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    空間幾何體的截面

    2018-10-18 10:59:04張小蓉張秀蓉
    新課程·下旬 2018年5期
    關(guān)鍵詞:交線所求中點(diǎn)

    張小蓉 張秀蓉

    高考文科數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生的空間想象能力有較高的要求,近幾年有多地的文科數(shù)學(xué)高考中直接或間接地出現(xiàn)了作圖題,其中如何做出空間幾何體的截面更是重難點(diǎn).

    如2015年全國(guó)卷Ⅱ,第19題:

    如圖1,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在A1B1,C1D1上,A1E=D1F=4.過點(diǎn)E,F(xiàn)的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形.

    (1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由);

    (2)求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值.

    那如何作出一個(gè)幾何體的截面?首先,截面的邊界必在幾何體的表面,作截面的本質(zhì)是找出平面與幾何體表面的交線;其次,判斷平面與幾何體的哪些表面有交線,由公理三可知兩個(gè)平面若有一個(gè)交點(diǎn),必有一條交線;最后,作出交線即可.筆者將作交線分出以下兩種題型:

    一、相交型

    例1.(2015秋·石景山區(qū)期末)如圖2,有一個(gè)正方體的木塊,E為棱AA1的中點(diǎn).現(xiàn)因?qū)嶋H需要,需要將其沿平面D1EC將木塊鋸開.請(qǐng)你畫出平面D1EC截正方體的截面.

    解法一:1.判斷線段EC并不在正方體表面,點(diǎn)C為平面D1EC與平面ABCD的交點(diǎn),所以平面D1EC與平面ABCD存在交線;

    2.顯然點(diǎn)C對(duì)邊D1E與平面ABCD不平行;

    3.在平面A1D1DA內(nèi),延長(zhǎng)D1E與直線DA相交于點(diǎn)F,則直線CF與直線AB相交于點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)EG;

    則易得四邊形CGED1為所求截面

    二、平行型

    同樣我們觀察例1,有解法二:

    1.判斷線段EC并不在正方體表面,點(diǎn)E為平面D1EC與平面A1B1BA的交點(diǎn),所以平面D1EC與平面A1B1BA存在交線;

    2.且顯然點(diǎn)E對(duì)邊CD1與平面A1B1BA平行;

    3.在平面A1B1BA內(nèi),過點(diǎn)E作直線與直線CD1平行,與直線AB交于點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)CG;

    則易得四邊形CGED1為所求截面.

    從例1的解答中,我們可以總結(jié)出,要得出兩平面的交線,只需先找出一個(gè)交點(diǎn),并判斷該點(diǎn)的對(duì)邊與平面是否平行,并相應(yīng)地作延長(zhǎng)線或平行線即可.

    除了題目直接要求作出截面或交線以外,以下兩個(gè)題型也與截面有關(guān):

    例2.如圖3,四棱錐P-ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為線段CD,PB的中點(diǎn),在線段PC上是否存在一點(diǎn)Q使得AFQE四點(diǎn)共面,若存在求的值,不存在請(qǐng)說明理由.

    解題思路:延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)FQ交PC于點(diǎn)Q,即所求;

    易得點(diǎn)Q是三角形PBG的重心,所以=2.

    例3.如圖4,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面為等腰直角三角形,AB=AC;

    點(diǎn)D為線段BC1的中點(diǎn),證明:BC⊥平面AA1D.

    解題思路:將三角形AA1D擴(kuò)大至截面,易證.

    如例2,例3,立體幾何中很多題目的難點(diǎn)在于如何找出平面相關(guān)的平行和垂直關(guān)系,有時(shí)將圖形擴(kuò)大至截面可使問題迎刃而解.

    ?誗編輯 李建軍

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