基于跳度約束的連續(xù)短線段高速加工運動學(xué)平滑算法

杜金鋒，張立強，高 甜

(上海工程技術(shù)大學(xué) 機械工程學(xué)院，上海 201620)

0 引言

數(shù)控(Numerical Control, NC)系統(tǒng)在加工由連續(xù)短線段組成的刀具路徑時，生成多個連續(xù)的點對點(P2P)運動加工的NC程序，NC程序所規(guī)定的刀具路徑是位置(G0)連續(xù)。如果直接進行加工，機床進給軸進給到路徑拐角處就必須減速停止，轉(zhuǎn)變進給方向后再加速進給，這就導(dǎo)致機床進給軸頻繁啟停，引起刀具振動，降低加工質(zhì)量。針對該問題，有專家學(xué)者提出樣條曲線插補技術(shù)，即在連續(xù)短線段刀具路徑拐角處插入高階樣條曲線，根據(jù)樣條曲線計算出進給軸在拐角處的最佳轉(zhuǎn)接速度，再對拐角間的短線段進行速度規(guī)劃，使得在加工過程中機床進給軸速度和加速度可以平滑轉(zhuǎn)接，有效減少刀具振動、提高加工質(zhì)量。張君等[1]用曲率連續(xù)的NURBS曲線平滑刀具路徑中的拐角，再采用7段和5段混合的雙向S型加減速控制算法進行速度規(guī)劃。張曉輝等[2]建立拐角曲線過渡插補算法來確定連續(xù)短線段刀具軌跡的速度極小值點和該點的速度。何均等[3]參考連續(xù)短線段刀具路徑轉(zhuǎn)接的幾何約束、運動約束、轉(zhuǎn)接參數(shù)計算和空間圓弧插補等理論，提出圓弧轉(zhuǎn)接數(shù)學(xué)模型以實現(xiàn)高速連續(xù)短線段插補。

但是對連續(xù)短線段刀具路徑進行樣條曲線插補并不能廣泛應(yīng)用于數(shù)控系統(tǒng)，因為平滑的高階樣條曲線在插補過程中需要大量復(fù)雜計算。大多數(shù)NC系統(tǒng)無法滿足實時高效內(nèi)插高階樣條曲線的硬件要求，而且高階樣條曲線插補技術(shù)還存在一些技術(shù)瓶頸，如：精確計算曲線長度、高效規(guī)劃進給速度和實時插值過程中有效抑制弦高誤差等。因此，有些專家學(xué)者直接研究伺服軸的運動學(xué)平滑技術(shù)，使得在拐角處各伺服軸的輪廓軌跡混合生成的刀具路徑平滑轉(zhuǎn)接，在提高加工效率和加工質(zhì)量的同時消除高階樣條曲線插補的需求。黃昕等[4]根據(jù)小線段中進給速度約束條件，采用基于雙向掃描算法確定小線段拐角處的最優(yōu)進給速度。冷洪濱等[5]提出一種三次多項式型加減速自適應(yīng)插補算法，以提高微細加工的加工質(zhì)量。Duan等[6]使用最優(yōu)控制生成時間最佳的轉(zhuǎn)彎軌跡。Tsai等[7]研究伺服軸在拐角處生成的混合路徑，提高拐角的動態(tài)輪廓精度。Tajima等[8]針對軌跡中的拐角提出躍度約束的運動學(xué)平滑算法，實現(xiàn)進給軸在拐角處的最優(yōu)運動。

本文在現(xiàn)有伺服軸運動學(xué)平滑技術(shù)的基礎(chǔ)上，針對連續(xù)短線段刀具路徑提出跳度約束加速度曲線[9]的運動學(xué)平滑算法。跳度為加速度的二階導(dǎo)數(shù)，對跳度曲線進行二次積分可得到加速度曲線，使用跳度約束可以消除加速度曲線上的奇異點，使得加速度曲線更加平滑，在加工過程中，可以有效減少刀具振動、提高加工質(zhì)量。該算法針對連續(xù)短線段刀具路徑的拐角和拐角間的短線段，利用跳度約束加速度曲線并對其附加速度、加速度和位移邊界條件約束，結(jié)合最大輪廓誤差和驅(qū)動器的運動學(xué)限制，推導(dǎo)出拐角處的最佳轉(zhuǎn)接速度和短線段路徑的最大進給速度，最終實現(xiàn)在整個刀具路徑中進給軸速度和加速度平滑轉(zhuǎn)接。最后對所提算法進行實驗分析，并通過對比直線加減速算法來驗證本文算法的有效性。

1 運動學(xué)平滑算法

1.1 跳度約束加速度曲線

跳度約束加速曲線已被證實在減少機床振動和提高加工質(zhì)量方面存在顯著優(yōu)越性[9]，它可以產(chǎn)生平滑的速度和加速度轉(zhuǎn)變。跳度約束加速度曲線如圖1所示，在分段跳度極限Sm下，已知初始速度Vs和初始加速度As，則可以通過對跳度曲線S(t)積分來獲得躍度j(t)、加速度a(t)、速度v(t)和位移r(t)的計算公式，如式(1)：

(1)

由公式可以得出位移曲線四次可微，則位移曲線G3連續(xù)，速度曲線三次可微，則速度曲線G2連續(xù)，加速度曲線二次可微，則加速度曲線G1連續(xù)。

式(2)～式(6)為相應(yīng)的躍度、加速度、速度、位移計算公式。

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

其中t表示絕對時間，t1、t2表示每個階段的時間邊界。Sm為驅(qū)動器的跳度極限。Tk(k=1、2)是對應(yīng)的時間參數(shù)，其從k個階段的開始處計時。Ak表示相應(yīng)階段結(jié)束時所能達到的加速度，Vk表示相應(yīng)階段結(jié)束時所能到達的速度，Rk表示相應(yīng)階段結(jié)束時所能達到的位移。減速階段的公式只需用負跳度替換正跳度即可得到。

1.2 拐角處運動學(xué)平滑算法

針對連續(xù)短線段刀具路徑中的拐角，對跳度約束加速度曲線附加速度、加速度和輪廓誤差邊界條件，在滿足驅(qū)動器運動學(xué)限制條件下推導(dǎo)最佳轉(zhuǎn)接速度，再根據(jù)速度、位移公式得出各個軸的加速度、速度、位移曲線。在X-Y平面上，刀具路徑的拐角狀態(tài)如圖2a 所示，兩個方向為θ1和θ1+θ2的線性段在Pc=[Xc,Yc]處相交形成拐角。線性段的單位矢量ts=[cos(θ1)，sin(θ1)]T和te=[cos(θ1+θ2)，sin(θ1+θ2)]T。在拐角和直線段的轉(zhuǎn)接點處，對進給軸施加速度和加速度邊界條件，進入拐角轉(zhuǎn)接點處的速度和加速度為Vc和-Ac，離開拐角轉(zhuǎn)接點處速度和加速度為Vc和Ac，如圖2b所示。通過邊界條件約束得到各個軸的速度曲線，通過速度曲線求得各個軸的進給輪廓，從而得到刀具的運動輪廓軌跡，該輪廓軌跡偏離原始加工路徑，最大的輪廓誤差ε發(fā)生在軌跡中點Pm=[Xm,Ym]處，εx=εcos(θε)，εy=εsin(θε)是輪廓誤差的笛卡爾投影，且θε=π/2+θ1+θ2/2。式(7)～式(11)為各個軸的跳度、躍度、加速度、速度和位移曲線

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式(12)和式(13)為拐角開始處和結(jié)束處的速度和加速度。拐角開始處和結(jié)束處的速度方向相同，加速度方向相反，可獲得對稱的輪廓軌跡，最大輪廓誤差在輪廓的中點。

(12)

(13)

拐角期間，每個軸的速度變化可由式(10)、式(12)得出：

(14)

因為最大輪廓誤差在輪廓的中點，中點位置可以由式(11)得出：

(15)

拐角Pc的幾何位置定義為：

(16)

其中Rc為進入拐角轉(zhuǎn)接點到拐角的歐幾里得長度，其可以通過輪廓軌跡的幾何形狀和總位移來計算。例如X軸的運動，Rc可以由式(10)和式(11)推導(dǎo)出：

(17)

由式(15)～式(17)可以得到輪廓誤差約束：

εx=xmid-xC=εcos(θε)=

(18)

類似地，Y軸的各個參數(shù)可以通過余弦項替換正弦項得出。在NC系統(tǒng)加工過程中，為了提升加工效率，至少有一個軸的加速度和跳度達到驅(qū)動器運動學(xué)限制極限，這個軸就是限制軸，基于式(14)來確定最大速度躍變軸就是限制軸，從而推導(dǎo)出最佳轉(zhuǎn)接速度。例如ΔVX>ΔVY，X軸就是限制軸。該軸的加速度、速度和最大輪廓誤差約束為：

VCcos(θ1+θ2)=VCcos(θ1)-2ACcos(θ1)

(VCcos(θ1)T1(cos(θ1+θ2)-cos(θ1))-

cos(θ1)+cos(θ1+θ2)。

(19)

通過限制驅(qū)動器加速度或跳度極限推導(dǎo)最佳轉(zhuǎn)接速度。對于CNC數(shù)控系統(tǒng)，各個軸的跳度極限都相同，Smax=Sxmax=Symax。假設(shè)限制軸以驅(qū)動器最大跳度極限進給，則將Sx=Sxmax帶入式(19)求得最佳轉(zhuǎn)接速度為：

(20)

各個軸的加速度極限相同，Amax=Axmax=Aymax。當將限制軸以驅(qū)動器最大加速度進給時，則Ax=Amax帶入式(19)求得最佳轉(zhuǎn)接速度為：

(21)

為了滿足驅(qū)動器的運動學(xué)限制條件，最佳轉(zhuǎn)接速度為：

VC=min{VCSmax,VCAmax}。

(22)

最后，根據(jù)式(19)求解進給軸轉(zhuǎn)接運動的持續(xù)時間：

(23)

對限制軸進行速度規(guī)劃后，從動軸轉(zhuǎn)接持續(xù)時間和限制軸相同，從動軸的跳度和加速度極限分別由式(12)和式(13)推導(dǎo)出：

(24)

(25)

由式(7)～式(11)可得出從動軸的速度、加速度和位移曲線，將X、Y軸的運動軌跡混合則得到刀具的輪廓軌跡。

1.3 拐角間的直線段運動學(xué)平滑算法

在連續(xù)短線段刀具路徑中，拐角間的直線段可根據(jù)進給軸的速度和加速度轉(zhuǎn)接規(guī)律分為3段(如圖3)：①進給軸速度在平滑減少的加速度條件下從最佳轉(zhuǎn)接速度VC1加速至驅(qū)動器速度極限Vm，該段結(jié)束時加速度減少至0 mm/s2，該段的歐幾里得長度為R1;②進給軸在驅(qū)動器速度極限下恒速進給，該段的歐幾里得長度為R3;③進給軸速度在平滑增加的負加速度條件下從驅(qū)動器速度極限Vm減速至最佳轉(zhuǎn)接速度VC2，該段結(jié)束時加速度增加至-AC2，該段的歐幾里得長度為R3。如果拐角間的直線段較短，驅(qū)動器在加速度極限條件下，沒有足夠的路徑進給到驅(qū)動器的速度極限，則必須調(diào)整進給軸的最大進給速度Vm，此時第①段歐幾里得長度R3=0，通過對第①段、第③段的進給軸附加速度、加速度和位移約束，可推導(dǎo)出進給軸在連續(xù)短線段刀具路徑拐角間直線段的最大進給速度Vm。

由1.2節(jié)可以推導(dǎo)出拐角PC1和拐角PC2的最佳轉(zhuǎn)接速度VC1和VC2。為了使得在拐角和直線段間的速度和加速度平滑轉(zhuǎn)接，沒有奇異點，規(guī)定在直線段開始處，進給軸的速度為VC1、加速度為AC1，直線段結(jié)束處，進給軸的速度為VC2、加速度為-AC2。

在第①段利用跳度限制加速度曲線使得進給軸速度平滑轉(zhuǎn)變到驅(qū)動器的最大速度極限Vm，在驅(qū)動器跳度極限條件下，加速度可以在一定時間內(nèi)從AC1減速到0，但速度在相同時間內(nèi)無法達到驅(qū)動器速度極限Vm，這就需要在加速度極限AC1條件下恒加速度加速一定時間，該段時間為T1，可由式(9)和式(10)推出：

(26)

則第②段的速度曲線為：

(27)

在第③段利用跳度限制加速度曲線使得進給軸速度平滑轉(zhuǎn)變到拐角2的最佳轉(zhuǎn)接速度VC2，在驅(qū)動器跳度極限條件下，加速度可以在一定時間內(nèi)從0加速到-AC2，但速度在相同時間內(nèi)無法達到最佳轉(zhuǎn)接速度VC2，這就需要在加速度極限-AC2條件下恒加速度減速一定時間，該段時間為T3，可由式(9)和式(10)推出：

(28)

則第③段的速度曲線為：

(29)

由式(11)、式(17)、式(26)、式(27)可得第①段歐幾里得長度

(30)

由式(11)、式(17)、式(28)、式(29)可得第③段歐幾里得長度

(31)

如果連續(xù)短線段刀具路徑拐角間的直線段歐幾里得長度L

Vm=

(32)

圖4為運動學(xué)平滑算法的流程圖。從該算法的推導(dǎo)中可知，其基于跳度約束加速度曲線，生成的進給輪廓四次可微，可達到G3連續(xù)，生成的速度曲線可達到G2連續(xù)，生成的加速度曲線可達到G1連續(xù)。

2 仿真分析

為驗證在連續(xù)短線段刀具路徑中基于跳度約束加速度曲線平滑速度和加速度算法的有效性，對連續(xù)短線段刀具路徑速度和加速度平滑算法進行實驗分析，并通過對比直線加減速算法驗證算法的有效性。

實驗所用X-Y數(shù)控系統(tǒng)如圖5a所示，平面運動由兩個線性電機驅(qū)動，其中Y軸被設(shè)計成龍門架，龍門架承載較輕的X軸，伺服放大器被設(shè)置為轉(zhuǎn)矩(電流)控制模式下操作，線性編碼器的反饋分辨率為0.712 5um，伺服系統(tǒng)的閉環(huán)采樣時間為0.1 ms，X、Y軸的位置反饋帶寬為ωn=35 Hz，以確保良好的位置同步和路徑跟蹤。實驗的刀具路徑如圖5b所示，為一蝴蝶輪廓，刀具路徑總長842.7 mm，共96個拐角，為了突出算法對連續(xù)短線段刀具路徑的有效性，對蝴蝶刀具路徑的翅膀尾部短線段刀具路徑進行分析，即方框中的刀具路徑，該框圖中的刀具路徑總長216.46 mm，共29個拐角，最小線性段為2.78 mm，最小拐角24.23°，最大拐角173.21°。設(shè)定所有拐角制造公差為20 um，進給軸最大進給速度100 mm/s，最大加速度限制為2 000 mm/s2，最大跳度限制為2×108mm/s4。實驗參數(shù)曲線如圖6所示。

通過對比直線加減速算法，本文提出的速度和加速度平滑算法具有更優(yōu)異的加工性能和更高效的加工效率，能夠有效避免速度和加速度突變引起的刀具振動和過切。實驗結(jié)果如表1所示，對于該段連續(xù)短線段刀具路徑，采用本文算法的刀具路徑曲線達到G3連續(xù)，速度曲線達到G2連續(xù)，加速度曲線達到G1連續(xù)，實現(xiàn)進給軸速度和加速度的平滑轉(zhuǎn)接，在轉(zhuǎn)接速度方面，平均轉(zhuǎn)接速度由18.15 mm/s提升至39.41 mm/s，顯著提高了轉(zhuǎn)接速度。在加工時間方面，采用本文算法比傳統(tǒng)直線加減速算法加工時間減少了0.42 s，加工周期時間減少了11%?？紤]到在較長連續(xù)短線段刀具路徑(例如在高速銑削和精細雕刻中所使用的刀具路徑)可能包含數(shù)百上千個尖角，加工時間可以顯著減少，加工效率得到提高。

表1 實驗結(jié)果分析

3 結(jié)束語

本文針對連續(xù)短線段刀具路徑加工過程中，機床進給軸速度和加速度突變引起刀具振動和過切等問題，提出基于跳度約束加速度的運動學(xué)平滑算法。該算法針對連續(xù)短線段刀具路徑，對跳度約束加速度曲線施加邊界約束，并結(jié)合最大輪廓誤差和驅(qū)動器的運動學(xué)限制，推導(dǎo)出進給軸的最佳轉(zhuǎn)接速度和最大進給速度，最終實現(xiàn)在連續(xù)短線段刀具路徑加工時進給軸速度和加速度平滑轉(zhuǎn)接。通過實驗對比直線加減速算法，本文算法在轉(zhuǎn)接速度和加工時間等方面均有顯著的提升。在高速銑削或精細雕刻等較長刀具路徑的加工中，可以提高加工效率和加工質(zhì)量。在今后的研究中將進一步考慮動力學(xué)因素，并將進給補償和誤差預(yù)測納入到算法中以提高加工質(zhì)量。