線面積分重要公式的問題式教學探討

吳世玕

曲線積分、曲面積分中格林公式、斯托克斯公式、高斯公式［1］是重要的公式，用這些公式，可以實現(xiàn)平面上閉曲線積分與二重積分的轉(zhuǎn)化，空間閉曲線積分與曲面積分的轉(zhuǎn)化，閉曲面積分與三重積分的轉(zhuǎn)化，對化簡積分及積分的理論研究都有非常重要的意義［2-3］.如何進行這部分內(nèi)容的教學，也非常值得研究.筆者對這部分內(nèi)容的教學，進行問題式教學探索，希望與其他數(shù)學老師分享教學方法，也希望本文對大學生學習高等數(shù)學、數(shù)學分析有所幫助.

1 格林公式的引入

假設閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，在D上連續(xù)，穿過區(qū)域D內(nèi)部且平行于坐標軸的直線與D的邊界曲線L的交點恰好為兩點，即區(qū)域D既是X型又是Y型的情形.如果L取逆時針方向，則可得到結(jié)論

如果區(qū)域D不滿足以上要求，也可作輔助線，將區(qū)域D分成有限個小區(qū)域，每個小區(qū)域都滿足上述要求，且輔助線上的曲線積分互相抵消，從而（1）式仍然成立.

問題2 一般的平面閉曲線積分與二重積分有何聯(lián)系？

其中，P(x,y),Q(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，L是D的正向邊界閉曲線.稱公式（2）為格林公式.

一般的高等數(shù)學及數(shù)學分析教材，都是直接給出形如（2）的格林公式，然后再證明.這樣就缺少一個由淺入深的探索過程，缺少模仿創(chuàng)新的訓練，缺少數(shù)學抽象思維的訓練過程.可以模仿牛頓—萊布尼茲公式的結(jié)構(gòu)，將其思想方法引入到平面曲線積分與二重積分上.先得到公式（1），再得到公式（2），其引入過程是逐步深入的.模仿往往是數(shù)學上獲得新知識的手段.

2 斯托克斯公式的引入

格林公式反映了平面曲線積分與二重積分的聯(lián)系，由公式（1）知

問題3 曲線積分∮ΓP(x,y,z)dx與P(x,y,z)的偏導數(shù)在以Γ為邊界的曲面上的曲面積分有何聯(lián)系？

設∑是以Γ為邊界的分片光滑有向曲面，Γ的正向與∑的側(cè)符合右手規(guī)則，P(x,y,z)在曲面∑（連同邊界Γ）上具有一階連續(xù)偏導數(shù).設∑與平行于z軸的直線相交不多于一點，并設∑為曲面z=f(x,y)的上側(cè)，有向曲線Γ在xoy面上的投影為平面有向曲線C，C所圍成的閉區(qū)域為Dxy，曲線C是Dxy的正向邊界曲線.f(x,y)在區(qū)域Dxy上有連續(xù)的一階偏導數(shù).由格林公式（3）得記曲面∑的法向量為則由復合函數(shù)求導法則及對坐標的曲面積分知由此可得

設有向曲線C參數(shù)方程為x=φ(t),y=ψ(t),t從t1到t2，則有向曲線 Γ的參數(shù)方程為x=φ(t),y=ψ(t),z=f(φ(t),ψ(t)),t從t1到t2.從而有，于是得到為了便于推廣和記憶，可以將此式寫成

將（4）式推廣到更一般的形式為

公式（5）為斯托克斯公式.

由一個函數(shù)形式的格林公式（3），將平面情形向曲面情形轉(zhuǎn)變，將平面曲線向空間曲線轉(zhuǎn)變，演繹出了一個函數(shù)情形的斯托克斯公式（4）.這可見斯托克斯公式是格林公式向空間曲線積分的推廣.先引出一個函數(shù)積分的情形，再向三個函數(shù)積分合寫形式推廣，得到三個積分合寫的斯托克斯公式.認識問題由淺入深，由簡到繁，符合學生的認識規(guī)律.通過逐漸引入，讓學生有一個探索、思維、模仿創(chuàng)新的過程，訓練了學生的數(shù)學思維方法.

問題5 格林公式與斯托克斯公式有何聯(lián)系？

由格林公式（3）出發(fā)，引出了斯托克斯公式（4），進一步推廣到公式（5），這說明斯托克斯公式是格林公式由平面向空間的推廣.

若取∑是xoy面上區(qū)域D，取向上一側(cè)，C為D的正向邊界曲線，由公式（5）得

公式（6）就是格林公式（3）.這說明格林公式是斯托克斯公式在平面上的特例.

3 高斯公式的引入

問題6 閉曲面積分與三重積分有何聯(lián)系？

格林公式、斯托克斯公式表明，多元函數(shù)的偏導數(shù)在區(qū)域內(nèi)、曲面塊上的積分與原函數(shù)在區(qū)域或曲面邊界上的曲線積分有一定的聯(lián)系.那么，多元函數(shù)偏導數(shù)在空間閉區(qū)域Ω內(nèi)的三重積分與函數(shù)在邊界曲面上的曲面積分是否有一定的聯(lián)系？從物質(zhì)守恒定律來說，設∑表示Ω 的表面，則R(x,y,z)dxdy，它表示流向曲面指定側(cè)的流量.那么，這些流量不可能憑空產(chǎn)生或消失.

若穿過Ω內(nèi)部且平行于坐標軸的直線與Ω的邊界曲面∑的交點多于兩個，可以引進幾張輔助曲面把Ω分為有限個閉區(qū)域，使得每個閉區(qū)域都滿足：平行于坐標軸的直線與Ω的邊界曲面相交恰好有兩個交點.沿輔助面正反兩側(cè)面的積分正好抵消.這樣公式（7）仍然成立.更一般地，公式（7）可推廣到一般的高斯公式

4 結(jié)論

平鋪直敘，直接給出要教的新知識，學生難以理解這些新知識與舊知識的關(guān)系.學生學起來很被動，缺泛主動性.如果從舊知識中提煉出本質(zhì)性的東西，從深度和廣度方面探討，加以拓展知識，使本質(zhì)性的東西得到推廣，產(chǎn)生新知識.這樣，學生更容易接受，學起來就會更主動，積極參與到教學的探討過程中.教學，必須要有問題，對問題展開討論，并解決問題，或給出展望，才能吸引學生的積極性，讓學生產(chǎn)生學習的興趣.

格林公式、斯托克斯公式、高斯公式都要求被積函數(shù)在積分曲線、積分曲面及其包圍的范圍內(nèi)有一階連續(xù)偏導數(shù).如果，被積函數(shù)在某些點處沒定義，或沒有一階連續(xù)偏導數(shù)，該如何解決問題？有興趣的同學可以參考文獻［2-3］中的一些例題，總結(jié)出解決問題的方法.