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    例談“分類思想”在一元一次不等式(組)中的運(yùn)用

    2018-10-19 03:39:56唐海樹
    卷宗 2018年21期
    關(guān)鍵詞:分類思想數(shù)學(xué)思想運(yùn)用

    唐海樹

    摘 要:“分類”是一種重要的數(shù)學(xué)思想?!胺诸愃枷搿钡撵`活、適當(dāng)和準(zhǔn)確的應(yīng)用,可以化不等式的難點(diǎn)為易,化抽象為直觀……

    關(guān)鍵詞:分類 數(shù)學(xué)思想 一元一次不等式(組) 運(yùn)用

    對(duì)當(dāng)前大多數(shù)農(nóng)村初中學(xué)生而言,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差,能力弱已經(jīng)成為一種不可避而不談的趨勢(shì)。本文結(jié)合新課標(biāo)要求,針對(duì)農(nóng)村初中學(xué)生的學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)和基礎(chǔ),結(jié)合筆者的授課經(jīng)驗(yàn),用實(shí)例來談一談 “分類思想”在一元一次不等式(組)中的運(yùn)用,以培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思想和意識(shí)。

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011版)指出:“分類,是一種重要的數(shù)學(xué)思想。……學(xué)會(huì)分類,可以有助于學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí),有助于分析和解決新的數(shù)學(xué)問題。”可伴隨著升學(xué)和考試的壓力,不少老師在授課中只注重于讓學(xué)生在題海中遨游,而忽視了總結(jié)題目本身所反應(yīng)的數(shù)學(xué)思想。如此,不但事倍功半,更失去了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心價(jià)值。

    一元一次不等式(組)的問題中牽涉到的數(shù)學(xué)思想比較多,如整體思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想等,分類思想在其中占據(jù)重要一席地位。筆者在教授滬科版七年級(jí)數(shù)學(xué)(下)第7章一元一次不等式(組)時(shí),常發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解決牽涉字母的一元不等式(組)和一元一次不等式(組)的實(shí)際問題時(shí),或者錯(cuò)誤百出,或者束手無策?,F(xiàn)針對(duì)農(nóng)村初中學(xué)

    生的學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)和基礎(chǔ),結(jié)合筆者的授課經(jīng)驗(yàn),談一談 “分類思想”在一元一次不等式(組)中的應(yīng)用。

    1 巧分類,靈活運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)

    不等式的五個(gè)基本性質(zhì),教學(xué)時(shí),我是通過類比等式的基本性質(zhì)而引入和講解的。通過比較,得出不等式和等式基本性質(zhì)的異同,體現(xiàn)了類比的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想,有助于學(xué)生的理解。但是,不等式和等式基本性質(zhì)的異同,學(xué)生初學(xué)時(shí)難以熟練的運(yùn)用,然而這個(gè)難點(diǎn)卻是習(xí)題和考卷中的“家常菜”。

    例1:比較2a與3a的大小。

    對(duì)于農(nóng)村七年級(jí)的學(xué)生而言,看到字母前沒有“-”號(hào),便認(rèn)為a是正數(shù),從而錯(cuò)誤的認(rèn)為2a<3a。其實(shí)a是字母,在題目沒有明確說明a的范圍時(shí),a可以表示任何的實(shí)數(shù),所以a的取值可能有三種情況:(1)a>0,(2)a=0,(3)a<0,在三種不同的可能取值情況下,因?yàn)?<3已然成立,所以不難得出:(1)當(dāng)a>0時(shí),2a<3a(2)當(dāng)a=0時(shí),2a=3a(3)當(dāng)a<0時(shí),2a>3a。此處分類,價(jià)值有三:(1)體現(xiàn)了用字母表示數(shù)的優(yōu)點(diǎn);(2)培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維;(3)鞏固學(xué)習(xí)了不等式的基本性質(zhì)。

    2 善分類,能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式組

    新課標(biāo)要求:“會(huì)用數(shù)軸確定由兩個(gè)數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式組成的不等式組的解集”。于是,不少出題者在出此類題目時(shí),總會(huì)設(shè)置一些障礙,以此來考察學(xué)生思維的全面性和解題能力。對(duì)于農(nóng)村中學(xué)生而言,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)決定了其思維的局限性,再加上平時(shí)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的方式有限,訓(xùn)練少,對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解不夠透徹,在遇到這些障礙時(shí),也會(huì)顯得力不從心,顧此失彼。

    例2:已知兩個(gè)代數(shù)式4a+5與2a-1的值符號(hào)相同,求a得取值范圍。

    當(dāng)時(shí)我在改作業(yè)中的這題時(shí),全班70%以上的學(xué)生不會(huì)做,經(jīng)過提示后仍有為數(shù)不少的學(xué)生出現(xiàn)了這種不全面的解題:

    圖1 學(xué)生的不完整解答

    對(duì)大多數(shù)農(nóng)村學(xué)生而言,缺乏對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解,更不善于進(jìn)行分類。

    “符號(hào)相同”就意味著“同正”或“同負(fù)”,二者皆可,所以要進(jìn)行分類討論:

    可以借助數(shù)軸,確定兩個(gè)不等式組的解集分別為,因?yàn)閮煞N情況都有可能,所以a的取值范圍是。

    教學(xué)時(shí),對(duì)于作業(yè)中的出現(xiàn)的問題,我也常把它們先分類,再講解,我認(rèn)為這樣可以幫助學(xué)生更有效的掌握與接受知識(shí)。上述例2 的出現(xiàn)與講解之后,我便將之后作業(yè)中的一個(gè)類似問題讓學(xué)生思考并解答:

    例3:如果關(guān)于x,y的方程組,的解同號(hào),求k的取值范圍。

    雖然此時(shí)學(xué)生在對(duì)把方程組的解x,y用含k的代數(shù)式表示時(shí)有困難,但是可喜的是,只要把方程組的解求出的學(xué)生都能正確的列出不等式組,從而借助數(shù)軸求出k的取值范圍是k>3或k<。

    通過這兩題的練習(xí),不僅幫助學(xué)生鞏固復(fù)習(xí)了已學(xué)的數(shù)學(xué)概念,培養(yǎng)了數(shù)學(xué)計(jì)算能力,更讓學(xué)生樹立了正確思考和分類的數(shù)學(xué)思想和意識(shí),為進(jìn)一步學(xué)好數(shù)學(xué)奠定了一定的基礎(chǔ)。

    3 適時(shí)分類,借助數(shù)軸攻破思維障礙

    一元一次不等式這一章,喜歡也習(xí)慣出這樣一種題型:

    例4:已知關(guān)于x的不等式只有四個(gè)正整數(shù)解1,2,3,4,那么正數(shù)a的取值范圍是什么?

    對(duì)于農(nóng)村初中生而言,本題很抽象,無處入手。如果能適時(shí)分類,并借助數(shù)軸,便能很直觀地解決此類題型。教學(xué)時(shí),我先讓學(xué)生求出這個(gè)不等式的解集,再讓學(xué)生畫出一條數(shù)軸,并把這個(gè)不等式的四個(gè)正整數(shù)解在數(shù)軸上用點(diǎn)表示出來,接下來,就是將借助數(shù)軸讓分類思想來發(fā)揮作用:若<1,很明顯,原不等式便沒有正整數(shù)解,若,原不等式的正整數(shù)解只有1個(gè),就是1,不合題意,所以表示數(shù)點(diǎn)一定在表示數(shù)1點(diǎn)的右邊,于是在數(shù)軸上,將表示數(shù)的點(diǎn)繼續(xù)往右移動(dòng),很直觀的將不正確的范圍一一排除,直到時(shí),原不等式的解集才包含1,2,3,4,若表示數(shù)的點(diǎn)繼續(xù)往右移動(dòng),當(dāng)時(shí),解集依然符合題意,但當(dāng)時(shí),符合條件的正整數(shù)解便逐漸增多,不止1,2,3,4四個(gè)。綜上分析,可列不等式組因而輕松解出

    因?yàn)閿?shù)軸是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的模型,將分類思想和數(shù)軸應(yīng)用于此題的分析與講解,通俗易懂,事半功倍!由此可見,正確的分類是解決一元一次不等式(組)問題的關(guān)鍵。

    數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性要求我們的學(xué)生學(xué)習(xí)必需的數(shù)學(xué),讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展,作為重要的一種數(shù)學(xué)模型,一元一次不等式(組)的學(xué)習(xí)和學(xué)好顯得尤為必要。而“分類思想”的靈活、適當(dāng)和準(zhǔn)確的應(yīng)用,可以化不等式的難點(diǎn)為易,化抽象為直觀……,因而,在教學(xué)中我們盡可能地讓每一名學(xué)生都來嗅一嗅“分類思想”這朵盛開之花的芳香!

    參考文獻(xiàn)

    [1]錢小剛:《例談一元一次不等式(組)中的數(shù)學(xué)思想》,《初中生世界:七年級(jí)》2015年 第6期

    [2]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011版),北京師范大學(xué)出版集團(tuán)2012年1月第1版,第29,第46頁

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