淺談高中數(shù)學(xué)教師本體性知識(shí)之極限思想

張美芳

摘 要：數(shù)學(xué)的本體性知識(shí)，是指教師所具備的特定的學(xué)科知識(shí)，教師在教學(xué)的過(guò)程中，除了傳遞學(xué)科知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力與應(yīng)用能力。極限思想是高中數(shù)學(xué)一種基本又重要的數(shù)學(xué)思想，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中滲透極限思想，可以使一些數(shù)學(xué)問(wèn)題避免復(fù)雜的運(yùn)算，由難變易，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和意識(shí)有著積極的作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)本體性知識(shí)；極限思想；高考解題；滲透

一、數(shù)學(xué)本體性知識(shí)和極限思想的概述

數(shù)學(xué)的本體性知識(shí)既包括顯性的可言傳的數(shù)學(xué)知識(shí)，也包括隱性的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，數(shù)學(xué)思想方法及能力是兩者的統(tǒng)一。極限思想是高中數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系紐帶，極限思想的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，提高自身解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，促進(jìn)自身數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合發(fā)展有著極其重要的作用。

在高中的數(shù)學(xué)課本上，并沒(méi)有對(duì)極限的概念明確給出定義，然而在教材的多處內(nèi)容上卻滲透和體現(xiàn)了極限思想，如“區(qū)間的無(wú)窮遠(yuǎn)”“二分法求方程的近似解”“函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念”等。極限思想是“使數(shù)學(xué)真正成為科學(xué)，使數(shù)學(xué)在應(yīng)用方面和純理論方面發(fā)展成為豐富而正確的科學(xué)，進(jìn)步成為深?yuàn)W嚴(yán)格的科學(xué)的思想，滲透于整個(gè)數(shù)學(xué)中，并總是在活躍著的思想”。

極限的思想，是指用極限的概念分析和解決問(wèn)題的思想，是一種無(wú)限接近于精準(zhǔn)答案的思想，它可以幫助人們?cè)谟邢拗姓J(rèn)識(shí)無(wú)限，在近似中認(rèn)識(shí)精確。在高中階段，對(duì)于極限思想的學(xué)習(xí)主要集中在解題中的運(yùn)用。下面通過(guò)一些例題的分析來(lái)提高對(duì)極限思想在解題中運(yùn)用的理解。

二、極限思想在解題中的具體應(yīng)用

【例1】（2011年山東高考理科數(shù)學(xué)第16題）

已知函數(shù)f（x）=logax+x-b（a>0，a≠1），當(dāng)2

解析：因?yàn)閍>2，f（x）在（n，n+1）時(shí)單調(diào)遞增。由題意可得，f（n）f（n+1）<0，則f（n）=logan+n-b<0，f（n+1）=loga（n+1）+n+1-b>0，當(dāng)a→2，b→3時(shí)log2n+n-3≤0，當(dāng)a→3，b→4時(shí)，log3（n+1）+（n+1）-4≥0，因?yàn)閚∈N*，因此n=2。

單調(diào)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間求范圍問(wèn)題，把區(qū)間端點(diǎn)代入求值，是極限思想方法的應(yīng)用。在上題中，我們將問(wèn)題中的變量無(wú)限逼近某個(gè)具體的數(shù)值，這樣使問(wèn)題的隱含條件暴露，使問(wèn)題容易進(jìn)行分析判斷。

【例2】（2015年高考全國(guó)卷Ⅰ卷理科16題）

在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是 。

解析：如圖，構(gòu)造一個(gè)以∠B，∠C為底角的等腰三角形EBC，∠B=∠C=75°，過(guò)點(diǎn)C作CF=2，與EB交于點(diǎn)F，作AD∥CF，則∠A=75°，當(dāng)A→E時(shí)，AB最長(zhǎng)。在△EBC中，由正弦定理得，=，因此，AB=+；當(dāng)A→F時(shí)，AB最短，此時(shí)=，得AB=-，所以，AB∈（-，+）

在上題的解法中，“化靜為動(dòng)，以動(dòng)制靜”，利用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，著眼于問(wèn)題的極限狀態(tài)，摒棄了繁瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算，使得所研究問(wèn)題更加直觀、明朗。因此，根據(jù)問(wèn)題的不同條件和特點(diǎn)，合理選擇運(yùn)算途徑是提高運(yùn)算能力的關(guān)鍵，而靈活地利用極限思想就成為減少運(yùn)算量的一條重要途徑。

在高考中我們經(jīng)常會(huì)碰到一些“無(wú)限性”特征的問(wèn)題，有可能是變量取值的無(wú)限趨近，動(dòng)點(diǎn)或者圖形的無(wú)限趨近，也或者是參數(shù)的無(wú)限趨近，這些都可以采取極限思想進(jìn)行解題，通過(guò)以上幾個(gè)具體例子的展示，采用極限思想解題，避免了繁雜的運(yùn)算，使抽象的條件更為具體，活化了思維，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

三、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)如何培養(yǎng)學(xué)生的極限思維

極限思想從哲學(xué)的角度揭示了變與不變、近似與精確、有限與無(wú)限的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律。在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中滲透極限的思想，對(duì)于提升學(xué)生的思維層次和數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)有著積極的作用。

1.極限思想在高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容中有很多的體現(xiàn)，但是作為高中教材的隱形課程資源，它不成體系，還有待進(jìn)一步的挖掘。因此，教師在教學(xué)的過(guò)程中，要樹(shù)立課程意識(shí)，把極限思想方法的教學(xué)融入備課環(huán)節(jié)，以教材內(nèi)容為載體，依據(jù)學(xué)生的學(xué)情，挖掘教材中能夠滲透極限思想的因素。

2.極限思想對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，是抽象和陌生的，因此教師要認(rèn)真研讀教材，精準(zhǔn)定位極限思想的落腳點(diǎn)，使學(xué)生對(duì)于極限思想的模糊印象變?yōu)榍逦?。高中階段學(xué)習(xí)極限思維，主要還是體現(xiàn)在解題的應(yīng)用方面，學(xué)生可以通過(guò)習(xí)題課和復(fù)習(xí)教學(xué)，逐步提高利用極限思想分析和解決問(wèn)題的能力，讓學(xué)生體驗(yàn)極限思想在解題上的簡(jiǎn)捷性和優(yōu)越性，感受極限思維在解題應(yīng)用中的魅力所在，加深理解和印象。

參考文獻(xiàn)：

[1][日]米山國(guó)藏.數(shù)學(xué)的精神思想和方法[M].毛正中，譯.重慶：四川教育出版社，1986.

[2]林新建.思想立意，將數(shù)學(xué)解題臻于完美[M].長(zhǎng)春：吉林大學(xué)出版社，2015.

注：本文為泉州市教育“領(lǐng)航團(tuán)隊(duì)”專項(xiàng)課題《分層教學(xué)下高中數(shù)學(xué)教師本體性知識(shí)的研究》成果之一，立項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)號(hào)：QLHKT-018。

？誗編輯 趙飛飛