讓“簡單的知識”凸顯“思維的深度”
———《倒數(shù)的認識》教學片斷與反思

蔣明玉（特級教師）

著名數(shù)學教育家鄭毓信先生認為：學會數(shù)學思維的首要涵義就是學會數(shù)學抽象（模式化）?！皵?shù)學是模式的科學”，這就是指，數(shù)學所反映的不只是某一特定事物或現(xiàn)象的量性特征，而是一類事物或現(xiàn)象在量的方面的共同性質(zhì)。學生學會數(shù)學抽象的關(guān)鍵是從問題的現(xiàn)實情境過渡到抽象的數(shù)學模式。從教學的現(xiàn)狀看，正如鄭毓信教授所言，標準所制定的目標還不能得到很好的貫徹，一個重要的原因是普遍認為小學數(shù)學的教學內(nèi)容過于簡單，因而不可能很好地體現(xiàn)數(shù)學思維的特點。

《倒數(shù)的認識》一課，我通過簡單的教學內(nèi)容引導學生經(jīng)歷倒數(shù)概念的抽象（模式化）與概括過程，充分體現(xiàn)了數(shù)學思維的特點，使學生的數(shù)學思維能力得到了訓練和培養(yǎng)。由此可見，簡單的知識同樣蘊含著豐富的數(shù)學思想！

蘇教版教材先以乘積是1的兩個分數(shù)為素材，幫助學生建立倒數(shù)的意義，這樣的素材從形式上看，有利于學生體會“倒數(shù)”的含義，便于學生形成倒數(shù)的概念。然后又通過舉例說明，幫助學生認識互為倒數(shù)的兩個數(shù)的依存關(guān)系和表達方式。在實際教學中，我將教學內(nèi)容調(diào)整為乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)（這兩個數(shù)可以是分數(shù)、整數(shù)和小數(shù)）。在實際教學中，首先倒數(shù)概念的建立以已經(jīng)學過的分數(shù)、整數(shù)和小數(shù)為素材。教材中是先以分數(shù)為素材認識倒數(shù)，建立倒數(shù)的概念，然后擴展到整數(shù)?？紤]到學生已有的知識和經(jīng)驗，在建立倒數(shù)概念時，學生應(yīng)該能從不同的數(shù)中找出乘積是1的兩個數(shù)。其次在找一個數(shù)的倒數(shù)時，由于倒數(shù)概念的建立是依托分數(shù)、整數(shù)和小數(shù)的，因此直接讓學生根據(jù)對倒數(shù)實例的觀察和分析，發(fā)現(xiàn)找一個數(shù)倒數(shù)的方法，并通過思考和觀察，發(fā)現(xiàn)1的倒數(shù)是1，0沒有倒數(shù)。由于倒數(shù)的引入和找一個數(shù)的倒數(shù)的方法在素材上作了較大調(diào)整，因此課后的鞏固練習題也作相應(yīng)地調(diào)整。

在教學中，我注意激發(fā)學生的學習興趣，引導學生通過觀察、比較、概括等途徑，在合作學習的過程中，學會交流，相互評價，經(jīng)歷知識的建構(gòu)過程，培養(yǎng)學生的觀察、歸納、推理和概括能力，讓“簡單的知識”凸顯“思維的深度”。

【教學內(nèi)容】

蘇教版六年級上冊第36頁及課后練習。

【教學過程】

一、口算練習，感受神奇

課始將兩組口算紙分別發(fā)給同桌兩人?？谒鉇:3道題，口算B：5道題。

師：現(xiàn)在我們舉行一個口算比賽，做完的同學請起立。

（學生陸續(xù)起立，絕大多數(shù)是做口算B的學生）

師：時間到，剛才大家有沒有注意到是哪些同學先站起來的？

（完成口算B的學生自豪地舉起手）

師：（故意問已經(jīng)完成的學生）你做了幾道題？（5道）

師：（問同桌的另一位學生）你做了幾道題？（3道）

師：為什么做5道題比做3道題還快？現(xiàn)在我們一起來看一看剛才老師給大家的兩組口算題。（出示兩組口算題）你找找原因，為什么口算B的同學做得快？

生：B組的口算題是不需要約分的。

生：B組的口算題都是乘以或除以1，因為所有數(shù)乘或除以1都等于原來那個數(shù)；而A組的口算都是分數(shù)乘分數(shù)。

師：一個數(shù)乘1或者除以1，都得原數(shù)。所以這個“1”，在數(shù)學運算中有自己獨特的地方，那么今天我們就先來研究這個神奇的“1”。（在黑板上板書“1”）

師：同學們可以想一想，什么數(shù)除以什么數(shù)會等于1呢？你能用最簡單的語言概括一下嗎？

生：相同的數(shù)除以相同的數(shù)可以等于1。

生：用字母表示就是a除以a等于1。

生：我覺得a不能等于0。

師：補充得好！a等于0沒有意義。再想想什么數(shù)乘什么數(shù)等于 1呢？［板書：（）×（）＝1］

師：請同學們打開練習本，在上面寫上乘積是1的幾組數(shù)，看看哪些同學寫得多。（學生在練習本上寫，教師巡視，然后組織學生交流）

【說明：借助“1”來轉(zhuǎn)化，在導入階段，進行了這場不公平的計算比賽。不平則鳴，喚醒的是學生以前練習中積淀的對“1”的好感和探究的熱情?！罢l除以誰會等于1呢？你能用最簡單的語言概括一下嗎？”雖然簡單，但有此鋪墊，教學便有了波瀾，有了情趣。當我拋出有些難度的問題“什么數(shù)乘什么數(shù)等于1”時，學生有些遲疑，這在我意料之中，請學生打開練習本，在上面寫上乘積是1的幾組數(shù)，我們看看哪些同學寫得多?！眹L試之后，學生就有話要說了。學生開動腦筋，找到了很多乘積等于1的算式，在我的適當引導下，找到乘積是1的幾組數(shù)：有整數(shù)的、有分數(shù)的、還有小數(shù)的，引導學生進行分類思考。寫得多，不是追求個數(shù)多，而是追求種類全。這樣為之后倒數(shù)概念的抽象提供了全面、豐富的素材，積累了豐富的、典型的倒數(shù)概念的表象。】

二、研究探索，學習新知

1.認識倒數(shù)的意義。

（1）交流展示。

師：已經(jīng)寫出2個或2個以上算式的同學請舉手。

全班交流學生找到的算式。可能出現(xiàn)的情況有：分數(shù)乘分數(shù)、分數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)乘整數(shù)。（隨機板書交流的算式，盡可能板書出三種情況，為后面研究做鋪墊）

（2）建立概念。

引導：請大家仔細觀察，剛才我們找出的這些算式有什么共同特點？

學生交流后明確：這些算式的乘積都是1。

指出：像這樣乘積是1的兩個數(shù)就互為倒數(shù)，今天這節(jié)課我們就一起來研究有關(guān)倒數(shù)的內(nèi)容。（板書課題：認識倒數(shù)）

引導：結(jié)合剛才的舉例，用一句話說說什么是倒數(shù)。

提出要求：先學生自己說一說，再同桌交流。接著全班交流。

生：兩個數(shù)相乘，結(jié)果等于1，就是倒數(shù)。

生：我覺得，一個數(shù)乘一個數(shù)等于1，這兩個數(shù)就是倒數(shù)。

師：剛才同學們說得很好，究竟課本上是怎么規(guī)定的呢？請大家看書上第36頁。

（板書：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)）

提問：你是怎樣理解“互為”兩個字的？能結(jié)合具體的例子來說說嗎？

提問：你能再找一個例子來說說嗎？（同桌互相舉例說一說再全班交流）

【說明：概念的形成離不開感性材料和感性經(jīng)驗的支撐，它主要依賴于對感性材料的概括。根據(jù)學生的學習經(jīng)驗和水平，學生已能熟練地找到乘積是1的兩個數(shù)，因此在新課開始，安排想一想、寫一寫的數(shù)學活動，旨在通過這一活動及結(jié)果的交流，讓學生找到豐富的肯定例證這樣的感性材料，具體感知兩個數(shù)的關(guān)系，從中獲得對互為倒數(shù)的兩個數(shù)的關(guān)系與特征的直接感受，豐富感性認識，使之成為抽象概念屬性的基礎(chǔ)。接著讓學生進一步對這些例子進行比較、綜合，找到共同特性，并嘗試用語言描述概念的本質(zhì)屬性。在這一過程中，學生經(jīng)歷了對感性材料的直觀感知——比較綜合——概括概念的過程，這是遵循學生建立概念的基本規(guī)律來安排的?！?/p>

2.探究找倒數(shù)的方法。

（1）引導啟發(fā)。

引導：我們已經(jīng)知道了乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，從大家舉的例子中可以看到，整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)都可以找到它們的倒數(shù)，找一個數(shù)的倒數(shù)有什么竅門呢？比如例子中的，它的倒數(shù)是多少？

（教師再隨機舉幾個分數(shù)，讓學生分別找到它們的倒數(shù)）

提問：怎樣找分數(shù)的倒數(shù)？

學生交流，明確找倒數(shù)的方法：找分數(shù)的倒數(shù)只要交換分子、分母的位置。

（2）自主探究。

引導：如何找整數(shù)、小數(shù)的倒數(shù)呢？你能通過觀察黑板上的例子或者自己舉例找到方法嗎？先獨立嘗試一下，再在小組里交流。

（3）交流總結(jié)。

在小組交流的基礎(chǔ)上全班交流：

①怎樣找整數(shù)的倒數(shù)？

先讓學生結(jié)合例子說明方法，之后教師隨機寫出幾個整數(shù)（包括1和0），讓學生快速找倒數(shù)，在找倒數(shù)的過程中明確這兩個數(shù)的特殊性：1的倒數(shù)是1；0沒有倒數(shù)，因為0乘任何數(shù)都得0。（板書：1的倒數(shù)是 1，0沒有倒數(shù)）

②怎樣找小數(shù)的倒數(shù)？

啟發(fā)：剛才我們分別交流了找整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)這三類數(shù)的倒數(shù)的方法，這三種方法之間有沒有聯(lián)系？同桌同學議一議。

組織交流，使學生明白求一個整數(shù)或小數(shù)的倒數(shù)，可以把這個數(shù)先表示成分數(shù)的形式，然后交換分子分母的位置。

小結(jié)：求一個數(shù)的倒數(shù)的方法。

【說明：學生是學習的主體，只有充分發(fā)揮學生的主觀能動性，才能收到更好的學習效果。本環(huán)節(jié)針對求一個數(shù)的倒數(shù)的方法設(shè)計了“找竅門”的活動。通過教師引導，學生自主探索交流等活動，促進學生分別建構(gòu)找分數(shù)、整數(shù)和小數(shù)的倒數(shù)的方法。同時在此基礎(chǔ)上適時引導提升：“這三種方法之間有聯(lián)系嗎？”兩個層次的教學活動，引導學生主動觀察、思考、抽象、概括，既充分發(fā)揮學生的主觀能動性，又培養(yǎng)了學生的觀察能力、總結(jié)歸納能力和語言表達能力。】

三、練習鞏固，內(nèi)化新知

1．你能很快說出下列各數(shù)的倒數(shù)嗎？（口答）

2的倒數(shù)是（ ），

1的倒數(shù)是（ ）。

2．判斷正誤，并說明原因。

3．寫出下列各數(shù)的倒數(shù)。

交流時要求學生說說找0.3、1.5的倒數(shù)的方法。

4．完成練習六第19題。

練習之前明確要求：觀察每組的3個數(shù)有什么共同點？它們的倒數(shù)有什么共同點？帶著問題邊寫邊觀察思考，再小組交流。

全班交流。并針對1、2兩組的練習辨析討論兩句話的正誤：真分數(shù)的倒數(shù)一定是假分數(shù)，假分數(shù)的倒數(shù)一定是真分數(shù)。

5.小游戲（找朋友）。

請五位學生到臺上來，給他們每人戴上一頂漂亮的帽子，帽子上面各有一個數(shù)（、、1、、7），本人不允許看自己頭上的數(shù)，下面的學生也不允許告訴臺上的學生，不允許講話、交流，只能借助你的思考，你能找到你帽子上的數(shù)的倒數(shù)嗎？

【說明：練習關(guān)注兩個方面：一方面是倒數(shù)概念的理解與鞏固及求一個數(shù)的倒數(shù)的方法。與此同時，注意了知識視野的拓寬，考慮到對倒數(shù)意義的完整建構(gòu)和學生的實際水平，倒數(shù)的范圍可以擴展到小數(shù)，因此在練習設(shè)計的過程中，在側(cè)重于對倒數(shù)意義和求整數(shù)、分數(shù)的倒數(shù)的同時，不排除求一個小數(shù)的倒數(shù)的練習，這樣安排溝通了分數(shù)、小數(shù)知識間的聯(lián)系，發(fā)展了學生知識的靈活應(yīng)用的能力。另一方面，注意結(jié)合練習引導學生發(fā)現(xiàn)相關(guān)規(guī)律，使學生了解每一類分數(shù)和整數(shù)的倒數(shù)的特點，進一步提高找倒數(shù)的能力，認識每一類特定數(shù)的倒數(shù)特點與范圍。最后，一個找朋友的游戲活動，變成了一道有一定難度的邏輯推理題。通過此游戲，既進一步鞏固“1的倒數(shù)是1”的規(guī)律，又培養(yǎng)了學生的簡單推理能力?！?/p>