探究課本習(xí)題升華數(shù)學(xué)素養(yǎng)

秦小龍

摘要：數(shù)學(xué)教育的目的是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，進(jìn)而提高學(xué)生的探究拓展能力，而教材是實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)、實(shí)施教學(xué)的重要資源。由單墫主編的蘇教版教材充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念。筆者通過(guò)一道課本探究拓展題的求解、延伸和拓展，讓學(xué)生通過(guò)自主探究，發(fā)現(xiàn)和提出新的問(wèn)題，在分析和解決問(wèn)題的過(guò)程中，收獲了成功的喜悅，積累了數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到了升華。

關(guān)鍵詞：課本習(xí)題；探究拓展；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；三角形內(nèi)心；向量表示

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2018）17-072-2

一、問(wèn)題的提出

蘇霍姆林斯基說(shuō)：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望感到自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者；在兒童的精神世界中，這種需要特別強(qiáng)烈?！惫P者認(rèn)為，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只局限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)教學(xué)還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究、動(dòng)手實(shí)踐等學(xué)習(xí)活動(dòng)。在這方面，教材起到了很好的引領(lǐng)和示范作用。蘇教版普通高中課程實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》在課后習(xí)題和復(fù)習(xí)題部分設(shè)置了不同層次的欄目：“感受·理解”、“思考·運(yùn)用”及“探究·拓展”，其中“探究·拓展”欄目就是著眼于鼓勵(lì)學(xué)生探究、創(chuàng)新，所選問(wèn)題充分關(guān)注探究性、創(chuàng)造性和開(kāi)放性，充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，開(kāi)拓學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和核心素養(yǎng)。在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)“探究·拓展”欄目下的問(wèn)題進(jìn)行聯(lián)想和拓展，學(xué)生在處理這些問(wèn)題時(shí)迸發(fā)的思維火花，經(jīng)過(guò)老師的有效點(diǎn)撥，往往能收獲意想不到的成果。

蘇教版必修4 P84上的一道探究拓展題：已知向量OA，OB，OC滿足條件OA+OB+OC=0，且|OA|=|OB|=|OC|，求證：△ABC是正三角形。問(wèn)題本身不難理解，OA+OB+OC=0表明O是△ABC的重心，|OA|=|OB|=|OC|表明O是△ABC的外心，因此△ABC是正三角形很好理解，關(guān)鍵是教材P82例2由OA⊥BC，OB⊥AC可推知O是△ABC的垂心，而對(duì)于三角形的幾個(gè)“心”，高中學(xué)生的印象還是比較深刻的，既然有了重心、垂心、外心，很自然就會(huì)促使學(xué)生去想三角形內(nèi)心的情況是怎樣的？是不是也有類(lèi)似的、比較簡(jiǎn)潔的向量表達(dá)形式？教材在探究拓展欄目中設(shè)置了這樣一道習(xí)題，確實(shí)激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知的欲望。

很多學(xué)生通過(guò)翻閱資料和上網(wǎng)搜索找到了一個(gè)公認(rèn)的最漂亮的向量等式a·OA+b·OB+c·OC=0，但是普遍反映很難證明。筆者將學(xué)生處理該問(wèn)題時(shí)的迸發(fā)一些思維火花放大和聚攏，和學(xué)生一起將問(wèn)題成功解答。在此過(guò)程中不僅學(xué)生收獲了發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的成就感，老師在分析問(wèn)題的過(guò)程中也拓展了思維空間，真正實(shí)現(xiàn)了教與學(xué)的“雙贏”，現(xiàn)整理出來(lái)與大家分享。

二、問(wèn)題的解決

1.把向量轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)

該問(wèn)題敘述明確，給出的向量等式整齊、和諧，是一個(gè)對(duì)稱(chēng)式，非常美觀，但直接用卻很難得到結(jié)果，因此要想辦法先消掉一個(gè)向量，怎么消呢？聯(lián)想到必修5利用向量證明正弦定理的方法，找一個(gè)與其中一個(gè)向量垂直的向量去乘以等式的兩邊，把向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)這一樸素的思想方法。

方法1：作輔助向量n⊥OA，且|n|=|OA|，由已知可得b·n·OB+c·n·OC=0，即b·|n|·|OB|·cos（∠AOB-90°）+c·|n|·|OC|·cos（270°-∠AOC）=0，

∴b·|n|·|OB|·sin∠AOB-c·|OA|·|OC|·sin∠AOC=0，

∴2bS△AOB-2cS△AOC=0，設(shè)O到AB、AC、BC的距離分別為h1，h2，h3，則bch1-cbh2=0，

∴h1=h2，同理可得h2=h3，所以O(shè)為△ABC的內(nèi)心。

點(diǎn)評(píng)：課本是知識(shí)的載體，也是方法的源泉，我們要充分認(rèn)識(shí)到課本的重要性，更要多角度的解讀課本，盡可能多的發(fā)揮課本的功能。

2.挖掘等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

從結(jié)構(gòu)上分析，該等式左邊是三個(gè)向量的和，右邊是0，類(lèi)似于OA+OB+OC=0，所以想到能否轉(zhuǎn)化成重心問(wèn)題來(lái)研究呢？

方法2：分別作向量OD=a·OA，OE=b·OB，OF=c·OC，∴原等式即為OD+OE+OF=0，易得O為△DEF的重心。

∴S△ODE=S△ODF=S△OEF=13S△DEF，

∴12OD·OF·sin∠DOF=12OD·OE·sin∠DOE，

12a·|OA|·c·|OC|·sin∠AOC=12a·|OA|·b·|OB|·sin∠AOB，

∴cS△AOC=b·S△AOB。設(shè)O到AB、AC、BC的距離分別為h1，h2，h3，則bch1-cbh2=0，

∴h1=h2，同理可得h2=h3，所以O(shè)為△ABC的內(nèi)心。

點(diǎn)評(píng)：該方法的得證來(lái)自于一次偶然的嘗試，然而，偶然之中也有必然性。向量是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)，它能與平面幾何、解析幾何、三角、數(shù)列、不等式等內(nèi)容交叉滲透，使數(shù)學(xué)問(wèn)題的情境新穎別致，自然流暢。此方法還能解決以下類(lèi)似問(wèn)題：

1.已知O在△ABC的內(nèi)部，有AB=4OB+5OC，則△OAB與△OBC的面積之比為。

2.△ABC內(nèi)接于以O(shè)為圓心的圓，且3OA+4OB+5OC=0，則△ABC的面積S=。