深刻理解概念實(shí)質(zhì)方能落實(shí)核心素養(yǎng)
———兼評(píng)鮑善軍、傅華峰兩位教師《認(rèn)識(shí)方程》一課

劉 松（特級(jí)教師）

一、曾經(jīng)的困惑

十幾年前，在一次教學(xué)研討會(huì)上，筆者有幸應(yīng)邀去上《列方程解決問(wèn)題》一課。上課之初，自然提出三個(gè)問(wèn)題：1.學(xué)過(guò)方程嗎？2.什么是方程？3.方程是干什么用的？前兩個(gè)問(wèn)題，學(xué)生異口同聲，對(duì)答如流，可第三個(gè)問(wèn)題，全班50多位學(xué)生竟然面面相覷，無(wú)人作答。這不禁讓筆者產(chǎn)生了深深的困惑。

再換個(gè)角度思考問(wèn)題。小學(xué)階段學(xué)習(xí)方程，僅從實(shí)用的角度分析，學(xué)習(xí)方程的重要目的之一就是應(yīng)用，也就是列方程解決實(shí)際問(wèn)題。眾所周知，列方程解決問(wèn)題有五大步驟，其中最核心的一步就是找出問(wèn)題中包含的等量關(guān)系，然后列出方程。試想，倘若學(xué)生對(duì)“等量關(guān)系”和“方程”之間缺乏本質(zhì)的理解，如何能深刻地把握列方程解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在？

《認(rèn)識(shí)方程》是一節(jié)傳統(tǒng)名課，教師大都是按照如下流程開(kāi)展教學(xué)的：首先出示一架天平（實(shí)物或卡通模型），然后讓學(xué)生在天平上擺物品，由此會(huì)列出許多式子，再讓學(xué)生給式子分類，無(wú)論學(xué)生怎么分，教師兩次追問(wèn)，總能得出“含有未知數(shù)的等式”，至此，得出結(jié)論，而后判斷練習(xí)，鞏固概念，一節(jié)課結(jié)束。如此教學(xué)，非常流暢，甚至堪稱經(jīng)典，我們廣大的一線教師照搬模仿即可。但正是如此經(jīng)典，它卻遺留了上述的困惑。何故？

于是，我不停地追問(wèn)自己，《認(rèn)識(shí)方程》一課究竟該教什么？又該怎么教？

二、真實(shí)的調(diào)研

2013年10月，筆者對(duì)本校五、六年級(jí)成績(jī)最好的兩個(gè)班共76名學(xué)生做了突然性的前測(cè)和后測(cè)。調(diào)查啟示如下：

1.學(xué)生在上《認(rèn)識(shí)方程》一課之前，對(duì)方程并非一無(wú)所知，對(duì)含有未知數(shù)的等式更不陌生。

2.對(duì)于嘗試寫(xiě)方程，即便教師沒(méi)教過(guò)，也有學(xué)生會(huì)寫(xiě)（且比例還不低）。

3.對(duì)于是否為方程的判斷，學(xué)過(guò)和沒(méi)學(xué)過(guò)的學(xué)生差異很大。測(cè)試中判斷x－14＞72是否為方程的錯(cuò)誤率最高。六年級(jí)還有學(xué)生出錯(cuò)，為何？值得思考。

4.對(duì)于方程和等式的關(guān)系，即便六年級(jí)了，依然有學(xué)生出錯(cuò)，排除偶然因素外，不得不承認(rèn)這恰恰是學(xué)生認(rèn)知和學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一。

5.即便是六年級(jí)的學(xué)生，對(duì)“為什么會(huì)有方程（或者方程是怎么產(chǎn)生的、方程是干什么的）”也僅有不到8%的學(xué)生能回答到位。五年級(jí)更是全軍覆沒(méi)，有高達(dá)57.9%的學(xué)生空著沒(méi)寫(xiě)。

三、可能的策略

1.引入自學(xué)。

從前測(cè)的數(shù)據(jù)中可以看出，學(xué)生在學(xué)習(xí)方程之前，對(duì)方程并非一無(wú)所知。即便是學(xué)生一無(wú)所知，對(duì)五年級(jí)的學(xué)生而言，在書(shū)上找到“含有未知數(shù)的等式叫方程”這句話很容易，且學(xué)生自一年級(jí)起就接觸過(guò)諸如6+（）=14等類的式子，對(duì)這句話的理解也不難。再退一步說(shuō)，僅從字面上分析，學(xué)生自己也可以得出滿足方程的兩個(gè)必要條件：含有未知數(shù)和等式。既然如此，為什么不可以安排學(xué)生先自學(xué)課本呢？不先出現(xiàn)天平不行嗎？

可能有的教師會(huì)質(zhì)疑，傳統(tǒng)的教法先出示天平好啊，況且許多版本的教材也是這樣編排的。對(duì)此，筆者認(rèn)同但并不完全贊同。且不說(shuō)是“教教材”還是“用教材教”的問(wèn)題。試問(wèn)：對(duì)方程而言，究竟是天平的外形更重要還是背后的相等思想更重要呢？答案是顯而易見(jiàn)的。既然天平背后的相等思想是關(guān)鍵，那我們?yōu)楹尾幌氡M辦法讓學(xué)生去感悟相等，何必僅僅拘泥于天平的形式呢？

2.顛倒敘述。

從前后測(cè)可以看出，在判斷x－14＞72是否為方程時(shí)，學(xué)生的錯(cuò)誤率最高。五年級(jí)學(xué)生出錯(cuò)尚可理解，六年級(jí)學(xué)生依然出錯(cuò)，似乎不可原諒。但仔細(xì)想想，是否存在這樣的可能，之所以有這么多學(xué)生出錯(cuò)，恰恰是教材編寫(xiě)所致。筆者認(rèn)真查閱了國(guó)內(nèi)五大版本的數(shù)學(xué)教材，對(duì)于方程的定義，都是這樣描述的：含有未知數(shù)的等式叫方程。此話當(dāng)然沒(méi)錯(cuò)，但沒(méi)錯(cuò)不代表就沒(méi)有“副作用”。試想，如此偏正結(jié)構(gòu)式的語(yǔ)句，關(guān)鍵核心詞在哪？顯然在后面，但首先映入學(xué)生眼簾的恰恰是含有未知數(shù)五個(gè)字。對(duì)部分五六年級(jí)的學(xué)生而言，是不是就先入為主，只記住“含有未知數(shù)”幾個(gè)字了呢？這不就是俗稱的第一印象效應(yīng)嗎？若如此，又該如何避免此類錯(cuò)誤的出現(xiàn)呢？

為此，可在板書(shū)上做些改變。多年來(lái)，筆者對(duì)板書(shū)有一個(gè)基本的認(rèn)知，板書(shū)如果僅僅是把書(shū)上的原話照抄在黑板上是沒(méi)有多大意義的。如果一定要板書(shū)，則要對(duì)書(shū)上的原話做一些技術(shù)處理。當(dāng)學(xué)生自學(xué)找到方程的定義后，在交流和追問(wèn)的同時(shí)，黑板上留下了這樣一個(gè)式子：“方程 =①等式 +②未知數(shù)”，而后反復(fù)引導(dǎo)學(xué)生敘述：含有未知數(shù)的等式叫方程。反過(guò)來(lái)，方程就是等式中含有未知數(shù)。如此，不僅可以很好地凸顯方程的等式本質(zhì)，還可以在一定程度上避免學(xué)生的上述錯(cuò)誤。其實(shí)，對(duì)方程而言，如果可以比較的話，究竟是等式更關(guān)鍵，還是有未知數(shù)更重要呢？?jī)烧弋?dāng)然都重要，可以說(shuō)各占50%。但筆者認(rèn)為“相等”才是方程的靈魂所在。若果真如此，我們?yōu)楹尾缓煤玫乩靡幌碌谝挥∠笮?yīng)呢？

3.強(qiáng)化體驗(yàn)。

鄭毓信教授曾言，小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)有三要素：一要講清概念是什么，二要說(shuō)明為什么，三要厘清此概念與彼概念的區(qū)別和聯(lián)系。其中第二個(gè)要素，往往被教師忽視，但這恰恰是學(xué)生最缺乏、最需要的。為什么會(huì)有方程？如何讓學(xué)生體會(huì)到方程的產(chǎn)生？如何讓學(xué)生感悟方程是現(xiàn)實(shí)世界中刻畫(huà)相等關(guān)系的最美麗的模型這一重要思想？筆者認(rèn)為，可嘗試從源頭上解決問(wèn)題。為此，在學(xué)生自學(xué)完方程的定義、初步解讀后，連續(xù)出示三個(gè)問(wèn)題情境（如下圖1、圖2、圖3），要求學(xué)生用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示情境中包含的相等關(guān)系。

圖1

圖2

圖3

學(xué)生自然列出x+5=10，4x=380，2x+200=2000 三個(gè)式子，并板書(shū)在黑板上。針對(duì)每一個(gè)式子，反復(fù)引導(dǎo)學(xué)生互動(dòng)追問(wèn)：寫(xiě)的對(duì)嗎？是方程嗎？為什么是方程？如此，不僅有效地避免了教師出題、學(xué)生判斷的木偶式學(xué)習(xí)方式，更為重要的是，學(xué)生在不斷地用數(shù)學(xué)式子表達(dá)相等關(guān)系的過(guò)程中，自然體悟到了方程產(chǎn)生的原因。隨著教師的調(diào)侃：他怎么一不小心又寫(xiě)出一個(gè)方程?。W(xué)生就會(huì)逐漸地明白，方程其實(shí)并不神秘，它就是數(shù)學(xué)中表達(dá)相等關(guān)系的自然結(jié)果。為什么就決定了可以干什么，能干什么則取決于為什么。至此，方程的作用不言而喻，學(xué)生自己就可以說(shuō)出方程即是表達(dá)相等關(guān)系的。

4.結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)。

針對(duì)方程和等式的關(guān)系這一難點(diǎn)。遵循思維可視化的原則，引導(dǎo)學(xué)生自己說(shuō)出：方程是等式，等式不一定是方程。如何做到呢？可采用關(guān)鍵詞追問(wèn)策略。當(dāng)學(xué)生板書(shū)完 x+5=10，4x=380，2x+200=2000三個(gè)方程后，追問(wèn)：方程式還有別的可能嗎？學(xué)生自然答出方程式有無(wú)窮多。然后再追問(wèn)：即便是無(wú)窮多，這些式子都具有什么共同的特點(diǎn)？學(xué)生馬上應(yīng)答：等式、含有未知數(shù)。而后繼續(xù)追問(wèn)：是否有等式中不含有未知數(shù)的可能？反過(guò)來(lái)，是否有含有未知數(shù)但不是等式的可能？學(xué)生思考后板書(shū)。此刻，黑板上會(huì)有許多式子。教師則可趁熱打鐵繼續(xù)追問(wèn)：誰(shuí)能用一個(gè)圈把黑板上所有的方程圈出來(lái)？誰(shuí)還能用一個(gè)圈把黑板上所有的等式圈出來(lái)？……

至此，黑板上會(huì)呈現(xiàn)一幅學(xué)生自己的“作品”，對(duì)著圈套圈提問(wèn)：誰(shuí)能發(fā)現(xiàn)什么？悟性好的學(xué)生即刻明白。因?yàn)橛兄庇^圖的支撐，“方程是等式，等式不一定是方程”這兩句話雖然沒(méi)寫(xiě)出來(lái)，但意思已躍然紙上。而后在游戲練習(xí)中再植入12+8，追問(wèn)：12+8應(yīng)該放到哪個(gè)圈內(nèi)？學(xué)生感覺(jué)都不合適，教師順手在最外面再畫(huà)一個(gè)大圈，板書(shū)：式子。至此，結(jié)構(gòu)化板書(shū)大功告成。如此，學(xué)生不僅明白了方程與等式的關(guān)系，置身于數(shù)學(xué)式子的大家庭，還可以對(duì)方程也是一種數(shù)學(xué)表達(dá)式增加幾分理解！

如上，《認(rèn)識(shí)方程》該教什么、該怎樣教就相對(duì)比較清晰了。

四、欣喜的現(xiàn)在

近年來(lái)，隨著許多專家研究的深入，廣大一線教師越來(lái)越清楚了方程意義的本質(zhì)。正如鮑老師在課前思考中所言：方程的本質(zhì)是什么？簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是左右兩邊數(shù)量相等，這不僅是方程概念的本質(zhì)，也是列方程解決問(wèn)題的依據(jù)。陳重穆教授曾撰文呼吁：“含有未知數(shù)的等式叫做方程”這樣的定義要淡化，不要記，無(wú)須背，更不要考。關(guān)鍵是要理解方程思想的本質(zhì)，它的價(jià)值與意義。張奠宙教授對(duì)方程重新定義：“方程是為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來(lái)的等式關(guān)系?！笨梢?jiàn)，“含有未知數(shù)的等式叫做方程”并非方程的嚴(yán)格定義，僅是一種樸素的描寫(xiě)，方程的意義不在于概念本身，而在于方程的本質(zhì)特征：要“求”未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來(lái)的等式關(guān)系。筆者更喜歡史寧中教授在《試論數(shù)學(xué)推理過(guò)程的邏輯性》一文中的詳細(xì)解讀，部分摘錄如下：如果數(shù)學(xué)的定義不夠清晰，就必然會(huì)影響數(shù)學(xué)命題的確切性，進(jìn)而影響數(shù)學(xué)推理的有效性。作為例子，討論一個(gè)現(xiàn)在仍然在使用的數(shù)學(xué)定義。在現(xiàn)行的中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)中，關(guān)于方程的定義是這樣的：稱含有未知數(shù)的等式為方程。這個(gè)定義是屬加種差的形式：等式是“屬”、方程是“種”、含有未知數(shù)是“種差”。但是，含有未知數(shù)的等式未必就是方程，比如2x-x=x是一個(gè)含有未知數(shù)的等式，可這個(gè)等式表示的是符號(hào)運(yùn)算，不是通常意義所說(shuō)的方程。為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況呢？問(wèn)題出在定義中的“種差”，在上述定義中的種差“含有未知數(shù)”這個(gè)性質(zhì)不足以約束構(gòu)成方程的等式。按照通常理解，所謂等式就是含有等號(hào)的數(shù)學(xué)式子，而等號(hào)具有兩個(gè)功能：第一個(gè)功能是表示數(shù)值（包括符號(hào)）運(yùn)算的傳遞性，第二個(gè)功能是表示等式兩邊的數(shù)量相等。因此，第一個(gè)功能只是在講述一個(gè)故事，在這一個(gè)故事中數(shù)值（包括符號(hào)）是等價(jià)的、是可以遞推的；第二個(gè)功能必須講述兩個(gè)故事，在這兩個(gè)故事中兩個(gè)數(shù)量的意義可以不同、但數(shù)量相等。方程利用的是等號(hào)的第二個(gè)功能，而反例2x-x=x利用的是等號(hào)的第一個(gè)功能，基于這個(gè)理由，含有未知數(shù)的等式就不一定是方程。因此，要構(gòu)建方程的實(shí)質(zhì)定義，除卻未知數(shù)這個(gè)要素外，還必須在性質(zhì)中或者說(shuō)在種差中彰顯等號(hào)的第二個(gè)功能。比如，可以把方程的定義表述如下：稱含有未知數(shù)的表示等量關(guān)系的等式為方程。

綜上，可以看出專家們的觀點(diǎn)幾乎是一致的。那就是，關(guān)于方程意義的教學(xué)，強(qiáng)調(diào)方程的等量關(guān)系比單純強(qiáng)調(diào)方程中的未知數(shù)更便于學(xué)生理解和把握方程的本質(zhì)。事實(shí)上，學(xué)生只有把握了概念本質(zhì)，用顧沛教授的話說(shuō)，才可能一通百通。如此教學(xué)，不僅可有效避免筆者曾經(jīng)的困惑，更重要的是，還能使當(dāng)下熱議的學(xué)科核心素養(yǎng)有效落實(shí)。

鮑善軍和傅華峰兩位教師的教學(xué)設(shè)計(jì)雖不盡相同，但在突出等量關(guān)系上卻是出奇的一致。雖然，傅老師的設(shè)計(jì)看似有些偏傳統(tǒng)，但教學(xué)上好的經(jīng)典當(dāng)然也該繼承，只要做到與時(shí)俱進(jìn)，相機(jī)糅入新的形式、新的認(rèn)知，更有利于學(xué)生學(xué)習(xí)即可。鮑老師的教學(xué)改革力度很大，教學(xué)效果不錯(cuò)，但略顯遺憾的是，對(duì)于等號(hào)兩個(gè)功能的解讀，學(xué)生感悟可能不夠深刻。記得鄭毓信教授曾說(shuō)：在算術(shù)中我們主要是從“操作（過(guò)程）的觀點(diǎn)”看待“=”的，等號(hào)的左邊表明我們應(yīng)當(dāng)實(shí)施哪些計(jì)算，得出的結(jié)果則應(yīng)寫(xiě)在右邊；也正因此，等式的兩邊就是不對(duì)稱的，即有明確的方向性。與此不同，方程中對(duì)于“=”的理解則體現(xiàn)了這樣一種觀念：這主要代表了一種關(guān)系——等量關(guān)系，其本身也不具有任何的方向性。上述的觀念對(duì)立并可被看成代數(shù)思維與算術(shù)思維的主要區(qū)別之一。也正因此，“方程”的教學(xué)就可被看成為我們?cè)谛W(xué)階段初步滲透“代數(shù)思想”提供了重要契機(jī)。在教學(xué)中若能有意識(shí)地去引入一些“非標(biāo)準(zhǔn)變式”，如：將4x+7=35變形為4y+7=35，以及進(jìn)一步變形為 4（2r+1）+7=35等等，另外一些更為復(fù)雜的變式：6=14-3x，6+x=14-7x，25+x=y-28等。從而幫助學(xué)生更好地實(shí)現(xiàn)由“過(guò)程（操作）性觀念”向“結(jié)構(gòu)性觀念”的重要轉(zhuǎn)變，也就是所謂的兩個(gè)不同的故事，但數(shù)量相等，應(yīng)該會(huì)有更深的體悟。

當(dāng)然，由于《認(rèn)識(shí)方程》是學(xué)生首次正式接觸到了“方程”這樣一個(gè)概念，因此，在第一課時(shí)就期望學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)方程方法相對(duì)于算術(shù)方法的優(yōu)越性應(yīng)當(dāng)說(shuō)也完全不切實(shí)際。“代數(shù)思想”“方程觀念”等需要循序漸進(jìn)，逐步提升。但當(dāng)練習(xí)時(shí)，有學(xué)生列出45+128=x，也認(rèn)為是方程，教師不要回避則是必須的。

限于篇幅，不再贅述。兩位教師及筆者的表述依然還有許多不足，懇請(qǐng)各位方家指正！