淺析平面法向量在立體幾何中的應(yīng)用

宋永東

在近年來的高考數(shù)學(xué)試卷中，經(jīng)常出現(xiàn)線面角、線線角、二面角以及線與面、面與面位置平行垂直的關(guān)系證明等空間立體幾何問題，使用常規(guī)的解法十分繁瑣，且很容易出錯(cuò)，而采用平面法向量則能有效簡(jiǎn)化該類問題，將繁雜的幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，再通過向量計(jì)算，得出答案，最后轉(zhuǎn)換成幾何意義，這樣做能減輕學(xué)生空間想象的難度，收到化難為易的實(shí)際效果，并能提升學(xué)生計(jì)算的準(zhǔn)確性。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，平面法向量知識(shí)是值得教師深入挖掘的一個(gè)解題方法。

1 平面法向量的概念及求法

1.1 平面法向量的定義

在三維平面中，法線是垂直于該三維平面的向量。曲面在某點(diǎn)的法線為垂直于該點(diǎn)并切平面的向量。而法線是與多邊形曲面垂直的一條理論線。如果一個(gè)非零的向量n與平面a垂直，那我們就稱向量n是平面a的法向量。在實(shí)際中，任何一個(gè)垂直于平面的直線，其所表示的向量都可稱為該平面的法向量。在三維平面中，任一個(gè)平面都存在著無限個(gè)法向量。但如果某一曲面在某一點(diǎn)上沒有切平面，那么在該點(diǎn)就沒有法線，也就不存在法向量。

2 用平面法向量解決立體幾何問題的步驟

在解決立體幾何問題時(shí)，我們首先要建立一個(gè)空間平面直角坐標(biāo)系，然后利用題目給出的三條兩兩垂直的直線，使用空間向量表示該題目中涉及到的點(diǎn)、線和面，這樣就能將立體幾何問題轉(zhuǎn)化成為向量問題；其次，我們要進(jìn)行向量計(jì)算。通過研究空間平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)、線和面位置的關(guān)系以及三者彼此間的距離與夾角問題，進(jìn)行向量的運(yùn)算；最后，我們?cè)诎严蛄窟\(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成為相應(yīng)的幾何意義，回歸到圖形的問題。

3 平面法向量在高中立體幾何解題中的具體應(yīng)用

3.1 求距離和角度問題中的應(yīng)用

4 結(jié)束語

在課程改革的背景下，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)是教學(xué)中重要的任務(wù)和目標(biāo)。在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，要想發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，首先要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，而這其中，培養(yǎng)學(xué)生利用平面法向量解決立體幾何問題是一種有效的數(shù)學(xué)思想，在求點(diǎn)到面或線到面的距離、線面角、線線角、二面角以及線與面、面與面位置平行垂直的關(guān)系證明等立體幾何問題時(shí)，都能有效降低解答問題的難度，并簡(jiǎn)化解題的步驟，同時(shí)還能有效提升解題的速度和準(zhǔn)確度。因此，教師要重視平面法向量的講解，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用該方法解決立體幾何問題。

（作者單位：浙江省臺(tái)州市九峰中學(xué)）