混合不確定性下的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法

肖寧聰 ，周成寧，張成林，劉志亮

(1.湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 長(zhǎng)沙 410082；2.電子科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院 成都 611731；3.上海航天設(shè)備制造總廠 上海 閔行區(qū) 200245)

在工程中，通常會(huì)出現(xiàn)各種各樣的不確定性問題，如外部載荷、材料的屬性、加工尺寸、近似模型誤差等，不確定性是影響結(jié)構(gòu)可靠性最為關(guān)鍵的因素之一[1-2]。不確定性通?？梢苑譃閮纱箢悾弘S機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性[3]。隨機(jī)不確定性是由于事物的固有波動(dòng)性引起的，在數(shù)學(xué)中通常可以用隨機(jī)變量進(jìn)行建模。認(rèn)知不確定性由于數(shù)據(jù)不足、信息量少等引起的，可用區(qū)間理論、模糊數(shù)學(xué)、可能性理論等進(jìn)行描述。

機(jī)械零部件通常有多種失效模式(如疲勞、磨損、腐蝕等)，由于各失效模式通常有共享變量及相同的因素影響，因而有較強(qiáng)的非線性相關(guān)性。多失效模式可靠性方法一直是待解決的難點(diǎn)問題，相關(guān)學(xué)者相繼提出了一系列方法，如二階窄方法[4]、互補(bǔ)交集模型[5]、鞍點(diǎn)近似法[6]等。然而，大多數(shù)現(xiàn)有多失效模式可靠性方法只能刻畫線性相關(guān)性，而對(duì)非線性問題不能有效解決。不僅如此，現(xiàn)有方法大多集中在隨機(jī)不確定性下，混合不確定性下的多模式可靠性方法研究鮮有報(bào)道。近年來，Copula函數(shù)被用于對(duì)變量及失效模式間復(fù)雜非線性相關(guān)問題進(jìn)行建模[7]。文獻(xiàn)[8]提出了基于鞍點(diǎn)近似及Copula函數(shù)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性分析方法；文獻(xiàn)[9]提出了基于高斯Copula函數(shù)的可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化方法；文獻(xiàn)[10]用Copula函數(shù)對(duì)相關(guān)性進(jìn)行建模，詳細(xì)分析了假定失效模式間相互獨(dú)立在可靠性分析中存在的誤差。雖然基于Copula函數(shù)多失效模式可靠性分析有了相應(yīng)的研究，但是絕大部分建立在隨機(jī)不確定下，混合不確定下基于Copula函數(shù)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性分析方法鮮有報(bào)道。針對(duì)工程中普遍存在的混合不確定性問題，分別用隨機(jī)變量和區(qū)間變量對(duì)隨機(jī)和認(rèn)知不確定性進(jìn)行建模，為了提高計(jì)算效率，用先進(jìn)的仿真方法對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行采樣從而確定性能函數(shù)的極值響應(yīng)。為了最大限度地減少人為主觀信息等帶來的誤差，利用最大熵方法對(duì)極值響應(yīng)進(jìn)行分布近似，通過Copula函數(shù)最終近似確定系統(tǒng)失效概率的最大和最小值。最后給出一個(gè)工程算例驗(yàn)證本文方法的精度和有效性。

1 確定混合不確定性下性能函數(shù)響應(yīng)的極值

式中，Zi為第i個(gè)性能函數(shù)的輸出響應(yīng)，

設(shè)隨機(jī)變量Xi的分布函數(shù)為則Xi的Nr個(gè)樣本可表示為：

基于隨機(jī)矢量X的Nr個(gè)樣本，則第i個(gè)性能函數(shù)在區(qū)間變量上的極值響應(yīng)(最大和最小值)分別表示為：

現(xiàn)有很多優(yōu)化方法可用來求解式(3)和式(4)的優(yōu)化模型，如遺傳算法、序列規(guī)劃算法等。由式(3)和式(4)可得系統(tǒng)Nr個(gè)最小和最大值響應(yīng)分別為：

2 基于最大熵理論近似極值響應(yīng)的概率密度函數(shù)

最大熵原理為在現(xiàn)有的數(shù)據(jù)和樣本情況下，確定出熵最大的一種概率分布作為現(xiàn)有數(shù)據(jù)和樣本量的概率分布函數(shù)。由于最大熵在近似隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)時(shí)不需要任何額外的人為主觀信息及假設(shè)，因此是一種精度較高的方法[11]。利用最大熵原理近似隨機(jī)變量Z的分布可表示為[12]：

滿足以下約束：

式中，p(Z)為隨機(jī)變量Z的概率密度函數(shù)；Sz為積分域；為第i階原點(diǎn)矩。

根據(jù)拉格朗日乘子法，p(Z)可表示為：

式中，λi為待定的拉格朗日乘子，可用牛頓迭代優(yōu)化算法求得。

研究表明，在一般運(yùn)用中僅用前四階矩即可滿足精度要求，由式(5)和式(6)可知，第k個(gè)失效模式最小和最大值響應(yīng)的前四階矩可表示為：

由式(10)～式(12)，則第k個(gè)失效模式最小和最大值響應(yīng)的最大熵密度函數(shù)為：

由式(13)、式(14)可知第k個(gè)失效模式的失效概率最小和最大值分別可計(jì)算為：

式(15)、式(16)中的積分沒有解析解，可借助辛普森或梯形積分算法求解。

3 利用Copula函數(shù)確定系統(tǒng)失效概率的最大和最小值

3.1 Copula函數(shù)

式中，θ為Copula函數(shù)的參數(shù)。若全為連續(xù)的邊緣分布函數(shù)，則Copula函數(shù)唯一確定。為了方便和簡(jiǎn)單起見，僅考慮二元Copula函數(shù)的情況，多元Copula函數(shù)情況可在此基礎(chǔ)上類推，常見二元Copula函數(shù)如下[14]：

Clayton Copula函數(shù)：

Gumbel Copula函數(shù)：

Gauss Copula函數(shù)：

3.2 混合不確定性下Copula函數(shù)可靠性建模

由式(17)可知，具有兩個(gè)失效模式串聯(lián)系統(tǒng)的失效概率可表示為：

需指出的是，當(dāng)系統(tǒng)存在區(qū)間變量時(shí)候，系統(tǒng)失效概率是區(qū)間而非精確值，此時(shí)系統(tǒng)失效概率的最大和最小值可分別近似表示為下述優(yōu)化模型：

式中，θU和θL分別為Copula函數(shù)參數(shù)的上下界，為第k個(gè)失效模式的失效概率最小和最大值。

為了確定Copula函數(shù)參數(shù)的上下界，假定Copula函數(shù)的結(jié)構(gòu)不變，首先在區(qū)間矢量Y的取值范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生由最大熵方法可得出兩個(gè)失效模式分別在下的最大熵密度函數(shù)、分布函數(shù)和失效概率對(duì)所得的最大熵分布函數(shù)進(jìn)行采樣，并根據(jù)分步估計(jì)和最大似然估計(jì)法，可估計(jì)出下的Copula函數(shù)參數(shù)樣本的對(duì)數(shù)似然函數(shù)可表示為：

式中，F(xiàn)1和F2分別表示失效模式1、2的最大熵分布函數(shù)；下的最大熵概率密度函數(shù)；Nh為獲取的樣本量。

在滿足一定精度要求的條件下，Uθ和Lθ可分別近似表示為：

4 算例分析

某空心壓桿，如圖1所示，具有穩(wěn)定性及強(qiáng)度兩種失效模式，其性能函數(shù)分別為：

式中，F(xiàn)、E、S、d、t、l分別表示軸向載荷、材料彈性模量、材料屈服極限、截面中徑、壁厚和桿長(zhǎng)，單位分別為kN、GPa、MPa、mm、mm、mm。為了說明本文方法的有效性，壁厚假定為區(qū)間變量，其上下界分別為2.42 mm和2.38 mm。變量的相關(guān)分布信息如表1所示。

圖1 空心桿

表1 變量的分布信息

為了求解各失效模式失效概率的最大和最小值，首先用拉丁方采樣方法對(duì)各隨機(jī)變量進(jìn)行采樣，樣本量為5 000。由式(3)、式(4)可得樣本在區(qū)間變量上的最大和最小值，并分別進(jìn)行最大熵密度函數(shù)估計(jì)，如g1、g2響應(yīng)最大值的最大熵密度函數(shù)分別如圖2和圖3所示。由式(15)、式(16)可得失效模式g1、失效概率的最大和最小值。需特別指出的是，變量t為區(qū)間變量，只代表其可在區(qū)間范圍內(nèi)任意取值，而并不知道其任何其他信息，因此不能等同于其在所取值范圍內(nèi)均勻分布。另外，選擇Copula函數(shù)對(duì)失效模式相關(guān)性進(jìn)行建模，由式(22)、式(23)可得參數(shù)θ的最大和最小值估計(jì)分別為1.92、1.55。

圖2 g1響應(yīng)最大值的密度函數(shù)

為了說明本文方法的精度和有效性，采用蒙特卡羅方法進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，樣本量為610。當(dāng)系統(tǒng)中存在區(qū)間變量時(shí)，為了確定系統(tǒng)失效概率最大和最小值，可把區(qū)間變量平均分成若干小區(qū)間，分別計(jì)算區(qū)間變量在小區(qū)間端點(diǎn)時(shí)系統(tǒng)的失效概率并確定失效概率的極值，所得系統(tǒng)失效概率最大和最小值如表2所示。從表2可知，用本文方法所得的結(jié)果與蒙特卡羅所得的結(jié)果較為接近。然而，蒙特卡羅方法一般情況下需要大量的樣本，因此計(jì)算效率低，特別是在混合不確定性下，對(duì)于區(qū)間變量任意取值，都需要大量的樣本進(jìn)行仿真，因此計(jì)算效率極低，在工程中難以適用。

圖3 g2響應(yīng)最大值的密度函數(shù)

表2 本文方法與蒙特卡羅仿真所得的結(jié)果

5 結(jié)束語

本文對(duì)混合不確定性下基于Copula函數(shù)及最大熵方法的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法進(jìn)行初步探索性研究，并用算例驗(yàn)證了方法的合理性。

1)不確定性廣泛存在工程中，考慮混合不確定性下的多失效模式可靠性方法更加符合工程實(shí)際。

2)Copula函數(shù)能有效刻畫多失效模式間較強(qiáng)的非線性相關(guān)性，可有效構(gòu)建失效模式間的聯(lián)合分布函數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)中存在區(qū)間變量時(shí)，Copula函數(shù)中的參數(shù)估計(jì)值為區(qū)間而非精確值。

3)利用最大熵近似極值響應(yīng)的分布，可有效避免人為主觀假設(shè)所帶來的誤差，根據(jù)響應(yīng)的極值可計(jì)算失效概率的最大和最小值。

4)混合不確定性下系統(tǒng)的失效概率為區(qū)間而非精確值，計(jì)算量較大。一般情況下，采樣的樣本量越大，所得計(jì)算結(jié)果更精確。但是，當(dāng)失效概率較小時(shí)，本文方法會(huì)帶來較大誤差。