集合、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)核心考點(diǎn)A卷參考答案

一、選擇題

二、填空題

三、解答題

(2)A∩B=A,則A?B,A中不等式的解集分三種情況討論:

①當(dāng)a=0時(shí),A=R,A?B不成立;

綜上所述,a的取值范圍是(-∞,-4)∪[2,+∞)。

3 3.(1)設(shè)t=l o g2x,t∈R,則x=2t。因?yàn)楹瘮?shù)f(l o g2x)=x2+2x,所以f(t)=22t+2·2t,所以把t換成x可得f(x)=22x+2·2x。

(2)方程f(x)=a·2x-4在(0,2)內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根?22x+(2-a)·2x+4=0,在(0,2)內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根。令2x=m,則h(m)=m2+(2-a)m+4。

因?yàn)閤∈(0,2),所以m∈(1,4)。所以函數(shù)h(m)在(1,4)上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根。

又6 0≤x≤1 2 0,可得6 0≤x≤1 0 0,每小時(shí)的油耗不超過9L,所以x的取值范圍為[6 0,1 0 0]。

3 5.(1)由題意可知f(1)≥2,f(1)≤2,所以f(1)=2,所以a+b+c=2。

因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x)≥2x,即a x2+(b-2)x+c≥0恒成立,所以a+b+c=2,可知a=

所以f(-1)=a-b+c=4a-2的取值范圍是(-2,0]。

(2)對(duì)任意x1,x2∈[-3,-1]都有|f(x1)-f(x2)|≤1等價(jià)于在[-3,-1]上的最大值與最小值之差M≤1,由(1)知,

據(jù)此分類討論如下:

令f'(x)=0,得x=e1-a,故f(x)在(0,e1-a)上是增函數(shù),在(e1-a,+∞)上是減函數(shù)。故f(x)極大值=f(e1-a)=ea-1;無極小值。

(2)①當(dāng)e1-a＜e2,即a＞-1時(shí),f(x)在(0,e1-a)上是增函數(shù),在(e1-a,e2]上是減函數(shù)。所以f(x)max=f(e1-a)=ea-1;f(e-a)=a≤e2-2。

②當(dāng)e1-a≥e2,即a≤-1時(shí),f(x)在(0,e2]上是增函數(shù),故函數(shù)f(x)的圖像與函數(shù)g(x)=1的圖像在區(qū)間(0,e2]上至多有一個(gè)公共點(diǎn),故不滿足。

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,e2-2]。

3 7.(1)由題易知f'(x)=ex-2,切線的斜率k=f'(0)=1-2=-1。

因f(0)=e0-2×0-1=0,故f(x)在(0,f(0))處的切線方程為y=-x。

(2)由題易知g(x)=ex-2a x-a,則g'(x)=ex-2a。

當(dāng)a≤0時(shí),g'(x)＞0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增,不符合題意。

當(dāng)a＞0時(shí),令g'(x)=0,得x=l n2a,在(-∞,l n2a)上,g'(x)＜0,在(l n2a,+∞)上,g'(x)＞0,故g(x)在(-∞,l n2a)上單調(diào)遞減,在(l n2a,+∞)上單調(diào)遞增。

所以 g(x)極小值=g(l n2a)=2a-2al n2a-a=a-2al n2a。

因?yàn)間(x)有兩個(gè)零點(diǎn),所以g(x)極小值＜0,即a-2al n2a＜0。

3 8.(1)由題知f'(x)=2x(l nx-1)+x=2xl nx-x,所以f'(1)=-1。

又f(1)=-1,所以在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x+y=0。

(2)由于函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),所以m f(x)+ex≥0?m x2(l nx-1)

令g(x)=m x(l nx-1),則g'(x)=ml nx,可得,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g'(x)＜0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g'(x)＞0。所以g(x)min=g(1)=-m。

所以h(x)max=h(1)=-e,由-m≥-e得m≤e。

所以m的取值范圍為(0,e]。

由k(1)=0知,當(dāng)0＜x＜1時(shí),k(x)＞0,從而f'(x)＞0,當(dāng)x＞1時(shí),k(x)＜0,從而f'(x)＜0。

綜上可知,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,+∞)。

現(xiàn)證明:對(duì)任意x＞0,g(x)＜1+e-2恒成立。

當(dāng)x≥1時(shí),由(1)知g(x)≤0＜1+e-2成立;

當(dāng)0＜x＜1時(shí),ex＞1,且由(1)知g(x)-x。

設(shè)F(x)=1-xl nx-x,x∈(0,1),則F'(x)=-(l nx+2)。

當(dāng)x∈(0,e-2)時(shí),F'(x)＞0;當(dāng)x∈(e-2,1)時(shí),F'(x)＜0。所以當(dāng)x=e-2時(shí),F(x)取得最大值F(e-2)=1+e-2。

所以g(x)＜F(x)≤1+e-2,即0＜x＜1時(shí),g(x)＜1+e-2。

綜上,對(duì)任意x＞0,g(x)＜1+e-2。 ①

令G(x)=ex-x-1(x＞0),則G'(x)=ex-1＞0恒成立,所以G(x)在(0,+∞)上遞增,G(x)＞G(0)=0恒成立,即ex＞

(Ⅰ)當(dāng)a＜0時(shí),f'(x)＜0,故函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減。

綜上所述:當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;當(dāng)a＞0時(shí),函數(shù)f(x)在調(diào)遞增。

(Ⅱ)因?yàn)閷?duì)任意m∈[1,e],直線PM的傾斜角都是鈍角,所以對(duì)任意m∈[1,e],直f(m)＜1,即f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值令g(x)=a x2-2,x∈[1,e]。

(1)當(dāng)a≤0時(shí),由(Ⅰ)知f(x)在區(qū)間[1,e]上單調(diào)遞減,所以f(x)的最大值為

因?yàn)閤∈[e,e2],所以f(x1)≤f'(x2)+a成立?x∈[e,e2],[e,e2]上為減函數(shù),則f(x)min=f(e2)=

①當(dāng)-a≥0,即a≤0時(shí),f'(x)≥0在[e,e2]上恒成立,因此f(x)在[e,e2]上為增的單調(diào)性和值域可知,存在唯一x0∈(e,e2),使得f'(x0)=0,且滿足:當(dāng)x∈[e,x0)時(shí),f'(x)＜0,f(x)為減函數(shù);當(dāng)x∈(x0,e2)時(shí),f'(x)＞0,f(x)為增函數(shù)。所以f(x)min不合題意,舍去。

②當(dāng)-a＜0,即