù)關(guān)系.那么在課堂授課過程中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生進行分析,將這類實際應(yīng)用題抽象為數(shù)學(xué)函數(shù)模型.

模型構(gòu)建:該題可以構(gòu)建二次函數(shù)模型.假設(shè)玩具價格為x元,銷售總額為y元.

X10)=-5(x-40)2+8000

根據(jù)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)可得當x=40時,銷售額最高,最高收入為8000元.

例二、將生活實際情境抽象為對數(shù)函數(shù)

對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用集中體現(xiàn)在放射性物質(zhì),銀行利息和細胞分類等方面.

如,要確定古蓮子的年份,需要用到某種放射性物質(zhì),已知動植物死亡后,這種放射性物質(zhì)就不再生產(chǎn),原有的物質(zhì)也會自動衰退,經(jīng)過5730年,原有的放射性物質(zhì)會衰退到原始量的一半,根據(jù)科學(xué)家的測量,古蓮子的原始放射性物質(zhì)含量為m,經(jīng)過x年后剩余量m1與m的關(guān)系滿足:m1=m.e

假設(shè)從古蓮子中檢測剩余的放射性物質(zhì)為原始量的87.9%,那么古蓮子的年份為多少年?

分析:這是一道和考古有關(guān)的現(xiàn)實生活情境問題,關(guān)于探求古蓮子年份類的題目是十分常見的,在解決這類題的時候要善于分析,教師可以用對數(shù)函數(shù)的相關(guān)概念將這類題目抽象化,通過數(shù)學(xué)思維和語言來描述這類題,利用對數(shù)函數(shù)的相關(guān)理論知識來分析和解題.

模型構(gòu)建:對數(shù)函數(shù)

(二)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,換元法解決復(fù)合函數(shù)

換元法是高中數(shù)學(xué)中常用的解題方法,在將數(shù)學(xué)建模納入到高中函數(shù)教學(xué)中的時候可以將換元法和建模結(jié)合起來,尤其是面對復(fù)合函數(shù)問題,可以將復(fù)合函數(shù)簡化為簡單函數(shù).教師在講解此類問題時,首先要分析復(fù)合函數(shù)由哪幾種簡單函數(shù)組成,然后對其中一種函數(shù)進行換元,構(gòu)造成簡單函數(shù).

分析:這類題從表面上分析是一道常見的三角函數(shù)題,利用三角函數(shù)的二倍角公式和誘導(dǎo)公式,可以將函數(shù)簡化為:

f(x)= -2sin2x+6sinx+1;

模型構(gòu)建:可以看出這個函數(shù)的變量是三角函數(shù),但形式是二次函數(shù),因此這是一道二次函數(shù)和三角函數(shù)結(jié)合的復(fù)合函數(shù),在解題過程中采用換元法,將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)形式;

令t=sinx,可得f(x)= -2t2+6t+1,其中t∈[-1,1];

利用二次函數(shù)的解題模型,考慮定義域的求值范圍,可得:

當t=1.5時,f(x)最大,最大值為5.5;

因為t∈[-1,1];因此當t=1時,f(x)最大,最大值為5.

三、教學(xué)反思

筆者在課堂教學(xué)中一般采用自主教學(xué)法,給學(xué)生充分的時間進行討論,首先教師會進行系統(tǒng)講解,每類函數(shù)問題應(yīng)該怎么構(gòu)建數(shù)學(xué)建模,然后讓學(xué)生進行討論,并總結(jié)出有關(guān)函數(shù)應(yīng)用題的具體解決方法,從而培養(yǎng)出他們在實際解題過程中舉一反三的能力.

總之,在數(shù)學(xué)建模下對高中函數(shù)教學(xué)進行教學(xué)設(shè)計,需要培養(yǎng)學(xué)生的建模意識,了解建模理論,并且不斷深化學(xué)生對相關(guān)函數(shù)知識的理解程度,在課堂教學(xué)中采用"探究-討論"的教學(xué)方法,更好地推動函數(shù)教學(xué)中的建模教學(xué)模式.